浙江省諸暨市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題 含答案

諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線：，則其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A． B． C．1 D．42．若關(guān)于的不等式的解集為，則（）A．， B．， C．， D．，3．有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（）A．第75百分位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．眾數(shù)4．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是10，則（）A．0 B．1 C．2 D．45．若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．6．已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則D．若，則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得7．已知函數(shù)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有成立，且，則（）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)8．設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若，則（）A． B． C． D．10．已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且，則（）A．B．C．外接圓圓心的軌跡方程為D．重心的軌跡方程為11．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A．的值可以取 B．的值可以取C．的值關(guān)于單調(diào)遞減 D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．若復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)的虛部為_________．13．記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則_________；_________．14．若正四面體的棱長為1，以三個(gè)側(cè)面為底面向外作三個(gè)正四面體，，，則外接圓的半徑是_________．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．（1）求函數(shù)的周期和最大值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．16．（15分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．（1）求證：為三棱錐外接球的球心；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時(shí)的值．17．（15分）已知雙曲線：與直線：交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），過點(diǎn)的兩條關(guān)于對(duì)稱的直線、分別交雙曲線于、兩點(diǎn)（在右支，在左支）．（1）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線與雙曲線在點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，求的面積．18．（17分）如圖是一個(gè)各棱長均為1米的正四棱錐，現(xiàn)有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個(gè)頂點(diǎn)開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點(diǎn)，已知電子蛐蛐初始從頂點(diǎn)出發(fā)，再次回到頂點(diǎn)時(shí)停止爬行。（1）求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點(diǎn)的概率；（2）在電子蛐蛐停止爬行時(shí)爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點(diǎn)）的概率記為，求（用表示）。19．（17分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．（1）已知函數(shù)，區(qū)間且的一個(gè)“封閉區(qū)間”，求的取值集合；（2）已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個(gè)數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個(gè)“封閉區(qū)間”．諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案BBACBCDC二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共18分；部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)91011答案ADABCACD三、填空題（每小題5分，13題2分+3分；共15分）12．1 13．2；2025 14．四、解答題（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）15．（13分）解：（1）由題可得，因此函數(shù)的周期，最大值．（2）由得，因此函數(shù)的所有正零點(diǎn)為，，，因此是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；，16．（15分）解：（1）為的中線，且，則為正的中心，又中，，，即為三棱錐外接球的球心（2）是正三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．又平面平面，平面平面，平面，平面為直線與平面所成的角又，，即直線與平面所成角的正弦值為（3）坐標(biāo)法：在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，，設(shè)，則，，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，令，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大，即當(dāng)時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．（3）幾何法：銳二面角要最小，由最大角定理可知，與面所成線面角為平面與平面所成銳二面角時(shí)，銳二面角最?。?分）；而為線面角（為的中點(diǎn)），當(dāng)要為面面角時(shí)（2分），由垂面法求面面角知，面面，即（2分）．（實(shí)質(zhì)上：本小題條件是多余的；用傳統(tǒng)法求解給相應(yīng)步驟分）17．（15分）解：（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關(guān)于直線對(duì)稱，，．（2）聯(lián)立可得，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為．不妨設(shè)直線為，，，聯(lián)立得，整理得，將等式看作關(guān)于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點(diǎn)，又雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，過點(diǎn)，，．18．（17分）解：（1）記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點(diǎn)為”，“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，則（2）記事件“電子蛐蛐停止爬行時(shí)，爬行長度不超過4米”的可能取值為2，3，4，根據(jù)條件概率的知識(shí)，可得的分布列為，，，用表格表示的分布列為：234．（3）（，）①②②－①得：，19．（17分）解：（1）由題意，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)椋虼酥恍?，，即，則的取值集合為．（2）（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．其中，因此當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)；，而，在單調(diào)遞減，由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的使得；當(dāng)時(shí)，，不存在零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)有0和兩個(gè)零點(diǎn)，即集合中元素的個(gè)數(shù)為2．（ii