山東省濟(jì)寧市鄒城市2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案及解析）

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測

高二數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼

在“貼條形碼區(qū)

2.作選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號.

3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則,

該答題無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

1.已知空間兩點(diǎn)以-2,3,1）,則45兩點(diǎn)間的距離是（）

A.2B.3C.4D.9

2.若直線7經(jīng)過點(diǎn)4（—?jiǎng)t直線7的斜率是（）

A.6B.-V3C.乎D.一g

3.甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是甲獲勝的概率的是一，則乙不輸?shù)母怕适牵ǎ?/p>

43

5723

A.—B.—C.-D.—

121234

4.已知直線x+y=0與圓C：x2+（y—2）2=8相交于43兩點(diǎn)，則|幺8|=（）

A.276B.4C.76D.2

5.已知空間三點(diǎn)尸（2,0,0）,0（0,0,0）,/（—1,1,2）,則點(diǎn)尸到直線的距離是（）

近V30cR

A.---￡).----L.---UC.而

6633

6.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的,

則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）

12

A.B.D.

18969

7.在正三棱柱48C—44G中，。為棱48的中點(diǎn)，&G與交于點(diǎn)￡，若4B=目,則與。與

4后所成角的余弦值是（）

A正B.如C.近D.正

■2520105

8.若過直線3x+4y+12=0上一點(diǎn)尸作圓。：/+/一2》=0的兩條切線，切點(diǎn)為43,則1Pq?|48|

的最小值是（）

A.2百B.4A/3C.25/2D.472

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)直線[：x-ay+2a=0J2：ax+y+a=0的交點(diǎn)為VC%,.%）,則（）

A.乙恒過定點(diǎn)（0,2）

B.4112

C.君+.詔的最大值為g

D.點(diǎn)（3,-2）到直線/】的距離的最大值為5

10.某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙,

現(xiàn)從數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加比賽.設(shè)事件M為“從數(shù)學(xué)興趣小組中選出的是男生“；

事件四2為“從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件”3為”從兩興趣小組選出的都是男生“；事件為“從

兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生“，則（）

A.尸（M）=：B.尸（M）=；

C.加2與M相互獨(dú)立D.川2與M互斥

11.已知正方體48CD-451GA的棱長為2,點(diǎn)尸滿足而=》應(yīng)+?皮，其中xe[o,l],y[0,1],

則（）

A.存在唯一點(diǎn)尸，使得G尸，平面44。

B.存在唯一點(diǎn)尸，使得4尸//平面44。

C.當(dāng)x+.y=i時(shí)，點(diǎn)耳到平面尸4A的距離的最小值為J5

D.當(dāng)/+時(shí)，三棱錐尸-NC4的體積的最小值為匕迫

43

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.若實(shí)數(shù)陽了滿足方程x+2.y—5=0,則尸方■的最小值為_

14.已知正四棱柱4BCD—44。14,44=240=4,。為對角線NC1的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與長方體表

面交于E,廠兩點(diǎn)，V為長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則庇.聲的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，長方體48co—4用。12中，目=40=248=4,設(shè)/Cpla）=E.

（1）證明：鳥后〃平面4G。：

（2）求平面44七與平面G4E夾角的余弦值.

16.在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動(dòng)中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各

位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另外在其他歌手中

隨機(jī)選1名：觀眾乙、丙對4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機(jī)選2名歌手.

（1）求觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手的概率：

(2)設(shè)3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為X,求X=2的概率.

17.已知直線I經(jīng)過直線4：x—2y+3=0,42：X+J-3=0的交點(diǎn)P,且4(3,2)、5(-1,-2)兩點(diǎn)到直線I的

距離相等.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若點(diǎn)48在直線/的同側(cè)，且。為直線/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以°|+忸口的最小值.

18.如圖，在矩形48CD中，4B=4,BC=3,沿NC將△ZZ)C折起，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，使點(diǎn)尸

在平面ABC的射影H落在邊AB上.

(2)求點(diǎn)3到平面PZC的距離；

(3)若說=2礪，求直線ZC與平面/“歸所成角的正弦值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓。經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)尸(2,0),并且圓心在x軸上.

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)片6為圓C的動(dòng)弦，且46不經(jīng)過點(diǎn)P,記々、左2分別為弦片尸、鳥尸的斜率?

⑴若收=-1,求△尸面積的最大值；

(ii)若尢?左2=3,請判斷動(dòng)弦是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測

高二數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場、座號、姓名、班級填(涂)寫在答題卡上，將條形碼粘貼

在“貼條形碼區(qū)

2.作選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號.

3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則,

該答題無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

1.已知空間兩點(diǎn)以-2,3,1),則45兩點(diǎn)間的距離是()

A.2B.3C.4D.9

【答案】B

【解析】

【分析】由距離公式計(jì)算.

【詳解】由題意48=J(-2-Op+(3-1?+(1-2)2=3，

故選：B.

2.若直線/經(jīng)過點(diǎn)幺(―⑹，則直線7的斜率是()

A.6B.-y/3C.與D.—當(dāng)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算.

【詳解】由題意左=苦於=一立，

2-(-1)3

故選：D.

3.甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是:，甲獲勝的概率的是工，則乙不輸?shù)母怕适?)

43

5723

A.—B.—C.—D.一

121234

【答案】C

【解析】

【分析】分析可得乙不輸與甲勝是對立事件，再由對立事件的概率和為1求解即可；

12

【詳解】乙不輸與甲勝是對立事件，則乙不輸?shù)母怕适?--=-,

33

故選：C.

4.已知直線x+y=O與圓。：/+3-2)2=8相交于43兩點(diǎn)，則［48|=()

A.276B.4C.y/6D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用幾何法即可求得弦43的長|48|.

【詳解】圓C：x2+(y—2)2=8的圓心。(0,2),半徑廠=2、5，

|2|

圓心C到直線x+y=O的距離一；L=0r,

V1+1

則弦疑的長|力|=2』2亞『一(亞J=2尿

故選：A

5.已知空間三點(diǎn)尸(2,0,0),0(0,0,0),/(—1,1,2),則點(diǎn)尸到直線。4的距離是()

A.逅R病y/6「屈

D.-----------C------u.--------

6633

【答案】D

【解析】

【分析】首先表示出面，OP，再根據(jù)點(diǎn)尸到直線。4的距離d=OP-(空__窣_V計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)槭?2,0,0),0(0,0,0),4(—1,1,2),

所以蘇=(—1,1,2),麗=(2,0,0),則為.而=—2，|ai|=y/(-l)2+l2+22=V6-

故選：D

6.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的,

則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是()

1112

A.—B.-C.-D.一

18969

【答案】c

【解析】

【分析】求出樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用古典概型概率計(jì)算公式求解

即可.

【詳解】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成6x6=36種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：

乙

甲

234567

2(2,2)(2.3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)

3(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

4(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)

5(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)

6(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6.6)(6J)

7(7,2)(7.3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)

記事件幺="甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是9”,

則事件4的可能結(jié)果有6種，即幺={(2,7),(3,6),(4,5)(5,4),(6,3),(7,2)},

所以事件4的概率為：P(A)=—=~,

故選：C.

7.在正三棱柱48C—44G中，。為棱45的中點(diǎn)，8G與4。交于點(diǎn)E,若4?=幺4,則耳。與

4后所成角的余弦值是（）

A.@B.@C.在D.正

2520105

【答案】B

【解析】

【分析】連接CD,取CD中點(diǎn)O,連接證明N4EO是耳。與4E所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)

48=44=2,解三角形可得.

【詳解】連接C。，取8中點(diǎn)O,連接。瓦則在//。用，OE=：DB[,所以N&E。是耳。與

4上所成的角或其補(bǔ)角，

正棱柱48C-451G中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，

設(shè)43=44]=2,則4￡>=j22+12=5所以O(shè)E=*，

2

DO=-CD=-yl22-i2=—，

222

等邊三角形48c中，CDLAB,

AO=^AD2+DO2=.11+-=—,40=「+[=卑

V42

1Jl

AC=B[C=2五,在等腰片中,

COSZ451C=—r==—'

2J24

^22+(V2)2-2x2xy/2x^=2,

2

AXE-+BXE—24用?BXEcos/LA^B^E—,

A523

4+-.......-

△4OE中，cosZAiEO=4第=,0,

2x2x-----

2

所以4。與4七所成角的余弦值是正，

20

故選：B.

8.若過直線3x+4y+12=0上一點(diǎn)尸作圓。/2+./-2'=0的兩條切線，切點(diǎn)為4氏則|尸。卜|/兇

的最小值是()

A.2石B.4>/JC.272D.40

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓的幾何性質(zhì)，將|尸。|?|/同化為2幅陌，再求得尸,。兩點(diǎn)間距離的最小值，進(jìn)而求得

\PC\-\AB\的最小值.

【詳解】圓C:x2+y2-2*=0的圓心C(l,o),半徑MC=1

四邊形P4CB中，SPACB=2S^PAC

則:|PC|-|4s[=1|尸4卜0卜2,整理得忸。?|48|=21PH,

又陷=廊％，

3+12

|PC|最小值即為圓心。到直線3.x+4y+12=0的距離二3,

V16+9

則|尸。卜|幺卻=2^|pc|2-l>2j^=r=4>/2

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得。分?

9.設(shè)直線4：工一即+2〃=0,/2："+歹+。=。的交點(diǎn)為,貝！J()

A.4恒過定點(diǎn)(0,2)

B.4U

C.x；+y；的最大值為2

D.點(diǎn)(3,-2)到直線4的距離的最大值為5

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直線過定點(diǎn)即可判斷A,由兩直線垂直列出方程即可判斷B,聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代

入計(jì)算即可判斷C,結(jié)合題意可知點(diǎn)(3,-2)到直線4的距離的最大值即為點(diǎn)(3,-2)到定點(diǎn)(0,2)的距離，即

可判斷D.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)橹本€44+2。=0,即x+(2—歹)。=0,

2-y=0x=0

令＜:，解得《c，所以4恒過定點(diǎn)(0,2),故A正確;

x=0U=2

對于選項(xiàng)B,因?yàn)橹本€4:x-ay+2a^0,l2:ax+y+a=0滿足Ixa-axl=0,

所以/［，(故B正確;

a2+2。

X-z

x-ay+2a=0/+1

對于選項(xiàng)C,聯(lián)立兩直線方程《八，解得《

ax+y-\-a=02"-a

y=-2~~

ci+1

所以叩kcr+2aF2a—a、

(2?o、2(2a2QY

22Q+2。/+4/+4/+4。4—4/+Q2

則/+%)=――r-r+2

lQ+1J、/+1,/+1

5a2(a2+1

5Q4+5/5a2

=5

(/+1『ma"+\

令/=/,則，＞0,所以/(。=5----＞0,

且/?)在［0,+。)上單調(diào)遞增，當(dāng)/—+8時(shí)，/(。一5,

所以/（。＜5,故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,由A可知，直線/［恒過定點(diǎn)（0,2）,

則點(diǎn)（3,-2）到直線乙的距離的最大值即為點(diǎn)（3,-2）到定點(diǎn)（0,2）的距離,

即132+（—2—2）2=5,故D正確；

故選：ABD

10.某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙,

現(xiàn)從數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加比賽.設(shè)事件M為“從數(shù)學(xué)興趣小組中選出的是男生‘‘：

事件“2為”從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件血3為“從兩興趣小組選出的都是男生“；事件N4為“從

兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生“，則（）

A.尸（M）=［B.P（M3）=1

c.%與此相互獨(dú)立D.M與M互斥

【答案】BC

【解析】

【分析】由古典概率可得A錯(cuò)誤；由古典概率和相互獨(dú)立事件的概率可得B正確：由相互獨(dú)立事件的概率

關(guān)系可得C正確；由互斥事件的性質(zhì)可得D錯(cuò)誤；

31

【詳解】A,由題意可得尸（Mi）=W=耳，故A錯(cuò)誤；

331

B,由題意可得產(chǎn)（〃3）=/'q=a，故B正確：

C,由題意可得尸（四2）='，尸（兒。）=|，2=g,尸（"2峪）=［，|='=尸（川2），尸（反4），所

以與四4相互獨(dú)立，故C正確：

D,事件〃2與峪可能同時(shí)發(fā)生，所以不互斥，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

11.已知正方體48cz）-4禺。4的棱長為2,點(diǎn)尸滿足麗=x5N+y發(fā)，其中xe且0,1］,

貝i］（）

A.存在唯一點(diǎn)尸，使得qp_L平面44。

B.存在唯一點(diǎn)尸，使得4尸//平面片AC

C.當(dāng)x+y=l時(shí)，點(diǎn)4到平面尸4A的距離的最小值為④

D.當(dāng)./+|；2=_1時(shí)，三棱錐尸—NC居的體積的最小值為土2g

43

【答案】ACD

【解析】

【分析】以z＞為原點(diǎn)，刀，比，函所在方向分別為X軸、y軸、Z軸，建立空間坐標(biāo)系，由GP，平面片AC,

利用向量法可得x=L.y=O,從而得p（2,0,0）唯一確定，即可判斷A；由4尸〃平面4AC,可得

x=y,從而得尸不唯一，即可判斷B：找出點(diǎn)尸的軌跡，結(jié)合由等體積法判斷C,D.

【詳解】解：以Z）為原點(diǎn)，五1比，兩所在方向分別為x軸、V軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所

則。(0,0,0),N(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),2(0,0,2),4(2,0,2),4(2,2,2),G(0,2,2),

對于A,因?yàn)閼?yīng)=(2,0,0),皮=(0,2,0),

所以麗=+yDC=(2.x,2,v,0)，P(2x,2y,0),

所以不=(2x,2y—2,-2),

又因?yàn)辂?(-2,—2,0),麻=(—2,0,—2),

設(shè)平面4。C的法向量為〃=(x,y,z),

B.D.-ri=-2x-2y=0[x+y=0

則」J'，所以1-c，

51c?萬=—2x—2z=01x+z=0

取x=—1,則[=(—1,1,1),

又因?yàn)镚PJL平面8iAC,

所以G「//〃，

所以x=l,y=0,

所以尸(2,0,0),唯一確定，故正確；

對于B,因?yàn)橹?(2x-2,2y,—2),

要使4尸//平面片4。,

則至_L3,

所以4P,"=2—2x+2y—2=—2(x—y)=0,

所以x=y,

故點(diǎn)尸不唯一，故錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)閤+y=l,所以ac,尸三點(diǎn)共線,

1114

因?yàn)椋?44?='p-Ag=%馬x2=-x—x2x2x2=~,

設(shè)點(diǎn)B、到平面7XA的距離為d,

14/4

則有［Sy馬p-d==，所以d=《一，

33%44P

設(shè)尸到44的距離為力，

d4_4_4

則一S△mAp*——1?454?h1一工，

當(dāng)尸與。重合時(shí)，*二2五,

所以%1=V2,故C正確;

設(shè)尸到NC的距離為"

因?yàn)閁p-AC4=1TCP=§S-ACP'2—^X—xACxh'=——h'?

當(dāng)點(diǎn)尸位于圓弧中點(diǎn)時(shí)，⑺皿=6t.

所以修應(yīng)一1）=七|也，故D正確?

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用空間向量解決空間角度、距離及位置關(guān)系是常用方法.

三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.

12.若實(shí)數(shù)KJ滿足方程x+2y-5=0,則嚴(yán)歹的最小值為一.

【答案】下

【解析】

【分析】將次+/轉(zhuǎn)化為J5y2-20了+25，進(jìn)而求得次+1的最小值.

【詳解】由實(shí)數(shù)蒼了滿足方程x+2y—5=0,可得x=5—2.y,貝ij

yjx2+y2=^（5-2V）2+.V2=J5y2—20.y+25=，5（y-2）:+5>逐，

則產(chǎn)丁的最小值為行.

故答案為：y/5

13.某商場調(diào)查500名顧客的滿意度情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

男性1536

若160Wx4198,則滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為.

7

【答案4

【解析】

【分析】由題意可知，寫出樣本空間包含樣本點(diǎn)，然后寫出“滿意的顧客中男性顧客不少于

女性顧客”事件的樣本點(diǎn)，最后計(jì)算概率即可.

【詳解】由題可知：x+j=500-(25+64+15+36)=360,又因?yàn)?60<x<198,

所以樣本空間包含樣本點(diǎn)為(160,200),(161,199),(162,198),(163,197),

(164,196),(165,195),(166,194),(167,193),(168,192),(169,191),

(170,190),(171,189),(172,188),(173,187),(174,186),(175,185),

(176,184),(177,183),(178,182),(179,181),(180,180),(181,179),

(182,178),(183,177),(184,176),(185,175),(186,174),(187,173),

(188,172),(189,171),(190,170),(191,169),(192,168),(193,167),

(194,166),(195,165),(196,164),(197,163),(198,162),共39個(gè),

設(shè)”滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客”為事件A,則事件A包含的樣本點(diǎn)為

(160,200),(161,199),(162,198),(163,197),(164,196),(165,195),

(166,194),(167,193),(168,192),(169,191),(170,190),(171,189),

(172,188),(173,187),(174,186),(175,185),(176,184),(177,183),

(178,182),(179,181),(180,180),共21個(gè)，所以尸(幺)=巴=，，

7

所以滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為二.

13

7

故答案為：—.

13

14.已知正四棱柱/BCD—=24。=4,。為對角線2。1的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線與長方體表

面交于兩點(diǎn)，M為長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則笳.訴的取值范圍是.

【答案】[-5,5]

【解析】

......，.'?...2，.2.

【分析】由ME-MF=(MO+OE)?(MO+OF)=(MO+OE)-{MO-OE)=MO-EO，求出

MO,EO的最大值和最小值后即可得.

【詳解】O為NG的中點(diǎn)，即為正四棱柱45CD—4用GA的中心，由對稱性，。為￡尸的中點(diǎn),

則遠(yuǎn)?礪=（痂+函?（荻+礪）=（痂+函?（礪-函=流2-訪2,

AAi=2AD=4,AB=AD=2,NQ=6+2?+4?=2后所以|版，回|e[L版，

所以荻2_訪2儀_5,5],

故答案為：[一5,5].

四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，長方體48CD—44GA中，幺4="0=243=4,設(shè)幺?？谥?石.

（1）證明：與后〃平面4G。；

（2）求平面44后與平面G4E夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵等

【解析】

【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求兩個(gè)平面所成角的余弦.

【小問1詳解】

連接4。，設(shè)4?？谟?=/，連接即，如圖:

則用尸〃即，且B[F=ED,所以四邊形與FDE是平行四邊形,

所以B[E//FD,BXE(Z平面4G。,FDu平面A{C{D

故〃平面4G。.

【小問2詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方N*、西方向?yàn)閤，N，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?ZQ=2AB=4,所以。（0,0,0）,4（4,2,4）,4（4,0,4）,

E（2,l,0），G（0,2,4）,

.?.福=（0,2,0）,祚=（一2,1「4）.

設(shè)平面AXBXE的法向量詁=(x,y,z),

A,B,,元=0(2y=0

貝叫上，即4c

A]E-n=0\—2x+y—4z=0

令z=l,解得y=0,》=一2,，k=(一2,0,1)

=(-4,0,0),庭=(一2,—1,-4)

設(shè)平面G4E的一個(gè)法向量成=（再,必,馬），

—

B}C-m=04X1=0

則二J，即。/令馬=1,解得必二—4,再=0,

-2x一%一4Z]=(J

BxE-m=01

??.而=（O,-4』）.

7〃?〃1_>/85

設(shè)平面AB、E與平面G4E的夾角為a,，cosa=窗方=存而

~~85~

故平面ABE與平面CRE夾角的余弦值為返.

85

16.在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動(dòng)中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各

位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另外在其他歌手中

隨機(jī)選1名；觀眾乙、丙對4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機(jī)選2名歌手.

（1）求觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手的概率；

（2）設(shè)3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為X,求X=2的概率.

【答案】（1）!

6

⑵-

3

【解析】

【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；

（2）設(shè)事件4,B,C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號歌手，由題意得到尸（N）=g,

尸（C）=；,再由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；

【小問1詳解】

設(shè)事件D表示“觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手”，

觀眾甲選2號歌手的概率為工，觀眾乙未選2號歌手的概率為

32

從而尸（￡＞）=:x；=:,

故觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選3號歌手的概率為!，

6

【小問2詳解】

設(shè)事件4,B,C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號歌手”,

由題意得：P（N）=g，尸（3）=尸（。）=；，

所以尸（X=2）=尸（NSC）+P（/萬。）+尸（483）

111,1}111。n1

—X—+—x

2232J232I2）3

故X=2的概率為3.

17.已知直線/經(jīng)過直線/1：x—2y+3=0,%：x+y-3=0的交點(diǎn)尸，且4（3,2）.5（-1,-2）兩點(diǎn)到直線/的

距離相等.

（1）求直線7的一般式方程：

（2）若點(diǎn)45在直線7的同側(cè)，且。為直線/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|2。|+忸的最小值.

【答案】（1）x-y+i=o或x—l=o

（2）2而

【解析】

【分析】（1）分類討論所求直線與直線48平行或過48的中點(diǎn)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為C,結(jié)合幾何性質(zhì)可得|40|+忸0以C5|,即可得結(jié)果.

【小問1詳解】

fx-2y+3=0（x=l/、

由＜,。C，解得〈c，所以交點(diǎn)尸（1，2）

[x+.y-3=0[y=2、'

2+2

①當(dāng)所求直線與直線48平行時(shí)，直線48的斜率為腦=耳[=1,

則所求直線的方程為V—2=l?（x—l）,即x-.y+l=0；

②當(dāng)所求直線過48的中點(diǎn)時(shí)，線段4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），

則所求直線垂直于x軸，故所求直線方程為x=l,即x-1=0；

綜上所述，所求直線方程為x—y+i=o或X—1=0.

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)4B在直線7的同側(cè)，所以直線7的方程為x—y+1=0,

設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線7的對稱點(diǎn)為C（Xo，.%）,

山一2+1=0

22

則40，

金=-]

「%-3

解得1°一：,即點(diǎn)C（l,4）,

1%=4

因?yàn)閨/0|+\BQ\>|C5|=7（-1-1）2+（-2-4）2=2屈，

當(dāng)。、及C三點(diǎn)共線時(shí)等號取到，

故|/。|+忸。的最小值為2M.

18.如圖，在矩形48CZ）中，AB=4,BC=3,沿NC將△4DC折起，點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，使點(diǎn)P

在平面ABC的射影H落在邊AB上.

（1）證明：PAVBC-,

（2）求點(diǎn)8到平面P4C的距離；

（3）若說=2面，求直線NC與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

4

⑶近

55

【解析】

【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證3CJ_平面尸48,即可證明2/15C；

（2）根據(jù)題意，作BELPC,垂足為E,由線面垂直的判定定理可得8E_L平面P/C,即可得到點(diǎn)到面

的距離：

（3）點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即

可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由點(diǎn)尸在平面4BC的射影H落在邊4g上可得：平面N3C,

又5Cu平面4SC,所以PHLBC,

又BC上AB,且48u平面尸43,尸平面PIS,43cH7=

所以3CJ_平面尸45,又X4u平面故8C_LA4.

【小問2詳解】

P

由已知得：尸幺_1_尸。且3。匚平面尸5。,尸。1平面尸BC,8CcPC=C,

從而尸/J_平面PBC,且上4u平面P4C,所以平面尸NC_L平面PBC,

又3Eu平面PBC,平面P4CPI平面尸5C=尸C,B￡_LPC,

所以麻'_L平面P4C,即BE即為點(diǎn)B到平面PAC的距離，

在直角三角形PBC中，5C=3,PC=4,所以尸5=5,5石=邁，

4

故點(diǎn)8到平面P4C的距離為￡1.

在直角三角形尸48中可得，PH=NLBH=L以點(diǎn)8為坐標(biāo)原點(diǎn)，

44

分別以BC,BA所在直線為x,.V軸，以過點(diǎn)B且垂直于平面ABC的直線為二軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

5(0,0,0),力(0,4,0),尸0,-,^-,。(3,0,0)因?yàn)槟?2必，

—?2_2(76、

所以C”=