2023學年復旦大學附中高一數(shù)學第一學期期末考試卷附答案解析

學年復旦大學附中高一數(shù)學第一學期期末考試卷考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果.1.函數(shù)y=lnx的零點是___________.2.函數(shù)的對稱中心為__________.3.已知，用表示______.4.方程的解是______.5.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則______.6.已知角終邊過點，且，則角的弧度數(shù)是______.7.不等式的解集是______.8.已知函數(shù)，若對不相等正數(shù)，有成立，則的最小值為______.9.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為____________．10.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且.若對任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.11.設(shè)，若定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于直線、直線、直線都成軸對稱，且在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)的最小值是______.12.田同學向肖老師請教一個問題：已知三個互不相同的實數(shù)，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).根據(jù)肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應(yīng)編號上將代表答案的小方格涂黑.13.已知集合或，集合，則集合與的關(guān)系是（）A. B. C. D.以上選項均不正確14.已知且，則下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.15.已知函數(shù)的定義域為，給定下列四個語句：①在區(qū)間上嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；③在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；④在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且是奇函數(shù).其中是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”充分條件的有（）個.A.1 B.2 C.3 D.416.已知A、B為非空數(shù)集，為平面上的一些點構(gòu)成的集合，集合，集合，給定下列四個命題，其中真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知，.（1）求的值；（2）求值：.18.為確保2023年第六屆中國國際進口博覽會安全順利進行，上海市公安局決定在進博會期間實施交通管制.經(jīng)過長期觀測發(fā)現(xiàn)，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量（輛/小時）與車輛的平均速度（千米/小時）之間存在函數(shù)關(guān)系：.（1）當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？（2）若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？19.設(shè)，已知，.（1）求證：函數(shù)不是偶函數(shù)；（2）若對任意的、，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對任意的，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.20.已知函數(shù)，其中、是非空數(shù)集，且，設(shè)，；（1）若，，求；（2）是否存在實數(shù)，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合、；21.設(shè)函數(shù)，.記，，.對于D的非空子集A，若對任意，都有，則稱函數(shù)在集合A上封閉.（1）若，，，分別判斷函數(shù)和是否在集合A上封閉；（2）設(shè)，，區(qū)間（其中），若函數(shù)在集合B上封閉，求的最大值；（3）設(shè)，，若函數(shù)的定義域為，函數(shù)和的圖象都是連續(xù)的曲線，且函數(shù)在區(qū)間（其中）上封閉，證明：存在，使得復旦大學附屬中學2023學年第一學期高一年級數(shù)學期末考試試卷（A卷）考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求，作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，請在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接寫結(jié)果.1.函數(shù)y=lnx的零點是___________.【答案】x=1【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為求解方程lnx=0的根即可.【詳解】由lnx=0可得，所以函數(shù)y=lnx的零點是，故答案為：.2.函數(shù)的對稱中心為__________.【答案】【解析】【分析】把原函數(shù)解析式變形得到，可得，換元，令，，原函數(shù)化為，可得它的對稱中心，即得原函數(shù)對稱中心。【詳解】由題得，，可得，設(shè)，，則原函數(shù)化為，與成反比例函數(shù)關(guān)系且是奇函數(shù)，對稱中心為，即，解得，因此函數(shù)y的對稱中心為.故答案為：【點睛】本題考查求函數(shù)的對稱中心，利用了換元法。3.已知，用表示______.【答案】【解析】【分析】利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：4.方程的解是______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以或，即方程的解是或.故答案為：或.5.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，解得.故答案為：6.已知角的終邊過點，且，則角的弧度數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】首先判斷角為第二象限角，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導公式得到，即可得解.【詳解】因為角的終邊過點，又，所以，，所以角為第二象限角，因為，所以，所以，又，所以.故答案為：7.不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依題意可得，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出不等式的解集.【詳解】不等式，即，令，，因為與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，則不等式的解集是.故答案為：8.已知函數(shù)，若對不相等的正數(shù)，有成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】對于函數(shù)整理變形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值.【詳解】，由不相等的正實數(shù)，且，則，則，因為，所以，故，則，又，所以，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為.故答案為：9.已知函數(shù)值域為，則實數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】先求解出時的值域，然后根據(jù)分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.【詳解】當時，，此時，當且時，，此時，且，所以不滿足；當且時，，由對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時，若要滿足的值域為，只需要，解得；當且時，因為均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且時，，時，，所以此時，此時顯然能滿足的值域為；綜上可知，的取值范圍是，故答案為：.10.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且.若對任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依題意不妨令，即可得fx2x2>fx1x1，令，x∈?∞,0∪0,+∞【詳解】因為對任意的、且，都有x1fx2不妨令，則x1fx2所以fx令，x∈?∞則當且時，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=fx是定義域為R的奇函數(shù)且，則，所以，所以當時，gx<0，當時，gx>0則當時，，當時，，又為奇函數(shù)，所以當時，，當時，，所以不等式的解集是.故答案為：11.設(shè)，若定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于直線、直線、直線都成軸對稱，且在區(qū)間上恰有5個零點，則在區(qū)間上的零點個數(shù)的最小值是______.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的多對稱性得出周期，盡可能減少零點個數(shù)并作出圖象說明其存在性即可.【詳解】因為函數(shù)關(guān)于直線對稱，又直線為對稱軸，所以也是函數(shù)的對稱軸，又是的對稱軸，則直線也是函數(shù)的對稱軸，進而也是函數(shù)的對稱軸.又由關(guān)于直線對稱，則；由關(guān)于直線對稱，則，則，故是以為周期的函數(shù).所以由y=fx在有5個零點，則y=fx在有5個零點，且在至少有5個零點，當在有5個零點時，則在無零點，由函數(shù)關(guān)于直線對稱可知，必有，即為其中一個零點，且在無零點，故在各有2個零點.由函數(shù)以為周期可知，也是函數(shù)的零點，且函數(shù)在，，無零點，故在，各有2個零點，由上分析，y=fx在有5個零點，在無零點，此時在區(qū)間上的零點個數(shù)為個.如圖，可作出滿足題意的函數(shù)的圖象，其在上有13個零點，所以在上的零點個數(shù)的最小值是13.故答案為：13.12.田同學向肖老師請教一個問題：已知三個互不相同的實數(shù)，，滿足和，求的取值范圍.肖老師告訴他：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格增函數(shù).根據(jù)肖老師的提示，可求得該問題中值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得：，，結(jié)合韋達定理和根的判別式可得，由，得，令，結(jié)合條件得到的單調(diào)性，從而得到值范圍【詳解】由題和，，得，所以，則，即，又，所以由韋達定理得和為關(guān)于的方程的兩個不等根，所以，即，得，再由，得，令，根據(jù)題意可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，當時，，或，，不滿足實數(shù)，，互不相同；當時，，或，，不滿足實數(shù)，，互不相同；所以值范圍是，故答案為：二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，第13—14題每題4分，第15—16題每題5分，每題有且只有一個正確選項，請在答題紙的相應(yīng)編號上將代表答案的小方格涂黑.13.已知集合或，集合，則集合與的關(guān)系是（）A. B. C. D.以上選項均不正確【答案】A【解析】【分析】化簡集合，用列舉法表示集合、，即可判斷.【詳解】因為或，又或或，所以.故選：A14.已知且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】對于A：當時，，故A錯誤；對于B：當時，，，此時，故B錯誤；對于C：因且，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，顯然滿足，故C正確；對于D：當時，，故D錯誤.故選：C15.已知函數(shù)的定義域為，給定下列四個語句：①在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；②在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；③在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)；④在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且是奇函數(shù).其中是“函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)”的充分條件的有（）個.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用反例說明①④，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷②③.【詳解】對于①，令，滿足在區(qū)間上嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，但是函數(shù)在上不單調(diào)，故①錯誤；對于②：在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，即任意的都有，都有，所以，設(shè)任意的且，若，則，若，則，若，，則，所以函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，故②正確；對于③：在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，則在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，在區(qū)間上也是嚴格增函數(shù)，結(jié)合②可知，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，故③正確；對于④：令，滿足在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，且是奇函數(shù)，但是函數(shù)在上不單調(diào)，故④錯誤.故選：B16.已知A、B為非空數(shù)集，為平面上的一些點構(gòu)成的集合，集合，集合，給定下列四個命題，其中真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】運用元素和集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，若，則；若，則關(guān)系不確定.故選：B．三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.已知，.（1）求的值；（2）求值：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將兩邊平方得到，進而求得，與聯(lián)立求出、，即可得解；（2）利用誘導公式化簡，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計算可得.【小問1詳解】因為，所以，即，即，所以，又x∈0,π，則，所以，所以，所以，則，所以，，則．【小問2詳解】因為，所以.18.為確保2023年第六屆中國國際進口博覽會安全順利進行，上海市公安局決定在進博會期間實施交通管制.經(jīng)過長期觀測發(fā)現(xiàn)，某最高時速不超過100千米/小時的公路段的車流量（輛/小時）與車輛的平均速度（千米/小時）之間存在函數(shù)關(guān)系：.（1）當車輛的平均速度為多少時，公路段的車流量最大？最大車流量為多少？（2）若進博會期間對該公路段車輛實行限流管控，車流量不超過4125輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）車輛的平均速度為35千米/小時，最大車流量為12000輛/小時；（2）.【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式求出分段函數(shù)的最大值即得.（2）利用給定條件，列出不等式并求解即得.【小問1詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，當且僅當，即時取等號，而，所以車輛的平均速度為35千米/小時時，公路段的車流量最大，最大車流量為12000輛/小時.【小問2詳解】當時，，整理得，解得，則，當時，，不等式化為：，整理得，解得或，則，所以汽車的平均速度應(yīng)在范圍內(nèi).19.設(shè)，已知，.（1）求證：函數(shù)不是偶函數(shù)；（2）若對任意的、，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對任意的，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義即可證明；（2）分別得到和在的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為即可求解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為或，結(jié)合單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】由題可得，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)；【小問2詳解】對任意的、，不妨設(shè)，所以，因為，所以，，，所以，，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以，要使對任意的、，總存在，使得成立，則，即，所以實數(shù)的取值范圍是；【小問3詳解】對任意的，，總有成立，所以或，則或，由（2）可得當，，，，，所以或，解得或，故實數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)，其中、是非空數(shù)集，且，設(shè)，；（1）若，，求；（2）是否存在實數(shù)，使得，且？若存在，請求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）若，且，，是單調(diào)遞增函數(shù)，求集合、；【答案】(1)；(2)；(3),其中或者,其中或者或者【解析】【分析】(1)根據(jù),分別代入對應(yīng)的分段區(qū)間求解集合的范圍再求并集即可.(2)先假設(shè)推出矛盾,故可得.代入可得,再分析當時與題設(shè)矛盾可得.(3)先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定,,再證明在上存在分界點的話,這個分界點應(yīng)該滿足的性質(zhì),最后根據(jù)此性質(zhì)寫出滿足題意的集合即可.【詳解】(1)因為,所以,因為,所以.故.(2)若,則,不符合要求.所以,所以,因為,所以,解得.若則.因為,所以的原象且所以,得,與前提矛盾.故(3)因為是單調(diào)遞增函數(shù),所以對任意有,所以所以,同理可證.若存在,使得,則,于是,記,所以,同理可知…由,得,所以.所以,故,即,此時.對于任意,取中的自然數(shù),則.所以.綜上所述,滿足要求的必有如下表示：,其中或者,其中或者或者【點睛】本題主要考查了函數(shù)與集合的綜合運用,需要根據(jù)題意確定元素與區(qū)間的包含關(guān)系.同時也考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析集合的問題,需要根據(jù)題意找到臨界點滿足的性質(zhì),屬于難題.21.設(shè)函數(shù)，.記，，.對于D的非空子集A，若對任意，都有，則稱函數(shù)在集合A上封閉.（1）若，，，分別判斷函數(shù)和是否在集合A上封閉；