二項分布及其應用

1、二項分布及其應用條件概率一、條件概率的定義與性質如果事件A發(fā)生與否，會影響到事件B的發(fā)生，在知道事件A發(fā)生的條件下去研究事件B時，基本事件空間發(fā)生了變化，從而B發(fā)生的概率也隨之改變，這就條件概率要研究的問題。1.定義：一般地，設A、B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A) 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，一般把P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B的概率2.性質：（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即 （2）如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A) 二、典型例題1、利用定義求條件概率例1：拋擲兩顆均勻的骰子，問（1）至少有一顆是6點的概率是多少？（2）在

2、已知兩顆骰子點數不同的條件下，至少有一顆是6點的概率是多少？例2:拋擲紅藍兩顆骰子，設事件A為“藍色骰子的點數為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點數之和大于8”。（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知藍色骰子的點數為3或6時，求兩顆骰子的點數之和大于8的概率。2、利用縮小基本事件空間的方法求條件概率例1：一個口袋內裝有4個白球和2個黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一個小球，求（1） 第一次摸出一個白球的情況下，第二次與第三次均是白球的概率。（2） 第一次和第二次均是白球的情況下，第三次是白球的概率。例2：設10件產品中有4件次品，從中任取2件，那么（1）在所取得產品中發(fā)現(xiàn)是一件次品

3、，求另一件也是次品的概率。（2）若每次取一件，在所得的產品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。3、條件概率的性質及應用例1：在某次考試中，要從20道中隨機地抽出6道題，若考試至少答對其中4道即可通過；若至少答對其中5道就獲得優(yōu)秀，已知某生能答對其中10道題目，且知道他在這次考試中已經通過，求他獲得優(yōu)秀的概率。例2：把一副撲克牌（不含大小王）隨機均分給趙、錢、孫、李四家，A=趙家得到6張梅花，B=孫家得到3張梅花（1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、課堂練習1、把一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，已知在第一次拋出偶數點的情況下，第二次拋出的也是偶數點的概率是多少？2、一個盒子中裝有6件合格

4、產品和4件次品，不放回地任取兩次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情況下，求第二件也是合格品的概率。事件的相互獨立性一、相互獨立事件的定義如果事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，或事件B的發(fā)生不會影響事件A發(fā)生的概率，那么事件A與事件B相互獨立。設A，B為兩個事件，如果 ，則稱事件A與事件B相互獨立；如果事件A與B相互獨立，那么A與 ，與B， 與 注意區(qū)分互斥事件與相互獨立事件二、典型例題1.相互獨立事件的判斷例1： 判斷下列各對事件是否是相互獨立事件：（1）甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生、3名女生，今從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1

5、名女生”；（2）容器內盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；（3）一筐內有6個蘋果和3個梨，“從中任意取出1個，取出的是蘋果”與“把取出的蘋果放回到筐內，再從筐內任意取出1個，取出的是梨”。例2：下面所給出的兩個事件A與B相互獨立嗎？拋擲一枚骰子，事件A=“出現(xiàn)1點”，事件B=“出現(xiàn)2點”；先后拋擲兩枚均勻硬幣，事件A=“第一枚出現(xiàn)正面”，事件B=“第二枚出現(xiàn)反面”；在含有2紅1綠三個大小相同的小球的口袋中，任取一個小球，觀察顏色后放回袋中，事件A=“第一次取到綠球”，B“第二次取到綠球”。2.求相互獨立事件

6、的概率例1：設事件A與B相互獨立，兩個事件中只有A發(fā)生的概率與B發(fā)生的概率都是，求P（A），P（B）。例2：某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答得0分，假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響。（1）求這名同學得300分的概率；（2）求這名同學至少得300分的概率；例3：甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設每人面試合格的概率都是0.5，且面

7、試是否合格互不影響，求：（1）至少有1人面試合格的概率；（2）簽約人數X的分布列.例4：某班甲、乙、丙三名同學競選班委，甲當選的概率，乙當選的概率為，丙當選的概率為.（1）求恰有一名同學當選的概率；（2）求至多有兩人當選的概率.3.綜合題型例1：甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為 和，求：（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）兩個人都譯不出密碼的概率；（3）恰有一個人譯出密碼的概率；（4）至多有一個人譯出密碼的概率；（5）至少有一個人譯出密碼的概率.例2：甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，如果兩人投中的概率為0.6，計算：（1）兩人都投中的概率；（2）至少有一人投中的

8、概率.4.多個事件的相互獨立性例1：甲、乙、丙三人各自向同一飛機射擊，設擊中飛機的概率分別為0.4、0.5、0.8，如果只有一人擊中，則飛機被擊落的概率是0.2；如果有兩人擊中，則飛機被擊落的概率是0.6；如果三人都擊中，則飛機一定被擊落，求飛機被擊落的概率。（三）課堂練習1、 兩人打靶，甲擊中的概率為0.8。，乙擊中的概率為0.7，若兩人同時射擊一目標，則它們都中靶的概率是 （ ）A. 0.56 B.0.48 C.0.75 D.0.62、 若P(AB)=0，則事件A與B的關系是（ ）A. 互斥事件 B. A、B中至少有一個為不可能事件 C. 互斥事件或至少有一個是不可能事件 D. 以上都不對

9、3、國慶節(jié)放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分別是、，假設三人的行動互不影響，那么這段時間至少有1人外出旅游的概率為（ ）A. B. C. D. 4、 將一個硬幣連擲5次，5次出現(xiàn)正面的概率是 ;5、 已知A、B是相互獨立事件，且P（A）=， P(B)= ，則P()_;P()_6、分別擲甲、乙兩枚均勻的硬幣，令A=硬幣甲出現(xiàn)正面，B=硬幣乙出現(xiàn)正面.驗證事件A、B是相互獨立的。獨立重復試驗與二項分布一、獨立重復試驗與二項分布的定義1. 獨立重復試驗：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次試驗的結果，則P(A1A2An) 2.二項分布：一般地，在n次獨

10、立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk) (k0,1,2，n)此時稱隨機變量X服從二項分布，記作 ，并稱p為成功概率二、典型例題1、獨立重復試驗概率的求法例1:某人連續(xù)射擊5次，每次中靶的概率均是0.9，求他至少兩次中靶的概率。例2：病人服用某藥品被治愈的概率為0.9求服用這種藥的10位患有這種病的患者中至少有7人被治愈的概率。例3：某人參加一次考試，若5道題中解對4道則為及格，已知他解對每道題的正確率為0.6，求他及格的概率2、求隨機變量的二項分布列例1：一名學生騎車上學，從家到學校途中有6個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率都是，設X為該生在途中遇到的紅燈次數，求X的分布列。3、利用二項分布求概率例1：有10臺都為7.5千瓦的機床，如果每臺機床的使用情況是相互獨立的，且每臺機床平均每小時開動12分鐘，問全部機床用電超過48千瓦的可