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1、2013 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽 規(guī)則（以下簡稱為”競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上 咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引 用處和參考文獻中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違 反競賽章

2、程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。 我們授權(quán)全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展 示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。 我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： A0114所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?廈門大學 參賽隊員（打印并簽名）： 1.王鈺聰 2. 劉世堯 3. 李文然 指導教師或指導教師組負責人（打印并簽名）： 譚 忠 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被

3、取消評獎資格。）日期： 2013 年 9 月 15 日 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 更多數(shù)學建模資料請關(guān)注微店店鋪“數(shù)學建模學習交流”/RHO6PSpA2013 高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）： 賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）： 評閱人 評分 備注 全一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）： 車道被占用對城市道路通行能力的影響摘要車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通 行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。車道

4、被占用的情況種類繁多、復雜，正確估算車道被占用對城市道路通行能力的影響程度，將為交通管理部門正確引導車輛行駛、審批占道施工、設(shè)計道路渠化方案、設(shè)置路邊停車位和設(shè)置非港灣式公交車站等提供理論依據(jù)。 針對問題一，通過對視頻1中交通事故發(fā)生至撤離期間,各種數(shù)據(jù)的采集，確定了事故橫斷面實際通行能力，運用Gibbs 抽樣仿真方法，通過excel軟件解決數(shù)據(jù)缺失問題，并用eviews進行ARMA模型擬合，發(fā)現(xiàn)實際通行能力的變化過程為yt = 2.0232+t0.7243t1 0.2757t2。 針對問題二，我們結(jié)合視頻1，采用與問題一同樣的方法對視頻2進行數(shù)據(jù)采集和分析，得到了橫斷面的實際通行能力，并將視

5、頻1和視頻2仔細對比，通過視頻1和視頻2中對 交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力，運用SPSS軟件進行兩獨立樣本 的曼惠特尼U檢驗，再根據(jù)路段附近交通設(shè)置，車輛流向比例，司機心理，周圍地形等 因素， 分析出產(chǎn)生差異的原因是主要是在不同車道車輛流量的比例。 針對問題三，通過分析視頻1塞車情況，分別建立非穩(wěn)態(tài)排隊論模型和分段差分方程 模型，并運用matlab軟件編程繪制圖像，解釋出視頻1中路段車輛排隊長度與事故橫斷面實 際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系為：實際通行能力越大交通事故 所影響的路段車輛排隊長度越小，或者說路段車輛排隊長度增長越慢；路段上游車流量越大交通事

6、故所影響的路段車輛排隊長度越大，或者說路段車輛排隊長度增長越快；事故持續(xù)時間越長，交通事故所影響的路段車輛排隊長度越大。 針對問題四，利用問題三所建立的模型和題目所給數(shù)據(jù)，如果采用非穩(wěn)態(tài)排隊論模型， 運用matlab軟件求解，得出從事故發(fā)生開始，經(jīng)過6.656分鐘，車輛排隊長度將到達上游路口； 如果通過分段差分方程模型，事故發(fā)生時上游路口剛好是綠燈時需要經(jīng)過6.42分鐘，事故發(fā)生時上游路口剛好是紅燈時需要經(jīng)過7.97分鐘，與上一模型所得結(jié)果相吻合。說明兩模型有很高的合理性和實用性。 【關(guān)鍵詞】通行能力Gibbs抽樣仿真ARMA模型擬合曼惠特尼U檢驗非穩(wěn)態(tài)排隊論分段差分方程30 1 問題重述車道

7、被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導致車道或道路橫斷面通行能力在單位時間內(nèi)降低的現(xiàn)象。一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力。附件中視頻1和視頻2的兩個交通事故處于同一路段的同一橫斷面，且完全占用兩條車道。 問題1：根據(jù)視頻1（附件1），描述視頻中交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。 問題2：根據(jù)問題1所得結(jié)論，結(jié)合視頻2（附件2），分析說明同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力影響的差異。 問題3：構(gòu)建數(shù)學模型，分析視頻1（附件1）中交通事故所影響的路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系。

8、 問題4：假如視頻1（附件1）中的交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40米，路段 下游方向需求不變，路段上游車流量為1500pcu/h, 事故發(fā)生時車輛初始排隊長度為零，且事故持續(xù)不撤離。請估算，從事故發(fā)生開始，經(jīng)過多長時間，車輛排隊長度將到達上游路 口。 2 模型假設(shè)1. 視頻中所統(tǒng)計數(shù)據(jù)真實可靠。 2. 排隊所占車道車輛數(shù)與對應車道行駛方向車輛數(shù)成正比，即：車道一車輛數(shù)：車道二 車輛數(shù)：車道三車輛數(shù)=0.21:0.44:0.35。 3. 除事故車輛外的其他車輛嚴格遵守交通規(guī)則，紅燈停，綠燈行。 4. 車輛到達率與正在排隊車輛數(shù)量無關(guān)，無論有多少車在排隊，車輛到達率不變。 5. 車輛來源是

9、無限的。 6. 堵車期間該路段沒有其他交通事故發(fā)生。 7. 在堵車狀況下相鄰兩輛車車頭之間間距為7米。 3 符號說明 ytt時刻視頻1實際通行能力 tt時刻的誤差 I單位矩陣 i虛數(shù)i2 = 1 t堵車持續(xù)時間 jj狀態(tài)下的車輛到達率 jj狀態(tài)下的車輛離開率 Pj(t)t時刻為狀態(tài)j的概率 A常微分方程組系數(shù)矩陣 xk矩陣A的第k個特征值 e自然指數(shù)e 2.718 ck常微分方程通解系數(shù) m(t)t時刻的平均車輛數(shù) s(t)t時刻路段車輛排隊長度 a1小區(qū)1進出的車凈到達率 a2小區(qū)2進出的車凈到達率 1.紅燈時的上游路口到達率 2.綠燈時的上游路口到達率j P (t)t時刻狀態(tài)j下的概率變化

10、率 l0平均車間距與平均車長之和 rk第k個特征值對應的特征向量 Pi車道i所含排隊車輛數(shù)占總排隊車輛數(shù)比例 P N (t + t) | N (t)t時刻狀態(tài)為N(t)時，t+ t時刻狀態(tài)為N(t + t)的條件概率 4 模型的建立與求解4.1 問題一4.1.1 問題一的分析為分析事故所處橫斷面實際通行能力的變化，首先對視頻1中交通事故發(fā)生至撤離期 間的錄像進行處理，數(shù)出以30s為時間間隔，紅綠燈交替1min為一個周期時單位時間內(nèi)橫 斷面通過的車量個數(shù)，計算實際通行能力。由于視頻中有多處出現(xiàn)片段的中斷，影響計數(shù)，為了得到完整的數(shù)據(jù)，同時考慮到經(jīng)過橫斷面的車輛數(shù)為隨機數(shù)這一情況，我們選用Gibb

11、s 抽樣仿真方法，對缺失的數(shù)據(jù)進行填補。用填補后的數(shù)據(jù)繪制折線圖，描述交通事故發(fā)生至撤離期間,事故所處橫斷面實際通行能力的變化過程。 4.1.2 問題一的解答 數(shù)據(jù)的處理與分析： 對視頻1中事故所處橫斷面通過車輛進行計數(shù)： 對經(jīng)過事故所處橫斷面的車輛進行計數(shù)，按照規(guī)定，只考慮四輪及以上機動車、電瓶車的交通流量，且換算成標準車當量數(shù)，根據(jù)公路工程技術(shù)標準（JTG B01-2003）規(guī)定的換算標準1，對視頻中符合要求的車輛數(shù)據(jù)進行換算。 具體換算規(guī)則如下： 表1：四輪以上車輛折算規(guī)則 車型載荷及功率折算系數(shù) 小客車額定座位19座1.0 大客車額定座位19座1.5 小型貨車載質(zhì)量2噸1

12、.0 大型貨車載質(zhì)量2噸1.5從視頻可知事故發(fā)生時間為16:42:32附近，所以我們以30s為時間間隔，以16:42:30為時 間起點，開始計數(shù)。數(shù)據(jù)結(jié)果如下： 表2：視頻1車輛計數(shù)及當量轉(zhuǎn)換 時間 小車 大車 當量轉(zhuǎn)換 通行能力 時間 小車 大車 當量轉(zhuǎn)換 通行能力 42:307210120043:00819.5114043:309110.5126044:00819.5114044:3080896045:0080896045:30718.5102046:00718.5102046:30909108047:0070784047:30718.5102048:0011011132048:30100

13、10120049:00909108049:30909108050:00718.5102050:3010010120051:00909108051:3080896052:009110.5126052:30819.5114053:0080896053:30909108054:00909108054:30819.5114055:00909108055:3010010120056:0080896056:30909108057:0071.58.5102057:30909108058:0080896058:30718.5102059:00718.51020注：粗體部分數(shù)據(jù)為Gibbs 抽樣仿真方法預測數(shù)據(jù)

14、。 用Gibbs 抽樣仿真方法進行處理： 理論依據(jù)5： Gibbs 抽樣表現(xiàn)為一個Markov 鏈形式的Monte Carlo 方法，其良好的性質(zhì)可用于許多隨機系統(tǒng)的分析、多元分布的隨機數(shù)產(chǎn)生。Gibbs 抽樣的基本原理：假設(shè)X, Y 等大寫字母表示隨量或隨機向量；X, Y 代表其相應的概率分布；X|Y , Y |X則表示條件分布。在二元的情況下，如果XY和YX已知，不論X,Y知道與否，都可以通過以下步驟產(chǎn)生服從X,Y的隨機點列(x, y)m = (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), . . . ,，該點列的“邊緣 數(shù)列”(x)n = x1, x2, .

15、. . , xn, . . . , (y)n = y1, y2, . . . , yn, . . . 分別服從 X,Y 的邊緣分 1m+n布X、Y，且具良好的性質(zhì) limn nk=m+1g(x k, y k) = Eg(x, y).Step 1 任意選取X 的一個可能取值點x1，根據(jù)Y |X = x1 產(chǎn)生隨機數(shù)y1，隨機數(shù)對(x1, y1)成為隨機點列(x, y)n中第一個點； Step 2 根據(jù)X|Y = y1產(chǎn)生隨機數(shù)x2，根據(jù)Y |X = x2產(chǎn)生隨機數(shù)y2，隨機數(shù)對(x2, y2)成為隨機點列(x, y)n中第二個點； Step 3 重復以上過程n 次，我們即能得到所需要的隨機點列(

16、x, y)n。 上游路是紅燈還是綠燈對交通事故橫斷面實際通行能力會造成一定的影響，所以紅 燈和綠燈作為兩種情況分開考慮，計算不同情況下通行能力出現(xiàn)的條件概率。對視頻中缺失片段數(shù)據(jù)進行補全，將已知片段按周期分開得到表3： 表3：事故發(fā)生至撤離期間紅綠燈交替對應車輛當量紅燈 1010.58798.51010綠燈 9.59.588.57119910.5899根據(jù)表二統(tǒng)計的數(shù)據(jù)（通行能力已知部分）可得，橫斷面可能出現(xiàn)的車輛數(shù)集合為 （7,8,8.5,9,9.5,10,10.5,11），對應用數(shù)字（1,2,3,4,5,6,7,8）分別表示這8個數(shù)。運用Gibbs 抽樣填充缺失數(shù)據(jù)只要

17、掌握缺失數(shù)據(jù)的屬性與其他屬性之間的條件分布，就能夠利用這些分布 產(chǎn)生數(shù)據(jù),因此我們對數(shù)據(jù)進行整理得出條件概率分布表如下： 表4：車輛當量 紅綠燈條件概率分布表 XX標號 12345678XXXXXXX車輛當量 交通燈XXXXX788.599.51010.511合計 紅燈 1 12 2 12 1 12 1 12 3 12 3 12 1 120100%紅燈 1 12 2 12 1 12 3 12 2 120 1 12 1 12100%我們使用Excel 來實現(xiàn)Gibbs 抽樣仿真。首先使用rand()命令產(chǎn)生隨機數(shù)數(shù)列。在Excel 中，rand()產(chǎn)生的是0 到1 之間均勻分布的隨機數(shù)，因而所產(chǎn)

18、生的隨機數(shù)小于0.6的概率就是0.6。使用的excel命令見附錄1。 填補未知數(shù)據(jù)結(jié)果如下： 表5：Gibbs 抽樣仿真填補數(shù)據(jù)結(jié)果 時間 車輛當量 通行能力 時間 車輛當量 通行能力 時間 車輛當量 通行能力 56:00896056:309108057:008.5102057:309108058:00896058:308.5102059:008.5102049:309108053:3091080將補全后的數(shù)據(jù)，運用Excel畫出折線圖如下： 由于數(shù)據(jù)呈現(xiàn)不平穩(wěn)波動，因此我們考慮運用eviews的ARIMA模型對數(shù)據(jù)進行擬合， 我們定義開始時間t = 0，做出自相關(guān)圖如下： 發(fā)現(xiàn)自相關(guān)圖不穩(wěn)定

19、，因此對其進行一階差分得到自相關(guān)圖，并進行單位根ADF檢驗： 發(fā)現(xiàn)在顯著性水平0.05下可以拒絕一個單位根的原假設(shè)，所以一階差分后序列已經(jīng) 穩(wěn)定。由于一階差分自相關(guān)系數(shù)在2階和3階出落在2倍標準差邊緣，因此考慮用ma（2）進 行嘗試，最終選擇擬合程度最好的模型為ARMA(0，2).擬合R方為0.411.擬合圖形如下： 因此擬合曲線為 yt = 2.0232 + t 0.7243t1 0.2757t2結(jié)合視頻對圖像進行分析，橫斷面的實際通行能力呈現(xiàn)上下波動的不穩(wěn)定狀態(tài)，但整體都在一條直線上下波動。在第二個時間點下降是因為車禍發(fā)生的時間剛好是上一次 綠燈通過大量車到達車禍截面，由于人們原本還在自己

20、選擇的車道上，但是當發(fā)現(xiàn)車禍后，均會 轉(zhuǎn)移到右轉(zhuǎn)車道，因此右轉(zhuǎn)車道在開始短時間內(nèi)可以順利通行，當其他車道擠過 來時，會產(chǎn)生排隊效應，降低該車道的實際通行能力，因此第二個時間點的實際通行能力 會比第一個時間點低。加上上游路口紅綠燈是以60S為周期，所以整個截面通行能力呈現(xiàn) 上下波動的情況。校園咖客收集整理（） 4.2 問題二4.2.1 問題二的分析根據(jù)視頻1的處理方法同樣統(tǒng)計出視頻2中的各項數(shù)據(jù)，然后分別從60S周期、上游路 口為紅燈和上游路口為綠燈的時候的通行能力將兩種不同橫斷面的情況進行對比，利用 非參數(shù)檢驗中兩獨立樣本的曼-惠特尼U檢驗對兩組通行能力差異

21、進行對比，并根據(jù)結(jié)果 進行相應的分析。 4.2.2 問題二的解答 理論準備6： 曼-惠特尼U檢驗通過對兩個樣本的平均秩的研究實現(xiàn)推斷。其零假設(shè)是樣本來自的 兩總體的分布無顯著差異?；静襟E是： 首先將兩樣本數(shù)據(jù)(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2, , Yn)混合并按升序排序，得到每個數(shù)據(jù)各自的秩Ri.分別對樣本(X1,X2, ,Xm)和(Y1,Y2, ,Yn)的秩求平均，得到兩個平均秩Wx/m和Wy/n,其中Wx、Wy成為秩和統(tǒng)計量。 計算樣本(X1, X2, , Xm)每個秩先于樣本(Y1, Y2, , Yn)每個秩的個數(shù)U1,以及樣本(Y1, Y2, , Yn)每個

22、秩先于樣本(X1, X2, , Xm) 每個秩的個數(shù)U2。即U1 = Wx1/2m(m+ 1), U2 = Wy 1/2n(n + 1),且U1 + U2 = m n.計算Wilcoxon W統(tǒng)計量。Wilcoxon W為上述U1和U2中較小者對應的秩和。 計算曼-惠特尼U統(tǒng)計量。即U = W 1 k(k + 1)。 2在大樣本下，U統(tǒng)計量近似服從正態(tài)分布，計算方法是 Z =U 1 mn212 1 mn(m + n + 1) 數(shù)據(jù)收集： 我們視頻2的數(shù)據(jù)收集是在17:34:30開始收集的，并以30S為周期統(tǒng)計一次，因此我們 記17:34:30為t = 0,并以此類推，獲取實際通行

23、能力如下： 表6：視頻2車輛計數(shù)及當量轉(zhuǎn)換 時間t0.511.522.533.544.555.56車流量pcu/h1260162015001020126014401500108015009001560720時間t6.577.588.599.51010.51111.512車流量pcu/h168096013801320162013801260720114096014401140時間t12.51313.51414.51515.51616.51717.518車流量pcu/h11403601500126011401200144013801200120012601080時間t18.51919.52020.

24、52121.52222.52323.524車流量pcu/h12601140960132012601440102015001200132012001200時間t24.52525.52626.52727.52828.52929.5車流量pcu/h1080108084012601260114010801140138013201260 問題解答： 首先先以60S為周期對視頻1和2橫斷面實際通行能力的差異進行比較，利用SPSS進行曼-惠特尼U檢驗操作得： Mann-Whitney U508Wilcoxon W1174Z-4.272漸近顯著性(雙側(cè))0.0000變量 N秩均值 秩和 1363

25、2.61117425957.393386總 數(shù) 95由表格可知，檢驗p值小于0.05，因此我們要拒絕原假設(shè)，且視頻2的秩均值大于視 頻1.即可以認為以60S為周期時同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能 力的影響有顯著差異，且視頻2的實際通行能力比視頻1大。 然后用同樣的方法，分別對上游路口為紅燈和上游路口為綠燈時的實際通行能力差 異進行比較，同樣利用SPSS進行曼-惠特尼U檢驗操作得，紅燈時候的結(jié)果如下： Mann-Whitney U97Wilcoxon W268Z-3.712漸近顯著性(雙側(cè))0.0000變量 N秩均值 秩和 11814.8926823030.27908總 數(shù)

26、48由表格可知，檢驗p值小于0.05，因此我們要拒絕原假設(shè)，且視頻2的秩均值大于視 頻1.即可以認為在紅燈時同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行能力的影響有顯著差異。且視頻2的實際通行能力比視頻1大。 綠燈時候的結(jié)果利用SPSS進行曼-惠特尼U檢驗操作得： Mann-Whitney U151Wilcoxon W322Z-2.421漸近顯著性(雙側(cè))0.01547變量 N秩均值秩和 11817.8932222927.79806總數(shù) 47由表格可知，檢驗p值小于0.05，因此我們要拒絕原假設(shè)，且視頻2的秩均值大于視頻1.即可以認為在綠燈時同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實際通行

27、能力的影響有 顯著差異。且視頻2的實際通行能力比視頻1大。 綜合上述三個檢驗，我們可以認為同一橫斷面交通事故所占車道不同對該橫斷面實 際通行能力影響有顯著差異，且這里視頻2的實際通行能力比視頻1大。我們畫出折線圖進行比較如下：校園咖客收集整理（） 我們以視頻1為比較基準，分別計算60S為周期，綠燈和紅燈時候視頻2中截面通行 能力的變化率，其中通行能力取各個情況下的均值作為比較。計算可得60S內(nèi)視頻2相對于 視頻1 的通行能力變化率為14.455%。綠燈時候的變化率為18.344%.紅燈時候的變化率為10.345%.根據(jù)路面的實際情況造成這種結(jié)果的原因有如下：

28、 由于到下游路口直行和左轉(zhuǎn)流量比例總共為79%.當人們從上游路口進入時，會按 照自己意愿選擇車道，因此大部分人會在直行和左轉(zhuǎn)車道上，所以當這個兩條道路被堵時， 道路上車為了通行必須拐到右轉(zhuǎn)車道，這種類似插隊的行為效率較低，造成時間浪費，而相反，如果是右轉(zhuǎn)車道和直行車道被堵時，這兩個車道的流量比例總共為65%，那 么時間浪費的次數(shù)會相對第一種情況較少，因此通行能力會更好。所以當上游路口為綠燈的時候，車流量較大，直行道和左轉(zhuǎn)車道的數(shù)量會較多，因此相對于紅燈時造成的排隊 效應會更大，時間浪費更多，所以綠燈變化率會比紅燈時候大。 由于小區(qū)路口在右轉(zhuǎn)車道邊上，如果左轉(zhuǎn)和直行車道被堵，那么當右轉(zhuǎn)車道隊長到

29、小區(qū)路口時，小區(qū)車的出入就會受到影響，同時也會影響右邊車道的流通，而如果當右 邊車道和直行車道被堵時，即使右邊車道隊長到小區(qū)門口，對左邊車道通行的影響也不會太大。 4.3 問題三4.3.1 問題三的分析當發(fā)生交通事故之后，沒有大量的車流入，原因是當時是紅燈，半分鐘之后，有大量的車輛流入，原因是紅燈變?yōu)榱司G燈，視頻中參與到排隊的流入車輛包括了上游路口進入的車輛和小區(qū)出口出來的車輛，沒有參加排隊的車輛包括了從小區(qū)入口去小區(qū)的車輛和從事故橫斷 面離開的車輛，進過檢驗，發(fā)現(xiàn)車輛流入是一個服從泊松分布的隨機過程， 且三個車道被堵住了兩個，所以考慮建立單服務窗口排隊論模型，然而這與通常的穩(wěn)態(tài)排隊論問題不同

30、，我們決定重新審視排隊論問題中的生滅過程，求解非穩(wěn)態(tài)排隊論通解， 得出路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系。 再考慮到流入車輛，流出車輛和堵塞在排隊的車輛的守恒關(guān)系，我們選擇建立簡單的差分方程模型，再考慮到紅綠燈對流入量的影響，我們選擇建立分段差分方程來建立路段車輛排隊長度與事故橫斷面實際通行能力、事故持續(xù)時間、路段上游車流量間的關(guān)系。 其中通過對視頻1的仔細觀察，我們發(fā)現(xiàn)當靠小區(qū)出口的道路排隊隊長超過小區(qū)路口位置的時候，小區(qū)出來的車會進入道路的車輛會增加隊長，但在小區(qū)路口等待的車輛卻不 增加隊長，針對這一情況完善我們的模型。 4.3.2 問題三的數(shù)據(jù)

31、處理對于問題三，我們考慮到不僅是上游路口有車流入，兩個小區(qū)也有車流入和流出，因 此我們定義一個凈流入的車流量為上游路口車流入量加上從小區(qū)流入路段的車流量再減 去流入小區(qū)的車流量，將這個凈車流量作為到達的人數(shù)，并利用SPSS進行泊松分布的檢驗得到結(jié)果如下： 由檢驗結(jié)果可知，p值為0.19，所以在置信水平0.05下我們可以接受原假設(shè)，即凈流入 車流量與泊松分布無顯著差異，即滿足泊松分布。 當左轉(zhuǎn)車道的隊列長度排到第一個小區(qū)口時，這個小區(qū)口的車就無法進入到車道上， 此時能流入到車道的車流量只有上游路口的流入加上第一個小區(qū)的凈流出，同樣我們將此時的凈車流量作為到達人數(shù)，并利用SPSS進行泊松分布的檢驗

32、得到結(jié)果如下： 由檢驗結(jié)果可知，p值為0.457，所以在置信水平0.05下我們可以接受原假設(shè)，即凈流入車流量與泊松分布無顯著差異，即滿足泊松分布。 考慮到我們要進行紅綠燈的分段計算，因此我們分別對紅燈和綠燈時的凈車流量進 行泊松檢驗分別得到如下結(jié)果： 由檢驗結(jié)果可知，p值分別為0.736和0.235，所以在置信水平0.05下我們可以接受原假 設(shè)， 即紅燈和綠燈時候的凈流入車流量與泊松分布無顯著差異，即滿足泊松分布。 4.3.3 問題三的模型的建立（一）第一種方法：非穩(wěn)態(tài)排隊論模型 生滅過程是描述生物系統(tǒng)中生滅現(xiàn)象的一種隨機過程。在車輛堵塞排隊中，車輛的到達和離去就是一種生滅現(xiàn)象。8因此，可用生

33、滅過程來解決車輛堵塞造成的排隊問題。 生滅過程的定義如下：設(shè)一個系統(tǒng)具有可數(shù)個狀態(tài)（車輛數(shù)）0，1，2, ,或有限個狀態(tài)0,1,2 ,m,令系統(tǒng)在時刻t 的狀態(tài)記為N(t ), 在任一時刻t ,若系統(tǒng)處于N(t ) = j,則在時間區(qū)間(t ; t + t )內(nèi)，只能轉(zhuǎn)移到相鄰的狀態(tài)或者保持狀態(tài)不變，而不允許有兩次或者更多的轉(zhuǎn)移。其轉(zhuǎn)移的概率如下： (1) 由狀態(tài)j轉(zhuǎn)移到( j + 1)的概率如下： P N (t + t) = j + 1 | N (t) = j = jt + o(t)(2) 由狀態(tài)j轉(zhuǎn)移到( j-1)的概率為： P N (t + t) = j 1 | N (t) = j =

34、jt + o(t)(3) 狀態(tài)保持不變的概率為： P N (t + t) = j | N (t) = j = 1 (j + j)t + o(t)上述各式中，j為到達率，j為離開率，j,j 均為正常數(shù)，且只與狀態(tài)j有關(guān)。下面建立堵車過程的微分方程組 由堵車過程的前提條件可知，狀態(tài)N (t + t) = j,只能由三種狀態(tài)轉(zhuǎn)移而來，即N (t) =j;N (t) = j 1; N (t) = j + 1.由全概率公式，得 Pj(t + t) = j1tPj1(t) + (1 (j + j)t)Pj(t) + jtPj+1(t) + o(t)所以 lim Pj(t + t) Pj(t) = P(t)

35、 ( + )P (t) + P(t)即： ttj1 j1jjjj+1 j+1jP (t) = j1Pj1(t) (j + j)Pj(t) + j+1Pj+1(t)(1)當j = 0時， 0P (t) = 1P1(t) 0P0(t)(2)考慮道路車輛容納量有限,最大容納量n,則： nP (t) = n1Pn1(t) nPn(t)(3)上述公式(1)(2)(3)組成堵車過程的微分方程組： P0 (t) = P 1(t) P0(t)jP(t) = Pj1(t) ( + )Pj(t) + Pj+1(t)(j = 1, 2, , n 1)nP (t) = Pn1(t) Pn(t)考慮到交通堵塞不是一般的

36、排隊論問題，來的車往往比離開的車多，造成了交通堵塞，所以交通堵塞問題中的到達率，離開率的比值 1，這樣一來，上面的常微分方程組中Pj(t)是隨著時間變化而變化的因變量，所以不能只考慮穩(wěn)態(tài)方程的解，下面考慮此方程組的通解： =方程組即為：d PAPdt其中： 0 0 A = 0P0(t)P1(t) P = Pn(t)P我們來求解形如 = r ext的解，其中x為矩陣A的特征值，r為x對應的特征向量；則特征方程| xI A |= 0 的解如下:| xI A |=x + x + + x + + x + + x + = An+1 A n An + An1其中：An=x + x + + x + + x + + x + 是一個n n的行列式。 所以An+1 = (x + + )An An1,所以| xI A |= (x + + )An An1 A n An + An1 = xAn顯然x = 0是其中一個特征值，由| An |= 0可以求得其他特征值： An = (x + + + i)n+1 (x + + i)n+1 2n+1i其中 =a2 4bc,a = x + + ,b = ,c = 設(shè)復角為a +4bc a2i的復角， 由An = 0得：校園咖客收集整理（） (cos + i sin )n+1 = c