專題23二次函數(shù)推理計算與證明綜合問題 （解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題23二次函數(shù)推理計算與證明綜合問題

【例1】（2022?北京）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c

（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．

（1）當c＝2，m＝n時，求拋物線與y軸交點的坐標及t的值；

（2）點（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．

【分析】（1）將點（1，m），（3，n）代入拋物線解析式，再根據(jù)m＝n得出b＝﹣4a，再

求對稱軸即可；

（2）再根據(jù)m＜n＜c，可確定出對稱軸的取值范圍，進而可確定x0的取值范圍．

【解答】解：（1）將點（1，m），（3，n）代入拋物線解析式，

∴，

∵m＝n，

∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2；

∴t＝2，

∵c＝2，

∴拋物線與y軸交點的坐標為（0，2）．

（2）∵m＜n＜c，

∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，

解得﹣4a＜b＜﹣3a，

∴3a＜﹣b＜4a，

∴＜﹣＜，即＜t＜2．

當t＝時，x0＝2；

當t＝2時，x0＝3．

∴x0的取值范圍2＜x0＜3．

【例2】（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，﹣3），（﹣

6，﹣3）．

（1）求b，c的值．

第1頁共35頁.

（2）當﹣4≤x≤0時，求y的最大值．

（3）當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．

【分析】（1）將圖象經(jīng)過的兩個點的坐標代入二次函數(shù)解析式解答即可；

（2）根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定

y的最大值即可；

（3）根據(jù)對稱軸為x＝﹣3，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即

可．

【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得b＝﹣6，c＝﹣3．

（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，

又∵﹣4≤x≤0，

∴當x＝﹣3時，y有最大值為6．

（3）①當﹣3＜m≤0時，

當x＝0時，y有最小值為﹣3，

當x＝m時，y有最大值為﹣m2﹣6m﹣3，

∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，

∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．

②當m≤﹣3時，

當x＝﹣3時y有最大值為6，

∵y的最大值與最小值之和為2，

∴y最小值為﹣4，

∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，

∴m＝或m＝（舍去）．

綜上所述，m＝﹣2或．

【例3】（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過點P

（2，4）．

（1）求m的值；

（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．

【分析】（1）將（2，4）代入解析式求解．

（2）由判別式Δ的符號可判斷拋物線與x軸交點個數(shù)．

【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，

解得m1＝1，m2＝﹣3，

又∵m＞0，

∴m＝1．

第2頁共35頁.

（2）∵m＝1，

∴y＝x2+x﹣2，

∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，

∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個交點．

2

【例4】（2022?杭州）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩

點．

（1）若A，B兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達式及其圖象的對稱

軸．

2

（2）若函數(shù)y1的表達式可以寫成y1＝2（x﹣h）﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最

小值．

（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達式還可以寫成y1＝2（x﹣m）

（x﹣m﹣2）的形式，當函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經(jīng)過點（x0，0）時，求x0﹣m的值．

【分析】（1）根據(jù)A、B兩點的坐標特征，可設(shè)函數(shù)y1的表達式為y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），

其中x1，x2是拋物線與x軸交點的橫坐標；

2

（2）把函數(shù)y1＝2（x﹣h）﹣2，化成一般式，求出對應(yīng)的b、c的值，再根據(jù)b+c式子

的特點求出其最小值；

（3）把y1，y2代入y＝y(tǒng)1﹣y2求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再根據(jù)其圖象過點（x0，0），

把（x0，0）代入其表達式，形成關(guān)于x0的一元二次方程，解方程即可．

2

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝2x+bx+c過點A（1，0）、B（2，0），

2

∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x﹣6x+4．

∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝．

2

（2）把y1＝2（x﹣h）﹣2化成一般式得，

22

y1＝2x﹣4hx+2h﹣2．

∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．

∴b+c＝2h2﹣4h﹣2

＝2（h﹣1）2﹣4．

把b+c的值看作是h的二次函數(shù)，則該二次函數(shù)開口向上，有最小值，

∴當h＝1時，b+c的最小值是﹣4．

（3）由題意得，y＝y(tǒng)1﹣y2

＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）

＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．

∵函數(shù)y的圖象經(jīng)過點（x0，0），

∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．

第3頁共35頁.

∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．

即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．

【例5】（2022?安順）在平面直角坐標系中，如果點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為

和諧點．例如：點（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和諧點．

（1）判斷函數(shù)y＝2x+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；

（2）若二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（，）．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值為﹣1，最大值為3，求實數(shù)m

的取值范圍．

【分析】（1）設(shè)函數(shù)y＝2x+1的和諧點為（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；

（2）將點（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一個根，Δ＝25﹣

4ac＝0，兩個方程聯(lián)立即可求a、c的值；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，當x＝1時，y＝﹣1，當x＝3時，y＝3，

當x＝5時，y＝﹣1，則3≤m≤5時滿足題意．

【解答】解：（1）存在和諧點，理由如下，

設(shè)函數(shù)y＝2x+1的和諧點為（x，x），

∴2x+1＝x，

解得x＝﹣1，

∴和諧點為（﹣1，﹣1）；

（2）①∵點（，）是二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的和諧點，

∴＝a+15+c，

∴c＝﹣a﹣，

∵二次函數(shù)y＝ax2+6x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點，

∴ax2+6x+c＝x有且只有一個根，

∴Δ＝25﹣4ac＝0，

∴a＝﹣1，c＝﹣；

②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，

第4頁共35頁.

當x＝1時，y＝﹣1，

當x＝3時，y＝3，

當x＝5時，y＝﹣1，

∵函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1；

當3≤m≤5時，函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣1．

一．解答題（共20題）

1．（2022?瑞安市校級三模）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．

（1）求這條拋物線的對稱軸；若該拋物線的頂點在x軸上，求a的值；

（2）設(shè)點P（m，y1），Q（4，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．

【分析】（1）把解析式化成頂點式，根據(jù)頂點式求得對稱軸和頂點坐標，根據(jù)頂點在x

軸上得到關(guān)于a的方程，解方程求得a的值；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況即可求出m的范圍．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2+a2＝a（x﹣1）2+a2﹣a﹣2，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．

若拋物線的頂點在x軸上，

則a2﹣a﹣2＝0，

∴a＝2或﹣1．

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，

則Q（4，y2）關(guān)于直線x＝1對稱點的坐標為（﹣2，y2），

∴當a＞0時，若y1＜y2，m的取值范圍為：﹣2＜m＜4；

當a＜0時，若y1＜y2，m的取值范圍為：m＜﹣2或m＞4．

2．（2022?西城區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）、點B（x2，y2）為

拋物線y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的兩點．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）當﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2時，試判斷y1與y2的大小關(guān)系并說明理由；

（3）若當t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3時，存在y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．

【分析】（1）先化拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2+1，依此可求拋物線的對稱軸；

（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；

（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)存在A到對稱軸的距離與B到對稱軸的距離相等即可解答．

【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，

∴拋物線的對稱軸為x＝1；

（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，

第5頁共35頁.

∴1﹣x1＞1﹣x2，

∴A離對稱軸越遠，

若a＞0，開口向上，則y1＞y2，

若a＜0，開口向下，則y1＜y2，

（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，

存在y1＝y(tǒng)2，則t+1＜1且t+2＞1，

∴t＜0且t＞1，

∴存在1﹣x1＝x2﹣1，

即存在A到對稱軸的距離與B到對稱軸的距離相等，

∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，

∴﹣1＜t＜0．

3．（2022?新野縣三模）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2﹣4ax+2．

（1）拋物線的對稱軸為直線x＝2，拋物線與y軸的交點坐標為（0，2）；

（2）若當x滿足1≤x≤5時，y的最小值為﹣6，求此時y的最大值．

【分析】（1）由對稱軸方程，將對應(yīng)系數(shù)代入可得，令拋物線解析式中的x＝0，求得y，

答案可得；

（2）利用當x滿足1≤x≤5時，y的最小值為﹣6，可求得a的值，再利用二次函數(shù)圖象

的特點可確定y的最大值．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+2的對稱軸為直線x＝﹣＝2．

令x＝0，則y＝2．

∴拋物線y＝ax2﹣4ax+2與y軸的交點為（0，2）．

故答案為：x＝2；（0，2）．

（2）∵拋物線y＝ax2﹣4ax+2的對稱軸為直線x＝2，

∴頂點在1≤x≤5范圍內(nèi)，

∵當x滿足1≤x≤5時，y的最小值為﹣6，

∴當a＜0時，拋物線開口向下，x＝5時y有最小值﹣6，

∴25a﹣20a+2＝﹣6，

解得a＝﹣，

∴拋物線為y＝﹣x2+x+2

當x＝2時，y＝﹣×22+×2+2＝，

第6頁共35頁.

∴此時y的最大值為．

當a＞0，拋物線開口向上，x＝2時y有最小值﹣6，

∴4a﹣8a+2＝﹣6，

解得a＝2，

∴拋物線為y＝2x2﹣8x+2，

當x＝5時，y＝2×25﹣8×5+2＝12，

∴此時y的最大值12．

綜上，y的最大值為12．

4．（2022?蕭山區(qū)二模）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．

（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標．

（2）若（x1，y1），（x1，y2）為此函數(shù)圖象上兩個不同點，當x1+x2＝﹣2時，恒有y1＝

y2，試求此函數(shù)的最值．

（3）當a＜0且a≠﹣1時，判斷該二次函數(shù)圖象的頂點所在象限，并說明理由．

【分析】（1）直接將點（1，2）代入即可求得a的值，然后根據(jù)頂點公式求得即可；

（2）利用題意，﹣＝＝＝﹣1求解a，然后把解析式化成頂點式，根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）利用頂點公式求得x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，由a

＜0且a≠﹣1即可判斷x＜0，y＞0，即可得到該二次函數(shù)圖象的頂點在第二象限．

【解答】解：（1）∵函數(shù)圖象過點（1，2），

∴將點代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，

解得a＝2，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝2x2+x﹣1，

∴x＝﹣＝﹣，

∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，

∴該二次函數(shù)的頂點坐標為（﹣，﹣）；

（2）函數(shù)y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的對稱軸是直線x＝﹣，

∵（x1，y1），（x2，y2）為此二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，且x1+x2＝﹣2，則y1＝y(tǒng)2，

∴﹣＝＝＝﹣1，

第7頁共35頁.

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，

∴當x＝﹣1時，函數(shù)有最大值0；

（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，

∴由頂點公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，

∵a＜0且a≠﹣1，

∴x＜0，y＞0，

∴該二次函數(shù)圖象的頂點在第二象限．

2

5．（2022?盈江縣模擬）拋物線C1：y＝x+bx+c的對稱軸為x＝1，且與y軸交點的縱坐標為

﹣3．

（1）求b，c的值；

2

（2）拋物線C2：y＝﹣x+mx+n經(jīng)過拋物線C1的頂點P．

①求證：拋物線C2的頂點Q也在拋物線C1上；

②若m＝8，點E是在點P和點Q之間拋物線C1上的一點，過點E作x軸的垂線交拋

物線C2于點F，求EF長度的最大值．

【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式x＝﹣，即可求出b的值，由拋物線與y軸交點的縱坐

標為﹣3即可求得c的值；

（2）①由（1）可得拋物線C1的解析式，從而可得拋物線C1的頂點P的坐標，由拋物

2

線C2經(jīng)過拋物線C1的頂點可得n＝﹣m﹣3，從而可得拋物線C2為：y＝﹣x+mx﹣m﹣3，

根據(jù)對稱軸公式x＝﹣，即可求出頂點Q的坐標，再將點Q的橫坐標代入拋物線C1

的解析式中，即可證明；

②先分別求出點P和點Q的橫坐標，由①可得n＝﹣11，設(shè)點E橫坐標為x，由點E在

拋物線C1上可表示出縱坐標，由題可知點F與點E橫坐標相同，代入拋物線C2的解析

式中可得點F縱坐標，即可求解．

2

【解答】（1）解：∵拋物線C1：y＝x+bx+c對稱軸為x＝1，且與y軸交點的縱坐標為﹣

3，

∴x＝﹣＝1，c＝﹣3，

∴b＝﹣2；

2

（2）①證明：∵拋物線C1的解析式為：y＝x﹣2x﹣3，

∴頂點P的坐標為：（1，﹣4），

∵拋物線C2經(jīng)過拋物線C1的頂點，

第8頁共35頁.

∴﹣4＝﹣12+m+n，

∴n＝﹣m﹣3，

2

∴拋物線C2為：y＝﹣x+mx﹣m﹣3，

∴對稱軸為：直線x＝﹣＝，

將x＝代入y＝﹣x2+mx﹣m﹣3，得：

y＝﹣m﹣3，

∴點Q坐標為：（，﹣m﹣3），

將x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，得：

y＝﹣m﹣3，

∴點Q也在拋物線C1上；

②解：由①知n＝﹣m﹣3，

∵m＝8，

∴n＝﹣11，

2

∴拋物線C2的解析式為：y＝﹣x+8x﹣11，對稱軸為：直線x＝＝4，

設(shè)點E橫坐標為x，

∵點E是在點P和點Q之間拋物線C1上的一點，

∴點E坐標為（x，x2﹣2x﹣3），1＜x＜4，

∵過點E作x軸的垂線交拋物線C2于點F，

∴點F橫坐標為x，

∴點F坐標為（x，﹣x2+8x﹣11），

∴EF＝﹣x2+8x﹣11﹣（x2﹣2x﹣3）

＝﹣x2+8x﹣11﹣x2+2x+3

＝﹣2x2+10x﹣8

＝﹣2（x2﹣5x+4）

＝﹣2（x2﹣5x+）+

＝﹣2（x﹣）2+，

第9頁共35頁.

∴當x＝時，EF取得最大值，最大值為，

∴EF長度的最大值為．

6．（2022?沂水縣二模）拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0），B（1，5）；點P（2，c），Q

（x0，y0）是拋物線上的點．

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）若x0＞﹣6，比較c、y0的大?。?/p>

（3）若直線y＝m與拋物線交于M、N兩點，（M、N兩點不重合），當MN≤5時，求m

的取值范圍．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，化成頂點式即可求得頂點坐標；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

2

（3）設(shè)M、N的橫坐標分別為x1、x2，則x1、x2是方程x+4x＝m的兩個根，根據(jù)根與

2

系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，由MN≤5，則（x1﹣x2）≤25，所以（x1+x2）

2

﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，解得即可．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0），B（1，5），

∴，解得，

∴拋物線為y＝x2+4x，

∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，

∴拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣4）；

（2）∵拋物線為y＝x2+4x的對稱軸為直線x＝﹣2，且開口向上，

∴當x＜﹣2時，y隨x的增大而減小，

∵點P（2，c）關(guān)于對稱軸的對稱點為（﹣6，c），

∵x0＞﹣6，

∴當﹣6＜x0＜2時，則c＞y0；

當x0≥2時，則c≤y0；

（3）設(shè)M、N的橫坐標分別為x1、x2，

∵直線y＝m與拋物線交于M、N兩點，（M、N兩點不重合），

2

∴x1、x2是方程x+4x＝m的兩個根，

∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣m，

∵MN≤5，

2

∴（x1﹣x2）≤25，

2

∴（x1+x2）﹣4x1x2≤25，即16+4m≤25，

第10頁共35頁.

解得m≤，

∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣4），

∴函數(shù)的最小值為﹣4，

∴﹣4＜m≤．

7．（2022?姜堰區(qū)二模）設(shè)一次函數(shù)y1＝2x+m+n和二次函數(shù)y2＝x（2x+m）+n．

（1）求證：y1，y2的圖象必有交點；

（2）若m＞0，y1，y2的圖象交于點A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，設(shè)C（x3，b）

為y2圖象上一點，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；

（3）在（2）的條件下，如果存在點D（x1+2，c）在y2的圖象上，且a＞c，求m的取

值范圍．

【分析】（1）證明y1＝y(tǒng)2時，方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，進而轉(zhuǎn)化證明一元二次

方程的根的判別式非負便可；

（2）由y1＝y(tǒng)2，求出x1與x2，進而求得b，由b的值，求得x3的值，進而得x3﹣x1的值；

（3）把點A（x1，a）、點D（x1+2，c）代入y2＝x（2x+m）+n，根據(jù)a＞c得x1（2x1+m）

2

+n﹣2（x1+2）﹣m（x1+2）﹣n＞0，化簡得4x1+4+m＜0，由（2）得x1＝﹣，代入求

解即可．

【解答】（1）證明：當y1＝y(tǒng)2時，得2x+m+n＝x（2x+m）+n，

化簡為：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，

△＝（m﹣2）2+8m＝（m+2）2≥0，

∴方程2x+m+n＝x（2x+m）+n有解，

∴y1，y2的圖象必有交點；

（2）解：當y1＝y(tǒng)2時，2x+m+n＝x（2x+m）+n，

化簡為：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0，

（2x+m）（x﹣1）＝0，

∵m＞0，x1＜x2，

∴x1＝﹣，x2＝1，

∴b＝2+m+n，

當y＝2+m+n時，y2＝x（2x+m）+n＝2+m+n，

化簡為：2x2+mx﹣m﹣2＝0，

2x2﹣2+mx﹣m＝0，

第11頁共35頁.

2（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝0，

（2x+m+2）（x﹣1）＝0，

解得，x＝1（等于x2），或x＝，

∴x3＝，

∴x3﹣x1＝﹣（﹣）＝﹣1；

（3）解：∵點D（x1+2，c）在y2的圖象上，

2

∴c＝（x1+2）[2（x1+2）+m]+n＝2（x1+2）+m（x1+2）+n．

∵點A（x1，a）在y2的圖象上，

∴a＝x1（2x1+m）+n．

∵a＞c，

∴a﹣c＞0，

2

∴x1（2x1+m）+n﹣2（x1+2）﹣m（x1+2）﹣n＞0，

化簡得4x1+4+m＜0，

由（2）得x1＝﹣，

∴4×（﹣）+4+m＜0，

﹣2m+4+m＜0，

﹣m+4＜0，

m＞4，

∴m的取值范圍為m＞4．

8．（2022?西城區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．

（1）求此拋物線的頂點的坐標；

（2）若直線y＝n與該拋物線交于點A、B，且AB＝4，求n的值；

（3）若這條拋物線經(jīng)過點P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范圍．

【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．

（2）由二次函數(shù)的對稱性及AB＝4可得點A，B坐標，進而求解．

（3）由點P坐標及拋物線對稱軸可得點P關(guān)于對稱軸的對稱點P'坐標，由拋物線開口

向下可求解．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2﹣1＝（x﹣2m）2﹣1，

∴拋物線頂點坐標為（2m，﹣1）．

第12頁共35頁.

（2）∵點A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，AB＝4，對稱軸為直線x＝2m，

∴拋物線經(jīng)過（2m+2，n），（2m﹣2，n），

將（2m+2，n）代入y＝（x﹣2m）2﹣1得n＝22﹣1＝3．

（3）點P（2m+1，y1）關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點P'坐標為（2m﹣1，y1），

∵拋物線開口向上，

∴當2m﹣t＞2m+1或2m﹣t＜2m﹣1時，且y1＜y2，

解得t＜﹣1或t＞1．

2

9．（2022?黃巖區(qū)一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線y1＝ax+bx+3與直線y2＝x+1．

2

（1）當拋物線y1＝ax+bx+3與直線y2＝x+1兩個交點的橫坐標分別為﹣1和2時．

①求拋物線解析式；

②直接寫出當y1＞y2，時x的取值范圍；

（2）設(shè)y＝y(tǒng)1﹣y2，當x＝m時y＝M，x＝n時y＝N，當m+n＝1（m≠n）時，M＝N．求

證：a+b＝1．

【分析】（1）①由交點橫坐標及直線解析式可得交點坐標，然后通過待定系數(shù)法求解．

②由拋物線開口方向及交點橫坐標求解．

2

（2）由y＝y(tǒng)1﹣y2，M＝N可得m，n為方程ax+（b﹣1）x+2＝0的兩個根，由一元二次

方程根與系數(shù)的關(guān)系進行證明．

【解答】解：（1）①將x＝﹣1和x＝2分別代入y2＝x+1得y2＝0，y2＝3，

∴拋物線經(jīng)過（﹣1，0），（2，3），

∴，

解得，

2

∴y1＝﹣x+2x+3．

2

②∵拋物線y1＝﹣x+2x+3開口向下，拋物線與直線交點坐標為（﹣1，0），（2，3），

∴﹣1＜x＜2時，y1＞y2．

22

（2）∵y＝y(tǒng)1﹣y2＝ax+bx+3﹣（x+1）＝ax+（b﹣1）x+2，

∴x＝m時，M＝am2+（b﹣1）m+2，

x＝n時，N＝an2+（b﹣1）n+2，

∴m，n為方程ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩個根，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n＝﹣＝1，

∴b﹣1＝﹣a，

∴a+b＝1．

第13頁共35頁.

10．（2022?路橋區(qū)一模）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常

數(shù)）．

（1）求證：不論m取何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；

（2）若點A（2m+1，7）在該二次函數(shù)的圖象上，求該二次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線y＝x2﹣（m+2）x+m與直線y＝x+t（t是常數(shù)）在第

四象限內(nèi)有兩個交點，請直接寫出t的取值范圍．

【分析】（1）由Δ＝b2﹣4ac＞0證明．

（2）將點A坐標代入解析式求解．

（3）分類討論，通過數(shù)形結(jié)合求解．

【解答】解：（1）令x2﹣（m+2）x+m＝0，

則Δ＝（m+2）2﹣4m＝m2+4＞0，

∴方程x2﹣（m+2）x+m＝0有兩個不相等實數(shù)根，

∴二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點．

（2）將（2m+1，7）代入y＝x2﹣（m+2）x+m得7＝（2m+1）2﹣（m+2）（2m+1）+m，

解得m＝2或m＝﹣2，

當m＝2時，y＝x2﹣4x+2，

當m＝﹣2時，y＝x2﹣2．

（3）①當m＝2時，y＝x2﹣4x+2，

令x2﹣4x+2＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣，

∴拋物線與x軸交點坐標為（2+，0），（2﹣，0），

如圖，當直線y＝x+t經(jīng)過（2+，0）時，2++t＝0，

解得t＝﹣2﹣，

當直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣4x+2只有1個公共點時，令x2﹣4x+2＝x+t，整理得x2﹣

5x+2﹣t＝0，

則Δ＝52﹣4（2﹣t）＝17+4t＝0，

解得t＝﹣，

第14頁共35頁.

∴﹣＜t＜﹣2﹣滿足題意．

②同理，當m＝﹣2時，y＝x2﹣2，

將x＝0代入y＝x2﹣2得y＝﹣2，

∴拋物線經(jīng)過（0，﹣2），

將（0，﹣2）代入y＝x+t得t＝﹣2，

令x2﹣2＝x+t，

由Δ＝1﹣4（﹣2﹣t）＝0可得t＝﹣，

∴﹣＜t＜﹣2滿足題意．

綜上所述，﹣＜t＜﹣2﹣或﹣＜t＜﹣2．

11．（2022?安徽模擬）已知：拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣2與直線x＝﹣2交于點P．

（1）若拋物線經(jīng)過（﹣1，﹣2）時，求拋物線解析式；

（2）設(shè)P點的縱坐標為yp，當yp取最小值時，拋物線上有兩點（x1，y1），（x2，y2），且

x1＜x2≤﹣2，比較y1與y2的大??；

（3）若線段AB兩端點坐標分別是A（0，2），B（2，2），當拋物線與線段AB有公共點

時，直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1）將（﹣1，﹣2）代入解析式求解．

（2）將x＝﹣2代入解析式求出點P縱坐標，通過配方可得yp取最小值時m的值，再將

二次函數(shù)解析式化為頂點式求解．

（3）分別將點A，B坐標代入解析式求解．

【解答】解：（1）將（﹣1，﹣2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得﹣2＝1+2m+m2﹣2，

解得m＝﹣1，

∴y＝x2+2x﹣1．

2222

（2）將x＝﹣2代入y＝x﹣2mx+m﹣2得yP＝m+4m+2＝（m+2）﹣2，

∴m＝﹣2時，yp取最小值，

∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，

第15頁共35頁.

∴x＜﹣2時，y隨x增大而減小，

∵x1＜x2≤﹣2，

∴y1＞y2．

（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，

∴拋物線頂點坐標為（m，﹣2），

∴拋物線隨m值的變化而左右平移，

將（0，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得m2﹣2＝2，

解得m＝2或m＝﹣2，

將（2，2）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣2得2＝4﹣4m+m2﹣2，

解得m＝0或m＝4，

∴﹣2≤m≤0時，拋物線對稱軸在點A左側(cè)，拋物線與線段AB有交點，

2≤m≤4時，拋物線對稱軸在點A右側(cè)，拋物線與線段AB有交點．

∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4．

12．（2022?富陽區(qū)一模）已知拋物線y＝a（x﹣1）（x﹣）．

（1）若拋物線過點（2，1），求拋物線的解析式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1）、N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1

﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，試判斷點（2，﹣9）在不

在此拋物線上；

（3）拋物線上有兩點E（0，n）、F（b，m），當b≤﹣2時，m≤n恒成立，試求a的取

值范圍．

【分析】（1）將（2，1）代入函數(shù)解析式求解．

（2）由當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜

0，可得拋物線對稱軸為y軸，從而可得a的值，然后將x＝2代入解析式判斷．

（3）由b≤﹣2時，m≤n恒成立，可得拋物線開口向下，求出點E關(guān)于對稱軸對稱的點

坐標，列不等式求解．

【解答】解：（1）將（2，1）代入y＝a（x﹣1）（x﹣）得1＝a（2﹣），

解得a＝2，

∴y＝2（x﹣1）（x﹣）．

（2）∵y＝a（x﹣1）（x﹣），

∴拋物線與x軸交點坐標為（1，0），（，0），

第16頁共35頁.

∴拋物線對稱軸為直線x＝，

∵x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，

∴拋物線對稱軸為值x＝0，即1+＝0，

解得a＝﹣3，

∴y＝﹣3（x﹣1）（x+1），

將x＝2代入y＝﹣3（x﹣1）（x+1）得y＝﹣9，

∴點（2，﹣9）在拋物線上．

（3）∵拋物線對稱軸為直線x＝，

∴點E（0，n）關(guān)于對稱軸對稱的點E'（1+，n），

∵當b≤﹣2時，m≤n恒成立，

∴拋物線開口向下，即a＜0，且﹣2≤1+，

解得a≤﹣1．

13．（2022?河?xùn)|區(qū)二模）已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣4）與y軸交于點A（0，﹣2）．

（Ⅰ）求拋物線y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及頂點坐標；

（Ⅱ）設(shè)拋物線與x軸的正半軸的交點為點B，點P為x軸上一動點，點D滿足∠DPA

＝90°，PD＝PA．

（i）若點D在拋物線上，求點D的坐標；

（ii）點E（2，﹣）在拋物線上，連接PE，當PE平分∠APD時，求出點P的坐標．

【分析】（Ⅰ）將點A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），即可求解；

（Ⅱ）（i）設(shè)P（t，0），分兩種情況討論：當D點在點P右側(cè)時，過點D作DN⊥x軸

交于點N，通過證明△PND≌△AOP（AAS），可得D（t+2，﹣t），再將D點代入二次函

數(shù)解析式求出t的值，從而求出D的坐標；當點D在點P的左側(cè)時，同理可得D（t﹣2，

t），再將D點代入二次函數(shù)解析式求出t的值，即可求解；

（ii）分兩種情況討論：當D點在x軸下方時，當PE∥y軸時，∠OAP＝45°，P（2，0）；

當D點在x軸上方時，過A點作AG⊥PA交PE于點G，過G點作FG⊥x軸，交于點F，

可證明△GAF≌△APO（AAS），從而得到GF＝2，則E點與G點重合，OP＝AF＝OA﹣

OF＝2﹣＝，求出P（﹣，0）．

【解答】解：（Ⅰ）將點A（0，﹣2）代入y＝a（x+3）（x﹣4），

第17頁共35頁.

得﹣12a＝﹣2，

∴a＝，

∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2，

∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，

∴頂點為（，﹣）；

（Ⅱ）（i）令a（x+3）（x﹣4）＝0，

解得x＝4或x＝﹣3，

∴B（4，0），

設(shè)P（t，0），

如圖1，當D點在點P右側(cè)時，過點D作DN⊥x軸交于點N，

∵∠APD＝90°，

∴∠OPA+∠NPD＝90°，∠OPA+∠OAP＝90°，

∴∠NPD＝∠OAP，

∴△PND≌△AOP（AAS），

∴OP＝ND，AO＝PN，

∴D（t+2，﹣t），

∴（t+5）（t﹣2）＝﹣t，

解得t＝1或t＝﹣10，

∴D（3，﹣1）或（﹣8，10）；

當點D在點P的左側(cè)時，同理可得D（t﹣2，t），

∴t＝（t﹣2+3）（t﹣2﹣4），

解得t＝，

∴D（，）或（，）；

綜上所述：D點坐標為（3，﹣1）或（﹣8，10）或（，）或（，

）；

（ii）如圖2，當D點在x軸下方時，

∵PE平分∠APD，

第18頁共35頁.

∴∠APE＝∠EPD，

∵∠APD＝90°，

∴∠APE＝45°，

當PE∥y軸時，∠OAP＝45°，

∴P（2，0）；

如圖3，當D點在x軸上方時，過A點作AG⊥PA交PE于點G，過G點作FG⊥x軸，

交于點F，

∵∠PAF+∠FAG＝90°，∠FAG+∠FGA＝90°，

∴∠PAF＝∠FGA，

∵PE平分∠APD，∠APD＝90°，

∴∠APE＝∠EPD＝45°＝∠AGP，

∵AP＝AG，

∴△GAF≌△APO（AAS），

∴AF＝OP，F(xiàn)G＝OA，

∵OA＝2，

∴GF＝2，

∵E（2，﹣），

∴E點與G點重合，

∴OP＝AF＝OA﹣OF＝2﹣＝，

∴P（﹣，0）；

綜上所述：P點坐標為（2，0）或（﹣，0）．

第19頁共35頁.

14．（2022?長春模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c（b、c是常數(shù)）經(jīng)過

點（0，﹣1）和（2，7），點A在這個拋物線上，設(shè)點A的橫坐標為m．

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式并寫出頂點C的坐標．

（2）點B在這個拋物線上（點B在點A的左側(cè)），點B的橫坐標為﹣1﹣2m．

①當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，求OABC的面積．

②將此拋物線A、B兩點之間的部分（包括A、B兩點）記為圖象G，當頂點C在圖象

G上，記圖象G最高點的縱坐標與最低點的縱坐標的差為h，求h與m之間的函數(shù)關(guān)系

式．

（3）設(shè)點D的坐標為（m，2﹣m），點E的坐標為（1﹣m，2﹣m），點F在坐標平面內(nèi)，

以A、D、E、F為頂點構(gòu)造矩形，當此拋物線與矩形有3個交點時，直接寫出m的取值

范圍．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再將拋物線的解析式化成頂點式，即

可求解；

（2）①先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出A、B、C三點坐標，再根據(jù)三角形面積公式求解

即可；

②按第一種情況：當點A是最高點，可得m＞1或m＜﹣，第二種情況：當點B是最

第20頁共35頁.

高點，得m的取值范圍，再計算縱坐標的差h即可解答；

（3）分情況討論：①當m＜﹣1時，②當﹣1≤m≤1時時，③當1＜m＜2時，④當2

＜m＜3時，⑤當m＝3，⑥當3≤m＜4時，⑦當m＝4時，⑧當m＞4時，分別畫出

圖形求解即可．

【解答】解：（1）把（0，﹣1）和（2，7）代入y＝x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為：y＝x2+2x﹣1，

∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，

∴頂點C的坐標為（﹣1，﹣2）；

（2）①當x＝﹣1﹣2m時，y＝（﹣1﹣2m+1）2﹣2＝4m2﹣2，

∴B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．

當△ABC是以AB為底的等腰三角形時，

則AC＝BC，

又∵點C在拋物線對稱軸x＝﹣1上，

∴點A、點B關(guān)于直線x＝﹣1對稱，

∴A（2m﹣1，4m2﹣2），

∵點A的橫坐標為m，

∴2m﹣1＝m，

解得：m＝1，

∴A（1，2），B（﹣3，2），

∵由（1）得，C（﹣1，﹣2），

∴S△ABC＝[1﹣（﹣3）]×[2﹣（﹣2）]＝8；

②∵A（m，（m+1）2﹣2），B（﹣1﹣2m，4m2﹣2）．

∴當點A是最高點，即m＞1或m＜﹣時，

則h＝（m+1）2﹣2﹣（﹣2）＝（m+1）2；

當點B是最高點，即0≤m＜1時，則h＝4m2﹣2﹣（﹣2）＝4m2，

綜上，h與m之間的函數(shù)關(guān)系式為：h＝（m+1）2（m＞1或m＜﹣）或h＝4m2（0≤

m＜1）；

（3）①當m＜﹣1時，則2﹣m＞3，1﹣m＞2，如圖：

第21頁共35頁.

此時矩形ADEF與拋物線有3個交點；

②當﹣1≤m≤1時，則1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如圖：

此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；

③當1＜m＜2時，則0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如圖：

此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；

④當2＜m＜3時，則﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如圖：

第22頁共35頁.

此時矩形ADEF與拋物線有2個交點；

⑤當m＝3時，點E在拋物線上，此時矩形ADEF與拋物線有3個交點；

⑥當3＜m＜4時，則﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如圖：

此時矩形ADEF與拋物線有4個交點；

⑦當m＝4時，則2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如圖：

第23頁共35頁.

此時矩形ADEF與拋物線有3個交點（ED經(jīng)過拋物線的頂點）；

⑧當m＞4時，則2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如圖：

此時矩形ADEF與拋物線有2個交點．

綜上，當m≤﹣1或m＝4時，拋物線與矩形有3個交點．

15．（2022?長春二模）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2與y軸的交點為A，過

點A作直線l垂直于y軸．

（1）求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）；

（2）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點M

（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點．

①當m＝0時，若x1＜x2，判斷y1與y2的大小關(guān)系，并說明理由；

②若對于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范圍；

（3）當圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點時，直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1））直接利用對稱軸公式x＝﹣即可求出；

（2）①y1＞y2利用圖象法，根據(jù)函數(shù)的增減性判斷即可；

②通過計算可知，點P（m﹣1，1）、Q（m+1、1）為拋物線上關(guān)于對用軸x＝m對稱的

兩點，分類討論當m變化時，y軸與點P、Q的相對位置：當y軸在點P左側(cè)時（含點P），

作出圖形，即可得出經(jīng)翻折后，得到點M，N的縱坐標相同，此時y1＝y(tǒng)2，不符題意；

當y軸在點Q右側(cè)時（含點Q），作出圖形，即可得出點M、N分別和點P、Q重合，此

時y1＝y(tǒng)2，不符題意；當y軸在點P、Q之間時（不含P、Q），作出圖形，即可得出經(jīng)翻

折后，點N在l下方，點M、P重合，在l上方，此時y1＞y2，符合題意，即有m﹣1＜0

＜m+1．即﹣1＜m＜m；

（3）當m＞0時，圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點時，可列不等式組，

第24頁共35頁.

當m＜0時，圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點時，可列不等式組，

分別解出即可得到結(jié)果．

【解答】解：（1）拋物線y＝x2﹣2mx+m2的對稱軸為直線x＝﹣＝m；

（2）①當m＝0時，二次函數(shù)解析式是y＝x2，對稱軸為y軸，

∴圖形G如圖1所示：

：圖形G上的點的橫縱坐標x和y，滿足y隨x的增大而減小，

∵x1＜x2，

∴y1＞y2；

②通過計算可得，P（m﹣1，1），Q（m+1，1）為拋物線上關(guān)于對稱軸x＝m對稱的兩

點，

下面討論當m變化時，y軸與點P、Q的相對位置：

如圖2所示：當y軸在點P左側(cè)時（含點P），

經(jīng)翻折后，得到點M、N的縱坐標相同，y1＝y(tǒng)2，不符合題意；

如圖3所示：當y軸在點Q右側(cè)時（含點Q），

第25頁共35頁.

點M，N分別和點P、Q重合，y1＝y(tǒng)2，不符合題意；

如圖4所示：當y軸在點P、Q之間時（不含P、Q），

經(jīng)翻折后，點N在l下方，點M、P重合，在l上方，y1＞y2，符合題意，

此時有m﹣1＜0＜m+1，

∴﹣1＜m＜1，

綜上所述：m的取值范圍為﹣1＜m＜1；

（3）當m＞0時，如圖所示

∵拋物線y＝x2﹣2m+m2翻折后y＝﹣（x﹣m）2+2m2，

∴圖象G與直線：y＝m+2恰好有3個公共點在點A、B之間，

∴，

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∴解得＜m＜2；

當m＜0時，如圖所示，

∴圖象G與直線y＝m+2恰好有3個公共點時，

∴，

∴解得：﹣2＜m＜﹣1．

綜上所述，m的取值范圍為：＜m＜2或﹣2＜m＜﹣1．

2

16．（2022?開福區(qū)校級一模）已知：拋物線C1：y＝ax+bx+c（a＞0）．

（1）若頂點坐標為（1，1），求b和c的值（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）當c＜0時，求函數(shù)y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；

（3）若不論m為任何實數(shù)，直線與拋物線C1有且只有一個公共點，求

a，b，c的值；此時，若k≤x≤k+1時，拋物線的最小值為k，求k的值．

【分析】（1）根據(jù)拋物線頂點式可得y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，即可得出答案；

（2）由題意可得Δ＝b2﹣4ac＞0，可得|ax2+bx+c|≥0，進而可得﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤

﹣1，即可得出答案；

2

（3）由直線與拋物線C1有且只有一個公共點，可得方程ax+（b﹣m）

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