量子力學(xué)第八章.ppt

1、1 電子的自旋 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3 簡單塞曼效應(yīng) 4 兩個(gè)角動(dòng)量耦合 5 全同粒子的特性 6 全同粒子體系波函數(shù)Pauli 原理 7 兩電子自旋波函數(shù),第八章 自旋與全同粒子,（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn) (二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設(shè),1 電子的自旋,（1）實(shí)驗(yàn)描述,處于 S 態(tài)的氫原子,（2）結(jié)論,I。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn),II。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的,S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。,（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn),（3）討論,磁矩與磁場之夾角,原子 Z 向受力,分析,若原子

2、磁矩可任意取向， 則 cos 可在 （-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶,但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng) cos = -1 和 +1 ，處于 S 態(tài)的氫原子 =0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。,鈉原子光譜中的一條亮黃線 5893，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成。,其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋,（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu),Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè),（1）每個(gè)電子都具有自

3、旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：,（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：,自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：,Bohr 磁子,（三）電子自旋假設(shè),2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù),（一）自旋算符 （二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù) （三）自旋算符的矩陣表示與 Pauli 矩陣 （四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 （五）自旋波函數(shù) （六）力學(xué)量平均值,自旋角動(dòng)量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別,通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù),而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的

4、表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個(gè)自由度（第四個(gè)變量）。,與其他力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量 也是用一個(gè)算符描寫，記為,自旋角動(dòng)量 軌道角動(dòng)量 異同點(diǎn),與坐標(biāo)、動(dòng)量無關(guān),不適用,同是角動(dòng)量,滿足同樣的角動(dòng)量對易關(guān)系,（一）自旋算符,由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取 /2 兩個(gè)值,算符的本征值是,仿照,自旋量子數(shù) s 只有一個(gè)數(shù)值,因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度，所以描寫電子運(yùn)動(dòng)除了用 (x, y, z) 三個(gè)坐標(biāo)變量外，還需要一個(gè)自旋變量 (SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：,寫成列矩陣,若已知電子處于Sz = /2或Sz = -/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：,（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù),

5、（1） SZ的矩陣形式,因?yàn)?/2 描寫的態(tài)，SZ有確定值 /2，所以1/2 是 SZ 的本征態(tài)，本征值為 /2，即有：,矩陣形式,同理對1/2 處理，有,最后得 SZ 的矩陣形式,SZ 是對角矩陣，對角矩陣元是其本征值/2。,（三）自旋算符的矩陣表示與 Pauli 矩陣,（2）Pauli 算符,1. Pauli 算符的引進(jìn),因?yàn)镾x, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是 1。,即：,2. 反對易關(guān)系,基于的對易關(guān)系，可以證明 各分量之間滿足反對易關(guān)系:,證：,左乘y,右乘y,同理可證:x, y 分量的反對易關(guān)系亦成立. 證畢,或,由

6、對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如下非常有用性質(zhì)：,y2=1,3. Pauli算符的矩陣形式,根據(jù)定義,求 Pauli 算符的 其他兩個(gè)分量,令,X 簡化為：,令：c = expi (為實(shí)），則,由力學(xué)量算符厄密性,得：b = c* (或c = b*),x2 = I,求y 的矩陣形式,這里有一個(gè)相位不定性，習(xí)慣上取= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩陣形式為：,從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：,寫成矩陣形式,（1）歸一化,波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即,（2）幾率密度,表示 t 時(shí)刻在 r 點(diǎn)附近 單位體積內(nèi)找到

7、電子的幾率,表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處 單位體積內(nèi)找到自旋 Sz= /2的電子的幾率,表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處單位 體積內(nèi)找到 自旋 Sz = /2 的電子的幾率,在全空間找到Sz = /2的電子的幾率,在全空間找到 Sz = /2 的電子的幾率,（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度,波函數(shù),這是因?yàn)?，通常自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運(yùn)動(dòng)有影響。但是，當(dāng)這種相互作用很小時(shí)，可以將其忽略，則1 ,2 對 (x, y, z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時(shí)可以寫成如下形式：,求：自旋波函數(shù)(Sz),SZ 的本征方程,令,一般情況下，1 2，二者對(x, y, z)

8、的依賴是不一樣的。,（五）自旋波函數(shù),因?yàn)?Sz 是 2 2 矩陣，所以在 S2, Sz 為對角矩陣的表象內(nèi)，1/2, -1/2 都應(yīng)是 21 的列矩陣。,代入本征方程得：,由歸一化條件確定a1,所以,二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交,引進(jìn)自旋后，任一自旋算符的函數(shù) G 在 Sz 表象表示為22矩陣,算符 G 在任意態(tài)中對自旋求平均的平均值,算符 G 在 態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的平均值是：,（六）力學(xué)量平均值,3 簡單塞曼效應(yīng),（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 （二）氫、類氫原子在外場中的附加能 （三）求解 Schrodinger 方程 （四） 簡單塞曼效應(yīng),塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中

9、，其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象。 該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先 觀察到,（1）簡單塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。 （2）復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場較弱，軌道-自旋相互作用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。,（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,取外磁場方向沿 Z 向，則磁場引起的附加能（CGS 制）為：,磁場沿 Z 向,（二）Schrodinger 方程,考慮強(qiáng)磁場忽略自旋-軌道相互作用，體系Schrodinger 方程：,（二）氫、類氫原子在外場中的附加能,根據(jù)上節(jié)分析，沒有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：,代入 S方程,最后得 1 滿足的方程,同理得 2 滿足的方程,（1） 當(dāng) B=0 時(shí)（無外場）

10、，是有心力場問題，方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況。其解為：,I。 對氫原子情況,II。對類氫原子情況,如 Li，Na，等堿金屬原子，核外電子對核庫侖場有屏蔽作用，此時(shí)能級不僅與 n 有關(guān)，而且與 有關(guān)，記為E n ,則有心力場方程可寫為：,（三）求解 Schrodinger 方程,由于,（2） 當(dāng) B 0 時(shí)（有外場）時(shí),所以在外磁場下，n m 仍為方程的解，此時(shí),同理,（1）分析能級公式可知：在外磁場下，能級與 n, l, m 有關(guān)。原來 m 不同能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。,（2）外磁場存在時(shí)，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于 S 態(tài)時(shí)， l = 0, m = 0 的原能級 En l 分

11、裂為二。,這正是 SternGerlach 實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。,（四） 簡單塞曼效應(yīng),（3）光譜線分裂,I。 B = 0 無外磁場時(shí),電子從 En 到 En 的躍遷的譜線頻率為：,II。 B 0 有外磁場時(shí),根據(jù)上一章選擇定則可知，,所以譜線角頻率可取三值：,無磁場時(shí)的一條譜線被分裂成三條譜線,Sz= /2 時(shí)，取 +；Sz= /2 時(shí)，取 。,我們已分別討論過了只有 L 和只有 S 的情況，忽略了二者之間的相互作用，實(shí)際上，在二者都存在的情況下，就必須同時(shí)考慮軌道角動(dòng)量和自旋，也就是說，需要研究 L 與 S 的耦合問題。下面我們普遍討論一下兩個(gè)角動(dòng)量的耦合問題。,（一）總角動(dòng)量 （二）耦合

12、表象和無耦合表象,4 兩個(gè)角動(dòng)量耦合,設(shè)有 J1, J2 兩個(gè)角動(dòng)量，分別滿足如下角動(dòng)量對易關(guān)系：,因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動(dòng)量，所以相互對易，即,其分量 對易關(guān)系可寫為,證：,同理，對其他分量成立。 證畢,（一）總角動(dòng)量,證：,同理，對其他分量亦滿足。,證：,上面最后一步證明中，使用了如下對易關(guān)系：,由上面證明過程可以看出，若對易括號將 J12用J1代替，顯然有如下關(guān)系：,這是因?yàn)?證：,（1）本征函數(shù),也兩兩對易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為：,耦合 表象 基矢,非耦合表象基矢,（二）耦合表象和無耦合表象,由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：,稱為矢量耦合系數(shù) 或 C

13、lebsch - Gorldon 系數(shù),于是上式求和只需對 m2 進(jìn)行即可。考慮到 m1 = m - m2 ，則上式可改寫為：,或：,（2）C-G系數(shù)的么正性,我們知道，兩個(gè)表象之間的么正變換有一個(gè)相位不定性，如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定，就可以使C-G系數(shù)為實(shí)數(shù)。,共軛式,將上式左乘j1 j2 j m |，并考慮正交歸一關(guān)系：,對 m = m, m m=1, 于是：,將 |j1,m1,j2,m2 用耦合表象基矢 |j1,j2,j,m 展開：,C-G系數(shù) 實(shí)數(shù)性,共軛式,左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交歸一性：,對 m2 = m2 情況, 得：,考慮到上式兩個(gè)C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的

14、關(guān)系： m2 = m- m1 和 m2 = m - m1 最后得：,（3）j的取值范圍（j與j1,j2的關(guān)系）,1.對給定j1 j2 ，求 jmax,因?yàn)閙 m1 m2 取值范圍分別是：,m = j, j-1,., -j+1, -j mmax = j; m1 = j1, j1-1,., -j1+1, -j1 (m1)max = j1; m2 = j2, j2-1,., -j2+1, -j2 (m2)max = j2;,再考慮到m = m1 + m2，則有：mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j2,2.求 jmin,由于基矢|j

15、1 m1, |j2 m2 對給定的j1 j2分別有2j1+1和2j2+1個(gè)， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2 = |j1,m1 |j2, m2 的數(shù)目為(2j1+1)( 2j2+1)個(gè) 。,另一方面，對于一個(gè) j 值，|j1, j2, j, m 基矢有 2j+1個(gè)，那末 j 從 jmin 到 jmax 的所有基矢數(shù)則由下式給出：,等差級數(shù)求和公式,Jmax = j1 + j2,由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的，等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢|j1,j2,j,m 的數(shù)亦應(yīng)等于(2j1+1)(2j2+1)個(gè)，,從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：,等式兩

16、邊基矢數(shù)應(yīng)該相等,于是 (j1+j2+1)2 - jmin2 = (2j1+1)(2j2+1) 從而可解得： jmin = |j1-j2|。,3. j 的取值范圍,由于 j 只取 0 的數(shù)，所以當(dāng) j1 j2 給定后，j 的可能取值由下式給出： j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2, ., |j1 - j2|.,該結(jié)論與舊量子論中角動(dòng)量求和規(guī)則相符合。j1, j2 和 j 所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為(j1, j2, j)。,求得 j, m 后， J2, Jz 的本征值問題就得到解決。,本征矢,作為一個(gè)例子下面列出了電子自旋角動(dòng)量j2 = 1/2情況下幾個(gè)C-G系數(shù)

17、公式。,將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：,（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函數(shù)的對稱性質(zhì) （三）波函數(shù)對稱性的不隨時(shí)間變化 （四）Fermi 子和 Bose 子,5 全同粒子的特性,（1）全同粒子,質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。,（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性,經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子，是可以區(qū)分的。因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中，有各自確定的軌道，在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度。,可判斷哪個(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子,（一）全同粒子和全同性原理,（3）微觀粒子的不可區(qū)分性,量子力學(xué),在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的,（4）全同性原理,全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代

18、換不引起體系物理狀態(tài)的改變。,全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。,（1）Hamilton 算符的對稱性,N 個(gè)全同粒子組成的體系，其Hamilton 量為：,調(diào)換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。,即：,表明，N 個(gè)全同粒子組成的體系的Hamilton 量具有交換對稱性，交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo)（q i , q j ) 后不變。,（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì),（2）對稱和反對稱波函數(shù),考慮全同粒子體系的含時(shí) Shrodinger 方程,將方程中（q i , q j ) 調(diào)換，得：,由于 Hamilton 量對于 （q i , q j ) 調(diào)換 不變,表明： （q i , q j

19、 ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger 方程的解。,因此，二者相差一常數(shù)因子。,再做一次（q i , q j ) 調(diào)換,對稱波函數(shù),反對稱波函數(shù),引入粒子坐標(biāo)交換算符,全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時(shí)間變化，即初始時(shí)刻是對稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對稱的； 初始時(shí)刻是反對稱的，以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對稱的。,證,方法 I,設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s 在 t 時(shí)刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以 H s 在t 時(shí)刻也是對稱的。,在 t+dt 時(shí)刻，波函數(shù)變化為,對稱,對稱,二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的,依次類推，在以后任何時(shí)刻，波函數(shù)都是對稱的。,同理可證：t 時(shí)刻是反對稱的波函數(shù)a ，在t

20、以后任何時(shí)刻都是反對稱的。,（三）波函數(shù)對稱性的不隨時(shí)間變化,方法 II,全同粒子體系哈密頓量是對稱的,結(jié)論：,描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。,實(shí)驗(yàn)表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。,（1）Bose 子,凡自旋為 整數(shù)倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 個(gè)粒子總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為 Bose 子,如： 光子 （s =1）； 介子 （s = 0）。,（四）Ferm

21、i 子和 Bose 子,（2）Fermi 子,凡自旋為 半奇數(shù)倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 個(gè)粒子總是反對稱的，遵從Fermi 統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi 子。,例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。,（3）由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子,如： 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來處理。,偶數(shù)個(gè) Fermi 子組成,Bose 子組成,奇數(shù)個(gè) Fermi子組成,奇數(shù)個(gè) Fermi子組成,（一）2 個(gè)全同粒子波函數(shù) （二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù) （三）Paul

22、i 原理,6 全同粒子體系波函數(shù)Pauli 原理,（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成,I 2 個(gè)全同粒子Hamilton 量,II 單粒子波函數(shù),（一）2 個(gè)全同粒子波函數(shù),III 交換簡并,粒子1 在 i 態(tài)，粒子2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：,驗(yàn)證：,粒子2 在 i 態(tài)，粒子1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：,IV 滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成,全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 (q1,q2) 和 (q2,q1) 僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時(shí)，才是一個(gè)對稱波函數(shù)； 當(dāng) i j 二態(tài)不同時(shí)，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以 (q1,q2) 和 (q2,q1) 不能用來描寫全同粒

23、子體系。,構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù),C 為歸一化系數(shù),顯然 S (q1,q2) 和 A (q1,q2) 都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為 ：,V S 和 A 的歸一化,若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交歸一化的,證：,同理：,而,同理：,證畢,首先證明,然后考慮S 和 A 歸一化,則歸一化的 S,同理對 A 有：,上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時(shí)，,但是下式仍然成立,歸一化的 S A 依舊,因H 的對稱性式2成立,（1）Shrodinger 方程的解,上述對2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用

24、，單粒子H0 不顯含時(shí)間，則體系,單粒子本征方程：,（二）N 個(gè)全同粒子體系波函數(shù),（2）Bose 子體系和波函數(shù)對稱化,2 個(gè)Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)是：,1，2 粒子在 i，j態(tài)中的一種排列,N 個(gè)Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：,N 個(gè) 粒子在 i，j k 態(tài)中的一種排列,歸一化系數(shù),對各種可能排列 p 求和,nk 是單粒子態(tài)k 上的粒子數(shù),例: N = 3 Bose 子體系,，設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 1 、2 、 3 ，求：該體系對稱化的波函數(shù)。,I。n1=n2=n3=1,II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0,III。n

25、1=2，n2=1，n3=0。,另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是：,n1=1，n2=0，n3=2,n1=0，n2=1，n3=2,n1=0，n2=2，n3=1,n1=1，n2=2，n3=0,n1=2，n2=0，n3=1,附注：,關(guān)于重復(fù)組合問題,從m 個(gè)不同元素中每次取 n 個(gè)元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （m 可大于、等于或小于n ）,重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為：,通常組合計(jì)算公式：,重復(fù)組合計(jì)算公式表明： 從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。,應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同Bose 子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。,如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從 3 個(gè)狀態(tài)中每次取3 個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問題。,（3）Fermi 子體系和波函數(shù)反對稱化,2 個(gè)Fermi 子體系，其反對稱化波函數(shù)是：,行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化,推廣到N 個(gè)Fermi 子體系：,兩點(diǎn)討論,I。行列式展開后，每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而 A 是 本征方程 H = E 的解.,II。交換任意兩個(gè)粒子，等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱化波函數(shù)。此行列式稱為 Slater 行列式。,（1）二 Fermi 子