第1課時+數(shù)列的概念及通項公式+學案 高二下學期數(shù)學蘇教版（2019）+選擇性必修第一冊

第1課時數(shù)列的概念及通項公式[學習目標]1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，能根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的項．一、數(shù)列的概念與分類問題1觀察以下幾列數(shù)：①古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數(shù)字依次為：7,49,343,2401,16807；②戰(zhàn)國時期莊周引用過一句話：一尺之捶，日取其半，萬世不竭．這句話中隱藏著一列數(shù)：1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；③從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的年份：2025,2025，…，2025；④小明為了記住剛設(shè)置的手機密碼，只聽他不停地說：7,0,2,5,7,0,2,5，…；⑤－eq\f(1,2)的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數(shù)：－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，eq\f(1,16)，…；你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？知識梳理1．按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)都叫作這個數(shù)列的______．數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫作這個數(shù)列的第______項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫作這個數(shù)列的第______項，用a2表示……，第n個位置上的數(shù)叫作這個數(shù)列的第n項，用______表示．其中第1項也叫作______．2.數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，簡記為______．3．數(shù)列的分類分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)______的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)______的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都相等的數(shù)列周期數(shù)列項呈現(xiàn)周期性變化擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)eq\f(1,3)，eq\f(1,9)，eq\f(1,27)，eq\f(1,81)，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．(2)判斷數(shù)列是遞增(或遞減)數(shù)列時，一定要滿足數(shù)列單調(diào)性的定義，即從第2項起，每一項都大于(或小于)它的前一項，不能有例外．跟蹤訓練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？(1)2020,2021,2022,2023,2024；(2)0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；(3)1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；(4)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(5)1,0，－1，…，sin

eq\f(nπ,2)，…；(6)9,9,9,9,9,9.二、數(shù)列的通項公式問題2我們發(fā)現(xiàn)問題1中的①②③⑤，項與項數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？知識梳理一般地，如果數(shù)列{an}的第n項與______之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫作這個數(shù)列的______．例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前6項分別是下列各數(shù)：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(1,6)；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，18；(3)0,1,0,1,0,1；(4)9,99,999,9999,99999,999999；(5)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64).延伸探究1．試寫出前4項為1,11,111,1111的一個通項公式．2．試寫出前4項為7,77,777,7777的一個通項公式．反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等．(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式，有時也可以通過探求各部分間的關(guān)系來歸納通項公式．(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號．(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．跟蹤訓練2寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：(1)1,3,7,15,31；(2)eq\f(1,2)，eq\f(4,5)，eq\f(9,10)，eq\f(16,17)，eq\f(25,26)；(3)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)；(4)2×3,3×4,4×5,5×6.三、數(shù)列的通項公式的簡單應(yīng)用例3已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)寫出數(shù)列的前3項；(2)判斷45是否為數(shù)列{an}中的項，3是否為數(shù)列{an}中的項．反思感悟(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則該數(shù)值是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則該數(shù)值不是數(shù)列的一項．跟蹤訓練3已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求實數(shù)q的值；(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項．1．知識清單：(1)數(shù)列的概念與分類．(2)數(shù)列的通項公式．(3)數(shù)列的通項公式的簡單應(yīng)用．2．方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法．3．常見誤區(qū)：歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面；不注意用(－1)n進行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系．1．下列說法正確的是()A．數(shù)列中不能重復(fù)出現(xiàn)同一個數(shù)B．1,2,3,4與4,3,2,1是同一數(shù)列C．1,1,1,1不是數(shù)列D．若兩個數(shù)列的每一項均相同，則這兩個數(shù)列相同2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1＋－1n＋1,2)，n∈N*，則該數(shù)列的前4項依次為()A．1,0,1,0 B．0,1,0,1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0 D．2,0,2,03．在數(shù)列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是這個數(shù)列的()A．第16項 B．第24項C．第26項 D．第28項4．已知數(shù)列1，－3,5，－7,9，…，則該數(shù)列的第100項為________．第1課時數(shù)列的概念及通項公式問題1共同點：都是按照確定的順序進行排列的．不同點：從項數(shù)上來看：①③項數(shù)有限，②④⑤項數(shù)無限；從項的變化上來看：①每一項在依次變大，②每一項在依次變小，③項沒有發(fā)生變化，④項呈現(xiàn)周期性的變化，⑤項的大小交替變化．知識梳理1．項12an首項2．{an}3．有限無限例1解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列；(6)是擺動數(shù)列．跟蹤訓練1解(1)(6)是有窮數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是無窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是常數(shù)列；(5)是周期數(shù)列．問題2對于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5))；對于②，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，n∈N*；對于③，an＝2025，n∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x是本班學生的學號))))；對于⑤，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，n∈N*.知識梳理序號n通項公式例2解(1)這個數(shù)列的前6項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an＝eq\f(－1n,n)，n∈N*.(2)數(shù)列中的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，eq\f(36,2)，所以它的一個通項公式為an＝eq\f(n2,2)，n∈N*.(3)這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，所以通項公式可以寫成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n為奇數(shù)，,1，n為偶數(shù)，))也可以寫成an＝eq\f(1＋－1n,2)(n∈N*)或an＝eq\f(1＋cosnπ,2)(n∈N*)．(4)各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000,100000,1000000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*.(5)分母為2n，易看出第2,3,4,5,6項的分子均比分母少3，因此第1項為－eq\f(2－3,2)，因此原數(shù)列的前6項可以化為－eq\f(2－3,2)，eq\f(22－3,22)，－eq\f(23－3,23)，eq\f(24－3,24)，－eq\f(25－3,25)，eq\f(26－3,26)，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N*.延伸探究1．解由本例的第(4)題每一項除以9即可得到該數(shù)列，則它的一個通項公式為an＝eq\f(1,9)(10n－1)，n∈N*.2．解由本例的第(4)題的每一項乘以eq\f(7,9)即可得到該數(shù)列，則它的一個通項公式為an＝eq\f(7,9)(10n－1)，n∈N*.跟蹤訓練2解(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，可得an＝2n－1，n∈N*.(2)由eq\f(1,2)＝eq\f(1,12＋1)，eq\f(4,5)＝eq\f(22,22＋1)，eq\f(9,10)＝eq\f(32,32＋1)，eq\f(16,17)＝eq\f(42,42＋1)，eq\f(25,26)＝eq\f(52,52＋1)，可得an＝eq\f(n2,n2＋1)，n∈N*.(3)由－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，可知奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，可得an＝(－1)n×eq\f(1,2)，n∈N*.(4)由2×3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2))，3×4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2))，4×5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2))，5×6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋2))，可得an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.例3解(1)在通項公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項分別為1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f(9,2)(舍去)，故45是數(shù)列{an}中的第5項．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f(3,2)，故3不是數(shù)列{an}中的項．跟蹤訓練3解(1)由題意知，q4－q2＝72，則q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)當q＝3時，an＝3n.顯然－81不是此數(shù)列中的項；當q＝－3時，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，無解，∴－81不是此數(shù)列中的項．隨堂演練1．D[由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)同一個數(shù)，如1,1,1,1，故A，C不正確；B中兩數(shù)列首項不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確．]2．A[把n＝1,2,3,4依次代入通項公式，得a1＝eq\f(1＋－11＋1,2)＝1，a2＝eq\f(1＋－12＋1,2)＝0，a3＝eq\f(1＋－13＋1,2)＝1，a4＝eq\