專題08球體綜合問(wèn)題小題綜合

專題08球體綜合問(wèn)題小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：長(zhǎng)方體（正方體、正四棱柱）的體對(duì)角線的公式已知長(zhǎng)寬高求體對(duì)角線：已知共點(diǎn)三面對(duì)角線求體對(duì)角線：棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.沖刺訓(xùn)練沖刺訓(xùn)練一、單選題1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的母線長(zhǎng)、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球與圓錐的表面積計(jì)算公式，建立方程，可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，球的半徑為，則，即，，球的表面積，圓錐的表面積，則.故選：B.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）一個(gè)圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺(tái)的上底面為底面，挖去一個(gè)半球，則剩余部分幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得到圓臺(tái)和半球的體積，即可求解．【詳解】，，剩余部分幾何體的體積為．故選:C3．（2023·重慶萬(wàn)州·重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，再根據(jù)結(jié)合球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，則，所以，設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，半徑為，由平面，得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：A.4．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點(diǎn)均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點(diǎn)均在球的表面上可得四點(diǎn)共圓，先證明平面，得出二面角的平面角為，可計(jì)算出，再利用勾股定理可得出四邊形外接圓的直徑為，則，最后利用外接球的表面積公式代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)均在球的表面上，所以四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因?yàn)椋裕捎嘞叶ɡ砜傻茫?，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因?yàn)槠矫?，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.

故選：B.5．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐PO的高及底面圓直徑均為2，若圓錐PO在球內(nèi)，則球的體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得球的體積最小時(shí)，圓錐PO為球的內(nèi)切圓錐，再求出球半徑作答.【詳解】依題意，當(dāng)球的體積最小時(shí)，圓錐PO為球的內(nèi)切圓錐，因此圓錐PO的軸截面三角形外接圓是球的大圓，設(shè)圓錐PO的軸截面等腰三角形底角為，而腰長(zhǎng)為，則，因此球的半徑，所以球的體積的最小值為.故選：A6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到平面ABEF，進(jìn)一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．【詳解】由可知，，，可求，，，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，又，平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以，由，，得，又，同理可得得，又，所以，所以.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中，即，故外接球表面積為．故選：A．7．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）在三棱錐中，，平面經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，并且與垂直，當(dāng)截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取靠近的四等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，截此三棱錐所得的截面為平面，當(dāng)時(shí)截面面積最大，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，由求得外接球的半徑進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】

如圖所示取靠近的四等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，.由，可知.同理可知.又，所以平面，所以平面即為平面.又易知，所以截此三棱錐所得的截面面積為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，設(shè)為外接球球心，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，所以四邊形為正方形，且，，，∴.故選：D.8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四面體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，且恒有，已知三棱錐的體積的最大值為，則正四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析得出在處到平面的距離最遠(yuǎn)，即三棱錐的體積最大，利用等體積法即可得出正四面體邊長(zhǎng)，即可得外接正方體的邊長(zhǎng)，然后利用正方體外接球體積公式求解即可.【詳解】由題知，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為球心的球上運(yùn)動(dòng)，，所以都在以為球心的球上，又因，則在的中垂面上，如圖，

連接，都為正三角形，且為的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面是的中垂面，即在平面上，所以點(diǎn)在平面與以為球心，為半徑的球的交線上，即在以為圓心，為半徑的平面內(nèi)的圓上，取中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，作在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，則圓上的點(diǎn)到平面的距離最遠(yuǎn)，故在處，設(shè)，則，，平面，平面，,,,在中，，點(diǎn)到平面的距離，所以，解得，

如圖則其外接正方體的邊長(zhǎng)為，所以正四面體外接球即為邊長(zhǎng)為正方體的外接球，故外接球半徑，所以外接球體積.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三棱錐的體積問(wèn)題，三棱錐的外接球問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)變化思想的應(yīng)用，方程思想，屬于難題.9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】取AC的中點(diǎn)M，可得即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過(guò)O1作平面ABC的垂線，過(guò)△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點(diǎn)就是球心O，在平面ABC內(nèi)，設(shè)，然后表示出外接球的半徑，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求得答案.【詳解】當(dāng)D在△ACD的外接圓上動(dòng)的時(shí)候，該三棱錐的外接球不變，故可使D點(diǎn)動(dòng)到一個(gè)使得DA=DC的位置，取AC的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，△ACB的外心為O1，過(guò)O1作平面ABC的垂線，過(guò)△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點(diǎn)就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；在平面ABC內(nèi)，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，所?/p>

令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故選:B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了三棱錐外接球的求法、三角函數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出外接球的球心位置，考察學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力，考查學(xué)生的推理運(yùn)算能力，屬于難題.10．（2023·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形ABCD中，，為正三角形，以AC為折痕將折起，使D點(diǎn)達(dá)到P點(diǎn)位置，且二面角的余弦值為，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值，且最大值為時(shí)，三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，則為二面角的補(bǔ)角，為的中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)二面角的余弦值可求得，再根據(jù)三棱錐的體積取得最大值結(jié)合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)球的體積公式即可得解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則為二面角的補(bǔ)角，故，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，則，，由，得當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，解得，則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，則平面，設(shè)，由得，解得，則三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.二、多選題11．（2023·山西陽(yáng)泉·陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，.若點(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，則（

）A．平面B．C．平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為D．球O的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可判斷為直棱柱，即可判斷A，由內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合三棱柱的特征即可判斷B，由勾股定理以及等邊三角形的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】選項(xiàng)A，三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，根據(jù)球的對(duì)稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.選項(xiàng)B：因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，與底面以及側(cè)面相切于,則,由于為矩形的對(duì)角線交點(diǎn)，所以，而三角形為等邊三角形，所以,所以，所以，因此B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：由，可知，解得（負(fù)值已舍去），則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長(zhǎng)為，因此C正確.選項(xiàng)D：三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯(cuò)誤.故選：AC12．（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過(guò)點(diǎn)與直線，所成角均為的直線可作4條【答案】ABD【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷A；求出球的半徑，計(jì)算球的體積，進(jìn)而判斷B；求出球O被平面截得的截面圓的半徑，可求得截面面積，進(jìn)而判斷C；通過(guò)平移與補(bǔ)形法，通過(guò)角平分線的轉(zhuǎn)化尋找平面進(jìn)而找出直線，從而可判斷D.【詳解】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，

則,故，則四邊形為平行四邊形，故交于一點(diǎn)，且互相平分，即O點(diǎn)也為的中點(diǎn)，又，故,平面，故平面，由于平面，則平面，故，結(jié)合O點(diǎn)也為的中點(diǎn)，同理可證,平面，故平面，A正確；由球O的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則球O的半徑為,棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，M為的中點(diǎn)，則，故,則，所以球O的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長(zhǎng)交平面于G點(diǎn)，則平面，垂足G落在上，且G為正的中心，故，所以，故球O被平面截得的截面圓的半徑為，則球O被平面截得的截面圓的面積為，C錯(cuò)誤；由題意得，正四面體可以放入正方體內(nèi)，如下圖所示，將平移至正方體的底面內(nèi)，過(guò)和的角平分線作垂直于底面的平面，即平面，在平面內(nèi)一定存在過(guò)O點(diǎn)的兩條直線使得該直線與直線，所成角均為，同理可知，過(guò)和的角平分線作垂直于底面的平面也存在兩條直線滿足題意，所以過(guò)點(diǎn)與直線，所成角均為的直線可作4條，D正確.

故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題.要結(jié)合圖形的特點(diǎn)，作出適合的輔助線，要善于觀察圖形特點(diǎn)，放入特殊圖形中從而快速求解.三、填空題13．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，根據(jù)題意求得，利用基本不等式求得圓柱的外接球半徑，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，所以外接球的表面積的最小值為.故答案為：．14．（2023·云南曲靖·?？既＃┮阎c(diǎn)均在球的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為.【答案】【分析】依題意當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，由求出，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的體積為.

故答案為：15．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在三棱錐中，是面積為的正三角形，平面平面，若三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為．【答案】1【分析】首先根據(jù)已知可推得，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的高的值最大.然后由以及確定球心位置.進(jìn)而根據(jù)已知，求出，即可得出答案.【詳解】第一步：找到三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，面，所以平面，所以，所以要使三棱錐的體積最大，則需的值最大．易知點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，的值最大，此時(shí)為等腰三角形，且．第二步：利用外接球球心的位置構(gòu)造矩形如圖，設(shè)外接球的球心為，，的外接圓圓心分別為，連接，易知分別在線段上，連接.顯然，平面，平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是面積為的正三角形，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以，平?因?yàn)槠矫妫?又平面，所以，所以.同理可得，，所以四邊形為平行四邊形.又，所以四邊形為矩形.第三步：求出，即可得解由，得，得，所以，則．設(shè)球的半徑為，則由已知可得，，所以．連接，則，則，所以，從而．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.16．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的體積為．【答案】【分析】將三棱錐補(bǔ)成直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進(jìn)而求得三棱錐外接球半徑，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，根?jù)余弦定理可得：，即．所以，所以∠ABC=120°，所以底面是頂角為120°的等腰三角形．由題意將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱，則該直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上．設(shè)外接圓的半徑為r，三棱錐外接球的半徑為R，由正弦定理得，，所以，，所以三棱錐外接球的體積為，故答案為：17．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）將兩個(gè)形狀完全相同的正三棱錐底面重合得到一個(gè)六面體，若六面體存在外接球，且正三棱錐的體積為1，則六面體外接球的體積為．【答案】/【分析】根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)，確定其形成六面體的外接球球心的位置及半徑的長(zhǎng)，從而列式求得半徑，即可得六面體外接球的體積.【詳解】如圖所示，記兩個(gè)形狀完全相同的正三棱錐為三棱錐和三棱錐設(shè)點(diǎn)A在面上的投影為點(diǎn)O，則、O、A三點(diǎn)共線．在三棱錐和中，到幾何體各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)分別在和上若組合后的六面體存在外接球，則O為外接球的球心，設(shè)，則，因?yàn)镺為的中心，所以即，所以，解得所以球的體積為.故答案為：.18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)部的球與圓臺(tái)的上、下底面以及每條母線均相切，設(shè)球與圓臺(tái)的表面積分別為，，體積分別為，，若，則．【答案】【分析】找到球半徑與圓臺(tái)上、下底面半徑之間的關(guān)系，用，表示出圓臺(tái)和球的表面積，由條件求出，之間的關(guān)系，結(jié)合球的體積公式求.【詳解】第一步：找到球半徑與圓臺(tái)上、下底面半徑之間的關(guān)系設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，上、下底面圓心分別為，，半徑分別為，，球的球心為，半徑為，作出該組合體的軸截面如圖所示，連接，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．設(shè)為球與圓臺(tái)側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)，連接，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，（切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等）所以（勾股定理的應(yīng)用）所以，第二步：用，表示出圓臺(tái)和球的表面積則，，（圓臺(tái)的表面積公式）第三步：根據(jù)得到，之間的關(guān)系故，第四步：求出所以．故答案為：.19．（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）在三棱錐中，底面為的中點(diǎn).若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，是該球面上一點(diǎn)，且三棱錐體積的最大值是，則球的表面積為.【答案】【分析】首先證明的中點(diǎn)為三棱錐外接球球心，到平面的距離為，到平面的距離的最大值為，而三棱錐體積的最大值是，由棱錐體積公式列方程求得，從而得球半徑后可得球表面積．【詳解】由且是中點(diǎn)得,又平面,平面,所以,同理,，而,平面,所以平面,又平面,所以,設(shè)中點(diǎn)為,則到四點(diǎn)距離相等,即為三棱錐的外接球的球心,三棱錐體積的最大值是，是中點(diǎn),則三棱錐體積的最大值是，又由平面（即平面），設(shè)是中點(diǎn)，連接，則，所以平面，所以到平面的距離為，，即球的半徑為，所以到平面的距離的最大值為，而，所以，解得，所以球的半徑為，表面積為．故答案為：．20．（2023·浙江金華·?？既＃┰谒睦忮FP－ABCD中，平面ABCD，PA=1，AB=，AD=4，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足MA等于M到邊CD的距離.當(dāng)三棱錐P－ABM的體積最小時(shí)，三棱錐P－ABM的外接球的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線位于矩形內(nèi)的一部分，找到三棱錐P－ABM的體積最小時(shí)的點(diǎn)F，然后利用補(bǔ)體法求出外接球的半徑，即可求出表面積.【詳解】由拋物線定義可知：點(diǎn)位于底面矩形內(nèi)以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上，記點(diǎn)的軌跡為曲線，在矩形內(nèi)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)作垂線為軸建立如圖示平面直角坐標(biāo)系，由AD=p=4知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，又AB=，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，面積最小，又平面ABCD，此時(shí)三棱錐的體積最小，三棱錐的外接球與以PA，AB，BF為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同，由長(zhǎng)方體外接球模型可知，三棱錐外接球球心為的中點(diǎn)，此外接球的半徑為：，所以．故答案為：21．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某球的體積為，該球的某截面圓的面積為，則球面上的點(diǎn)到該截面圓心的最大距離為．【答案】3【分析】先求出球心到平面的距離為，再求點(diǎn)到該截面圓的最大距離.【詳解】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，球心到平面的距離為，則，因?yàn)榍虻捏w積為所以因?yàn)榻孛鎴A的面積為，所以，故，所以，所以球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為，故最大距離為.故答案為:.22．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐中，，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】畫出正三棱錐，設(shè)出球心，由勾股定理建立等量關(guān)系求得外接球半徑，由球的表面積公式求解即可.【詳解】如圖：在正三棱錐，.在等邊三角形中，為中點(diǎn)，，所以，在直角三角形中，，設(shè)三棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，.由勾股定理得：，解得：，所以該三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：.23．（2023·山東淄博·統(tǒng)考三模）已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.【答案】【分析】由已知先計(jì)算圓錐母線與底面圓半徑的關(guān)系，再確定其內(nèi)切球半徑，最后由圓錐的側(cè)面積與球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】

如圖所示圓錐IF，設(shè)其底面圓心為F，半徑為r，內(nèi)切球球心為O，半徑為R，內(nèi)切球與母線IH切于點(diǎn)G，則由題意可知，故，易知，即，所以，圓錐的側(cè)面積為，內(nèi)切球的表面積為，故.故答案為：24．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)的上底面的邊長(zhǎng)為，下底面的邊長(zhǎng)為，記該正四棱臺(tái)的側(cè)面積為，其外接球表面積為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值是.【答案】【分析】由球的表面積公式求解四棱臺(tái)的外接球表面積，并求出側(cè)面積，然后求解即可.【詳解】當(dāng)取得最小值時(shí)，則球心在正四棱臺(tái)的下底面內(nèi)，為上底面的中心，如圖所示，

由此可得外接球的半徑為，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求側(cè)面的斜高.則側(cè)面的面積，又，所以.故答案為：.25．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，它的側(cè)棱的所有三等分點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為．【答案】【分析】先找出正四棱錐的側(cè)棱所有三等分點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正四棱臺(tái)，即為求正四棱臺(tái)的外接球.【詳解】如圖，正四棱錐的側(cè)棱的所有三等分點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正四棱臺(tái)，棱臺(tái)上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，棱臺(tái)下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1，

可求得棱臺(tái)的高為，設(shè)該棱臺(tái)的外接球的半徑為，球心到下底面的距離，球心到上底面的距離，①球心在兩個(gè)底面之間時(shí)，所以，因?yàn)?，則，則上式無(wú)解；②球心在下底面下方時(shí)，，，兩邊同時(shí)平方：，，解得：，表面積，故答案為：.26．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E為棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為棱上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)得，再求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到答案.【詳解】如圖所示：取EF的中點(diǎn)O，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，又∵，∴，即同理，∴，由直角三角形的性質(zhì)可得，∴O為的外接球的球心，為外接球的直徑，∵，∴的外接球的半徑恒為1，∴的外接球的表面積恒為，故答案為：.27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個(gè)圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為.

【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長(zhǎng)為，利用圓錐的軸截面得，求出圓錐的體積，令，再利用基本不等式或利用導(dǎo)數(shù)求最值可得答案.【詳解】依題意，得球的半徑，設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長(zhǎng)為，如圖是圓錐的軸截面，則軸截面的面積，即，平方整理得，則圓錐的體積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí).[或求導(dǎo)：，所以，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)最小，且最小值為.]故答案為：.

28．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若該正四棱錐的體積為，則該球的表面積的最小值為.【答案】【分析】先由棱錐體積公式結(jié)合勾股定理表示出球的半徑，構(gòu)