2024-2025學年高中數(shù)學第1章統(tǒng)計案例1.1獨立性檢驗學案新人教B版選修1-2

PAGEPAGE11．1獨立性檢驗1.了解事務獨立的概念．2.理解獨立性檢驗的思想和方法．3.會利用2×2列聯(lián)表解決一些實際問題．1．獨立事務(1)獨立事務的定義對于兩個事務A、B，假如有P(AB)＝P(A)P(B)，就稱事務A與B相互獨立，簡稱A與B獨立．(2)假如A、B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B、A與eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨立．2．2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表對于兩個事務A、B，用下表表示抽樣數(shù)據(jù)：Beq\o(B,\s\up6(－))合計An11n12n1＋eq\o(A,\s\up6(－))n21n22n2＋合計n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22．形如此表的表格為2×2列聯(lián)表．(2)χ2統(tǒng)計量依據(jù)2×2列聯(lián)表給定的數(shù)據(jù)引入χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計量．它的表達式是：χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)．(3)獨立性檢驗思想①用H0表示事務A與B獨立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，稱H0為統(tǒng)計假設．②用χ2與其臨界值3.841與6.635的大小關系來確定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設H0，如下表：大小比較結論χ2≤3.841事務A與B是無關的χ2＞3.841有95%的把握說事務A與B有關χ2＞6.635有99%的把握說事務A與B有關1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．()(2)事務A與B的獨立性檢驗無關，即兩個事務互不影響．()(3)χ2的值越大，兩個事務的相關性就越大．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下面是2×2列聯(lián)表．y1y2合計x1332154x2a1346合計b34則表中a，b處的值應為()A．33，66 B．25，50C．32，67 D．43，56答案：A3．若事務A、B相互獨立，且P(AB)＝eq\f(1,8)，P(A)＝eq\f(1,2)，則P(B)＝________.答案：eq\f(1,4)獨立事務概率的求法甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，假如兩人投中的概率都是0.6.計算：(1)兩人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率．【解】設A＝“甲投籃一次，投中”，B＝“乙投籃一次，投中”．(1)由設得AB＝“兩人各投籃一次，都投中”，由題意知，事務A與B相互獨立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事務“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種狀況：一種是甲投中，乙未投中(事務Aeq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生，)另一種是甲未投中，乙投中(事務eq\o(A,\s\up6(－))B發(fā)生)．依據(jù)題意，這兩種狀況在各投籃一次時不行能同時發(fā)生，即事務Aeq\o(B,\s\up6(－))與eq\o(A,\s\up6(－))B互斥，并且A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B各自相互獨立，因而所求概率為P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事務“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對立事務“兩人各投籃一次，均未投中”的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.因此，至少有一人投中的概率為P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－0.16＝0.84.若本例中條件不變，則“至多有一人投中”的概率是多少？解：事務“至多有一人投中”包括三種狀況，一種是“甲、乙都未投中”(事務eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生)，一種是“甲投中，乙未投中”(事務Aeq\o(B,\s\up6(－))發(fā)生)，一種是“甲未投中，乙投中”(事務eq\o(A,\s\up6(－))B發(fā)生)，由題意，這三種狀況在各投籃一次時不行能同時發(fā)生，即eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))，Aeq\o(B,\s\up6(－))與eq\o(A,\s\up6(－))B兩兩互斥，且eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B各自相互獨立，因此“至多有一人投中”的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.64.eq\a\vs4\al()(1)在求概率問題中，常常遇到“恰有”“至少”“至多”等術語，在此肯定要深刻理解其含義，分清它的各種狀況，以免計算錯誤．(2)對于含有“至少”“至多”的概率問題，我們通常轉化為求其對立事務的概率，即利用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))達到求解的目的．已知事務A與B相互獨立，P(A)＝P1，P(B)＝P2，則P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))的值為()A．P1＋P2 B．P1P2C．1－P1P2 D．(1－P1)(1－P2)解析：選D．若A與B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立，且P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)．故選D．獨立性檢驗的應用在對人們的休閑方式的一次調查中，共調查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運動．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)推斷性別與休閑方式是否有關系．【解】(1)列表如下：休閑方式性別看電視運動合計女432770男213354合計6460124(2)由上表可得χ2＝eq\f(124×(43×33－27×21)2,70×54×64×60)≈6.201.因為χ2＞3.841，所以有95%的把握認為性別與休閑方式有關系．eq\a\vs4\al()獨立性檢驗方法的應用，關鍵是確定兩個變量并列出2×2列聯(lián)表，只要完成了這兩步，下面的計算和推斷就迎刃而解了．為了探究學生選報文、理科是否與對外語的愛好有關，某同學調查了361名高二在校學生，調查結果如下：理科對外語有愛好的有138人，無愛好的有98人，文科對外語有愛好的有73人，無愛好的有52人．能否有95%的把握認為“學生選報文、理科與對外語的愛好有關”？解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：理科文科合計有愛好13873211無愛好9852150合計236125361依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計算得χ2＝eq\f(361×(138×52－73×98)2,211×150×236×125)≈1.871×10－4.因為1.871×10－4＜3.841，所以沒有95%的把握認為“學生選報文、理科與對外語的愛好有關”．獨立性檢驗的綜合應用同時拋擲兩顆勻稱的骰子，請回答以下問題：(1)求兩顆骰子都出現(xiàn)2點的概率；(2)若同時拋擲兩顆骰子180次，其中甲骰子出現(xiàn)20次2點，乙骰子出現(xiàn)30次2點，問兩顆骰子出現(xiàn)2點是否相關？【解】(1)每顆骰子出現(xiàn)2點的概率都為eq\f(1,6)，由相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式得兩顆骰子都出現(xiàn)2點的概率為eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).(2)依題意，列2×2列聯(lián)表如下：出現(xiàn)2點出現(xiàn)其他點合計甲骰子20160180乙骰子30150180合計50310360由公式計算得χ2＝eq\f(360×(20×150－160×30)2,50×310×180×180)≈2.323.因為2.323<3.841，因此我們沒有理由說兩顆骰子出現(xiàn)2點相關．eq\a\vs4\al()統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分數(shù)據(jù)的性質來推想全部數(shù)據(jù)的性質，因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關系，而不是因果關系．為了調查胃病是否與生活規(guī)律有關，在某地對540名40歲以上的人所作的調查結果如下：患胃病未患胃病合計生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計80460540依據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關嗎？解：由公式得χ2＝eq\f(540×(60×200－260×20)2,320×220×80×460)≈9.638.因為9.638>6.635，所以有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關，即生活不規(guī)律的人易患胃?。?．在求事務的概率時，有時遇到求“至少……”或“至多……”等事務概率的問題，假如從正面解決這些問題，它們是諸多事務的和或積，求解過程煩瑣，但這些事務的對立事務卻往往很簡潔，其概率也易求出．此時，可逆向思索，先求其對立事務的概率，進而求得原來事務的概率．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,(n11＋n12)(n21＋n22)(n11＋n21)(n12＋n22))，計算χ2的值．(3)比較χ2與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷．對2×2列聯(lián)表中n11，n12，n21，n22的位置務必正確填寫．1．甲、乙二人分別對一目標射擊一次．記“甲射擊一次，擊中目標”為事務A，“乙射擊一次，擊中目標”為事務B，則在A與B、eq\o(A,\s\up6(－))與B、A與eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))中，滿意相互獨立的有()A．1對 B．2對C．3對 D．4對解析：選D．易知A與B是相互獨立事務，從而A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))都相互獨立．2．依據(jù)下表：不看電視看電視合計男3785122女35143178合計72228300計算χ2＝________．解析：χ2＝eq\f(300×(37×143－35×85)2,122×178×72×228)≈4.514.答案：4.5143．某衛(wèi)朝氣構對366人進行健康體檢，有陽性家族史者糖尿病發(fā)病的有16例，不發(fā)病的有93例，陰性家族史者糖尿病發(fā)病的有17例，不發(fā)病的有240例，則有________的把握認為糖尿病患者與遺傳有關系．解析：列出2×2列聯(lián)表：發(fā)病不發(fā)病合計陽性家族史1693109陰性家族史17240257合計33333366所以隨機變量χ2的值為：χ2＝eq\f(366×(16×240－17×93)2,109×257×33×333)≈6.067＞3.841.所以有95%的把握認為糖尿病患者與遺傳有關．答案：95%[A基礎達標]1．事務A、B相互獨立，下列四個式子①P(AB)＝P(A)·P(B)；②P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)；③P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))；④P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))．其中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D．閱歷證①②③④都正確．2．對于分類變量A與B的統(tǒng)計量χ2，下列說法正確的是()A．χ2越大，說明“A與B有關系”的可信度越小B．χ2越大，說明“A與B無關”的程度越大C．χ2越小，說明“A與B有關系”的可信度越小D．χ2接近于0，說明“A與B無關”的程度越小解析：選C．由獨立性檢驗的定義及χ2的意義可知C正確．3．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a，b的值分別為()A．94，96 B．52，50C．52，54 D．54，52解析：選C．因為a＋21＝73，所以a＝73－21＝52.又因為a＋2＝b，所以b＝52＋2＝54.4．甲、乙兩人獨立地解同一問題，甲解決這個問題的概率是P1，乙解決這個問題的概率是P2，那么恰好有一人解決這個問題的概率是()A．P1P2 B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)解析：選B．設甲、乙解決這個問題分別為事務A、B，則P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)，即P1(1－P2)＋(1－P1)P2.5．在探討吸煙與患肺癌的關系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并有99%以上的把握認為這個結論是成立的，下列說法中正確的是()A．100個吸煙者中至少有99個患有肺癌B．1個人吸煙，那么這個人肯定患有肺癌C．在100個吸煙者中肯定有患肺癌的人D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有解析：選D．有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關，但吸煙的人不肯定會患肺癌，可信度是就整體而言的，對詳細的樣本不具有精確的推斷性．6．為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關系，隨機抽取了301名女性，得到如下列聯(lián)表，試依據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空．常常頭暈很少頭暈合計長發(fā)35①121短發(fā)37143②合計72③④空格中的數(shù)據(jù)應分別為①________；②________；③________；④________．解析：題表中最右側的總計是對應的行上的兩個數(shù)據(jù)的和，由此可求出①和②；而題表中最下面的總計是對應的列上兩個數(shù)據(jù)的和，由剛才的結果可求得③④.答案：861802293017.假如元件A、B、C正常工作的概率分別為P1、P2、P3，則如圖所示的線路，正常工作的概率為________．解析：A正常工作，B、C至少有一個元件正常工作即可．答案：P1(P2＋P3－P2P3)8．調查者通過隨機詢問72名男女中學生喜愛文科還是理科，得到如下列聯(lián)表(單位：名)：性別與喜愛文科還是理科列聯(lián)表喜愛文科喜愛理科合計男生82836女生201636合計284472估計中學生的性別和喜愛文科還是理科________關系．(填“有”或“沒有”)解析：χ2＝eq\f(72×(16×8－28×20)2,36×36×44×28)≈8.416＞6.635.故我們有99%的把握認為中學生的性別和喜愛文科還是理科有關系．答案：有9．某學生騎自行車上學，從家到學校的途中有兩個交通崗，假設他在每個交通崗處遇到紅燈的事務是相互獨立的，并且概率都是0.6.(1)求兩次都遇到紅燈的概率；(2)求至少遇到一次紅燈的概率．解：(1)第一次遇到紅燈的概率為0.6，其次次遇到紅燈的概率也為0.6，且兩次遇到紅燈是相互獨立的，所以兩次都遇到紅燈的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次紅燈”的對立事務為“兩次均沒有遇到紅燈”，所以至少遇到一次紅燈的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.10．在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂．請用獨立性檢驗方法推斷禿頂與患心臟病是否有關系？解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：患心臟病患其他病合計禿頂214175389不禿頂4515971048合計6657721437依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到：χ2＝eq\f(1437×(214×597－175×451)2,389×1048×665×772)≈16.373>6.635.所以有99%的把握認為“禿頂與患心臟病有關”．[B實力提升]11．調查某桑場采桑員和協(xié)助工中患桑毛蟲皮炎病狀況結果如下表：采桑不采桑合計患者人數(shù)181230健康人數(shù)57883合計2390113則患桑毛蟲皮炎病與采桑有關系的把握大約有()A．90% B．95%C．99% D．無充分依據(jù)解析：選C．n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，所以n1＋＝n11＋n12＝30，n2＋＝n21＋n22＝83，n＋1＝n11＋n21＝23，n＋2＝n12＋n22＝90，n＝113.所以χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(113×(18×78－5×12)2,30×83×23×90)＝39.6>6.635.所以有99%的把握認為“患桑毛蟲皮炎病與采?！庇嘘P系．12．某校對有心理障礙學生進行測試得到如下列聯(lián)表：焦慮說謊懶散合計女生5101530男生20105080合計252065110則在焦慮、說謊、懶散這三種心理障礙中與性別關系最大的是________．解析：對于題中三種心理障礙分別構造三個隨機變量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中數(shù)據(jù)列出焦慮是否與性別有關的2×2列聯(lián)表：焦慮不焦慮合計女生52530男生206080合計2585110可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×(5×60－25×20)2,30×80×25×85)≈0.863＜3.841，同理，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×(10×70－20×10)2,30×80×20×90)≈6.366＞3.841，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×(15×30－15×50)2,30×80×65×45)≈1.