貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題

貴州高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)至必修第四冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)到2.3節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.以下關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是（）A.B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算出，然后逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】；A：，故正確；B：在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故正確；C：因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，所以虛部為，故正確；故選：C.2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線的斜率為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線的斜率為，則直線的傾斜角為.故選：D.3.命題“，，使得”的否定是（）A.，，使得 B.，，使得C.，，使得 D.，，使得【答案】B【解析】【分析】修改量詞，否定結(jié)論，可得結(jié)果.【詳解】修改量詞否定結(jié)論可得：“，，使得”，故選：B.4.如圖，這是正四棱臺(tái)被截去一個(gè)三棱錐后所留下的幾何體，其中，，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正四棱臺(tái)的性質(zhì)，可求得正四棱臺(tái)的高，從而可得正四棱臺(tái)的體積.補(bǔ)全圖中幾何體可知截去的三棱錐的底面為三角形，高為正四棱臺(tái)的高，從而可得截去的三棱錐的體積.兩者做差即可得到題目中幾何體的體積.【詳解】因?yàn)椋?，根?jù)正四棱臺(tái)性質(zhì)，其高為，則該正四棱臺(tái)的體積為.又由圖可知截去三棱錐底面積為，所以三棱錐體積為，即所求幾何體體積為.故選：A5.過點(diǎn)且以直線的方向向量為法向量的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)所求直線為，由點(diǎn)在直線上求參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，所求直線與垂直，可設(shè)所求直線為，又在上，則，得，所以，所求直線為.故選：A6.經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角是直線的傾斜角的2倍的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解出直線的斜率，然后可得直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程即可.【詳解】設(shè)所求直線傾斜角為，直線的傾斜角為，所以，所以直線的方程為，即為，故選：B.7.已知點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓：上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的有（）A.兩個(gè)圓心所在直線的斜率為B.兩圓恰有3條公切線C.兩圓公共弦所在直線的方程為D.的最小值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑，圓心坐標(biāo)求斜率判斷A；由圓心距與半徑和差關(guān)系判斷圓的位置關(guān)系判斷B、C；由兩圓上點(diǎn)的距離最小為判斷D.【詳解】由，則，半徑為，由，則，半徑為，所以，A錯(cuò)；，即兩圓外離，有4條公切線，B、C錯(cuò)；，D對(duì).故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件分析出的單調(diào)性，然后將不等式變形為，結(jié)合單調(diào)性可求不等式解集.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以不等式解集為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的最小正周期為，則以下命題正確的有（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D.若方程在0,π上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則【答案】ABC【解析】【分析】A：先根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)周期公式可求；B：計(jì)算的值，根據(jù)是否為最值作出判斷；C：將解析式中的替換為可得結(jié)果；D：作出的圖象，根據(jù)對(duì)稱性求得的值，則的值可知.【詳解】A：，因?yàn)?，所以，故正確；B：因?yàn)?，即為最小值，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故正確；C：的圖象向右平移個(gè)單位長度可得，顯然為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故正確；D：，作出的圖象如下圖所示，令，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以，故錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知、、是三條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，下列選項(xiàng)正確的有（）A.若，，，則B.若，，，，則C.若，，，則D.若與不垂直，則垂直于內(nèi)無數(shù)條直線【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)已知條件判斷線線位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)空間線面位置關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，，由線面平行的性質(zhì)定理可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，，由于、不一定相交，則與不一定垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，，則、的位置關(guān)系不確定，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若與不垂直，則平面內(nèi)與在內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線，這樣的直線有無數(shù)條，D對(duì).故選：AD.11.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，都滿足.當(dāng)時(shí)，.下列結(jié)論正確的是（）A. B.滿足C. D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】A根據(jù)充分必要性說明；B利用題設(shè)條件證，即可判斷；C令、即可判斷；D先說明奇偶性，再利用單調(diào)性定義及題設(shè)條件證明的單調(diào)性，即說明上單調(diào)性.【詳解】由，易知定義域?yàn)?，滿足且時(shí)，必要性成立，但滿足題設(shè)要求的函數(shù)不一定是，A錯(cuò)；由，則，B對(duì)；令，則，令，則，C對(duì)，令，則，定義域?yàn)椋礊榕己瘮?shù)，令，則，由，則，即在上遞增，故上遞減，D錯(cuò)；故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，又，所以，則故答案為：13.如圖，在四面體中，，，點(diǎn)，分別在，上，且，，則______.【答案】【解析】【分析】由空間向量加減數(shù)乘的幾何意義得，再應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求的模長.【詳解】由，所以，所以.故答案為：14.如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，過作平面，則平面截三棱錐外接球所得截面面積的最小值為___.【答案】【解析】【分析】先求得三棱錐外接球半徑，進(jìn)而求得平面截三棱錐外接球所得截面面積的最小值.【詳解】取中點(diǎn)F，連接.由，，可得,,又，則，又，，則，又面，則面，又F為外心，則三棱錐外接球球心O在直線上，延長交球O于，連接，則，設(shè)球O半徑為R，則，解之得，，則，又為中點(diǎn)，則，，則平面截三棱錐外接球所得截面面積的最小時(shí)即為以為直徑的圓的面積，該圓面積為故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直，若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程.【答案】【解析】【分析】先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系求出直線的方程，然后采用相關(guān)點(diǎn)法求解出直線的方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以交點(diǎn)是，設(shè)直線的方程為，代入，則，所以，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，且在直線上，所以，即，所以直線的方程為.16.2021年9月24日，中國輕工業(yè)聯(lián)合會(huì)、中國樂器協(xié)會(huì)授予正安縣“吉他之都”稱號(hào).遵義市某中學(xué)的同學(xué)們利用暑假到正安參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)縣城20至50歲的市民是否會(huì)彈吉他進(jìn)行調(diào)查.若會(huì)彈吉他，則稱為“吉他達(dá)人”，否則稱為“非吉他達(dá)人”.同學(xué)們隨機(jī)抽取2800人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)“吉他達(dá)人”有1000人，進(jìn)一步對(duì)“吉他達(dá)人”各年齡段人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到了各年齡段“吉他達(dá)人”人數(shù)的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)直方圖估計(jì)“吉他達(dá)人”年齡的平均數(shù)；（2）若從年齡在的“吉他達(dá)人”中采用分層抽樣法抽取5人參加“吉他音樂節(jié)”表演，再從這5人中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求2位領(lǐng)隊(duì)來自同一組的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）結(jié)合組合數(shù)，由古典概型計(jì)算公式即可求解.【小問1詳解】由題意可得：平均數(shù)為【小問2詳解】由的頻率為可得兩組人數(shù)比為，故5人中，來自的人數(shù)分別為2和3，所以從這5人中隨機(jī)選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求2位領(lǐng)隊(duì)來自同一組的概率為,故2位領(lǐng)隊(duì)來自同一組的概率為.17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足.（1）求；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過正弦定理進(jìn)行邊化角，再結(jié)合兩角和差的正弦公式公式以及輔助角公式可求解出的值；（2）先通過余弦定理結(jié)合基本不等式求解出的最大值，然后根據(jù)面積公式可求面積的最大值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.18.已知，是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，直線分別與軸、軸交于，兩點(diǎn).角的終邊與單位圓交于點(diǎn).（1）求圓在點(diǎn)處的切線方程；（2）求面積的最大值；（3）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析】（1）根據(jù)題設(shè)有圓、，則，進(jìn)而可得切線斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出切線方程；（2）要使面積的最大，只需圓上點(diǎn)到直線距離最大，結(jié)合點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式求最大面積；（3）若是的中點(diǎn)，則，且，再由，，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求目標(biāo)式的范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，且圓的半徑為1，則圓，又，即，顯然在圓上，則，所以圓在點(diǎn)處的切線的斜率為，所求切線為，整理得.【小問2詳解】由題設(shè)，，則，到的距離，則到最大距離為，所以面積的最大值為；【小問3詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，故，由，，且，所以，，所以，對(duì)于，當(dāng)同向共線時(shí)最大，反向共線時(shí)最小，所以，綜上，.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，.（1）證明：平面平面.（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.（3）求滿足題設(shè)條件的所有幾何體中，與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)有，根據(jù)線面、面面垂直的判定定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離；（3）同（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，及是與面所成角的平面角，確定的坐標(biāo)，結(jié)合求最大值即可.