高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.2.3向量的數(shù)乘學(xué)案蘇教版必修

1、2.2.3向量的數(shù)乘 1掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義(重點)2理解兩個向量共線的含義，掌握向量共線定理3了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義基礎(chǔ)初探教材整理1向量的數(shù)乘定義閱讀教材P68第一、二、三個自然段，完成下列問題一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a的方向相反；當(dāng)a0時，a0；當(dāng)0時，a0.實數(shù)與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)a0，則0.()(2)對于非零向量a，向量3a與向量3a方向相反()(3)對于非零向量a，向量6a的模是向量3a的模的2倍()【解析】

2、(1)若a0，則0或a0，(1)錯誤(2)正確(3)|6a|6|a|，|3a|3|a|，(3)正確【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量數(shù)乘的運算律閱讀教材P68倒數(shù)第2自然段，完成下列問題1(a)()a；2()aaa；3(ab)ab.15(4a)_.【解析】5(4a)5(4)a20a.【答案】20a2ae12e2，b3e12e2，則ab_.【解析】ab(e12e2)(3e12e2)4e1.【答案】4e1教材整理3向量共線定理閱讀教材P70，完成下列問題如果有一個實數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)，使ba.1已知e1和e2不共

3、線，則下列向量a，b共線的序號是_a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.【解析】e1與e2不共線，不正確；對于有b2a；對于有a4b；不正確【答案】2已知a5b，2a8b，3(ab)則與_.【解析】2a8b3(ab)a5b，與共線【答案】共線質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型向量數(shù)乘的基本運算計算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)【精彩點撥】利用向量線性運算的法則化簡，先去括號，再將共線向量合并【

4、自主解答】(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abaabababa0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b.向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”、“提取公因式”，但這里的“同類項”、“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù).向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解.再練一題1若向量a3i4j，b5i4j，則3(2ba)_.【解析】原式ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)(115)ij16ij.【答案】16ij向量的共線問題已知非零向量e1，e2不共線. (1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求證

5、：A，B，D三點共線(2)欲使ke1e2和e1ke2共線，試確定實數(shù)k的值【精彩點撥】對于(1)，欲證A，B，D共線，只需證存在實數(shù)，使即可；對于(2)，若ke1e2與e1ke2共線，則一定存在實數(shù)，使ke1e2(e1ke2)【自主解答】(1)證明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，共線，且有公共點B，A，B，D三點共線(2)ke1e2與e1ke2共線，存在實數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2，由于e1與e2不共線，只能有k1.1證明三點共線，通常轉(zhuǎn)化為證明這三點構(gòu)成的其中兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據(jù)2若A，B，C三點共線，則向量，

6、在同一直線上，因此必定存在實數(shù)，使得其中兩個向量之間存在線性關(guān)系而向量共線定理是實現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù)再練一題2設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三點共線，求k的值【解】(2e1e2)(e13e2)e14e2.因為A，B，D三點共線，故存在實數(shù)，使得，即2e1ke2(e14e2)e14e2.由向量相等的條件，得解得k8，所以k8.探究共研型向量共線的有關(guān)結(jié)論探究1已知O為平面ABC內(nèi)任一點，若A，B，C三點共線，是否存在，R，使O，其中1?【提示】存在，因A，B，C三點共線，則存在R，使，()，(1).令1，則，且1.探究2已知O為平面ABC內(nèi)任

7、一點，若存在，R，使，1，那么A，B，C三點是否共線？【提示】共線，因為存在，R，使，且1，1，(1)，()，A，B，C三點共線如圖2220所示，已知OAB中，點C是以A為對稱中心的B點的對稱點，D是把分成21的一個內(nèi)分點，DC和OA交于E，設(shè)a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求實數(shù)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：】圖2220【精彩點撥】由已知得A為BC中點，D為OB的三等分點，由向量的線性運算法則可解第(1)問，第(2)問可由向量共線定理解決【自主解答】(1)依題意，A是BC中點，2，即22ab，2abb2ab.(2)若，則a(2ab)(2)ab.與共線，存在實數(shù)k，使k，(2)abk，解得.用

8、已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中；(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理，用已知向量表示未知向量；(3)求解過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的化歸思想.再練一題3.如圖2221，在OADB中，設(shè)a，b，.試用a，b表示，及.圖2221【解】由題意知，在OADB中，()(ab)ab.則babab，()(ab)ab，(ab)abab.構(gòu)建體系1已知mR，下列說法正確的是_若ma0，則必有a0；若m0，a0，則ma與a方向相同；m0，a0，則|ma|m|a|；若m0，a0，則ma與a共線【解析】錯若ma0，則m0或a0.錯m0時，ma與

9、a同向，m0時，ma與a反向錯|ma|m|a|，m0時，|ma|m|a|；m0時|ma|m|a|.【答案】2.ABC中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點，且a，b，則_(用a，b表示)圖2222【解析】(ba)【答案】(ba)3平面向量a，b共線的等價條件是_(填序號)a，b方向相同；a，b兩向量中至少有一個為零向量；存在R，ba；存在不全為0的實數(shù)1，2，使1a2b0.【解析】由兩個非零向量a，b共線的條件，即由向量共線定理可知，不是a，b共線的等價條件，是【答案】4若|a|3，b與a反向，|b|2，則a_b.【解析】b與a反向，ab，0.又|a|3，|b|2，|a|b|，ab.【答案】5計算：

10、(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2)；(3)(mn)(ab)(mn)(ab) 【導(dǎo)學(xué)號：】【解】(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c6a4b.(2)原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba.(3)原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b2(mn)b.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(十七)向量的數(shù)乘(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1已知R，則下列說法錯誤的是_(填序號)|a|a|；|a|a；|a|a|；|a|0.【解析】當(dāng)0時，式不成立；當(dāng)0或a0時，式不成立；又|a|R，而

11、|a是數(shù)乘向量，故必不成立【答案】2化簡為_【解析】原式(2a6b)ab.【答案】ab3若，則_.【解析】，點A，B，C三點共線，且與同向，(如圖)，又與反向，.【答案】4在ABC中，已知3，則_(用，表示)【解析】3，3()，.【答案】5(2016蘇州高一檢測)設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量me1ke2(kR)與向量ne22e1共線，則k_. 【導(dǎo)學(xué)號：】【解析】m與n共線，存在實數(shù)，使得mn，e1ke2(e22e1)，k.【答案】6已知向量a，b且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是_【解析】2a4b2，A，B，D三點共線【答案】A，B，D7若O是平行四邊形ABCD的兩條

12、對角線的交點，2e1，3e2，則_.(用e1，e2表示)【解析】，3e22e1.又2，e2e1.【答案】e2e18(2016南通高一檢測)已知平面內(nèi)有一點P及一個ABC，若，則下列說法正確的是_(填序號)點P在ABC外部；點P在線段AB上；點P在線段BC上；點P在線段AC上【解析】，20.如圖，易知P在線段AC上【答案】二、解答題9如圖2223所示，已知在ABCD中，點M為AB的中點，點N在BD上，且3BNBD.圖2223求證：M，N，C三點共線【證明】設(shè)a，b，則ab，ab，a，b，ab，aab，又M為公共點，M，N，C三點共線10如圖2224，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若a，b，試用a，b表示和.圖2224【解】連接CN.ANDC，且ANDCAB，四邊形ANCD為平行四邊形，b.0，ba，ab.能力提升1若5e，7e，且|，則四邊形ABCD的形狀是_【解析】5e，7e，與平行且方向相反，易知|.又|，四邊形ABCD是等腰梯形【答案】等腰梯形2已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m的值為_【解析】由0可知，M是ABC的重心取BC的中點D，則2.又M是ABC的重心，2，3，即m3.【答案】33在ABC中，2，mn，則m_，n_