初中數學中的折疊問題

1、初中數學中的折疊問題折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現頻率較高的一類題型，學生往往由于對折疊的實質理解不夠透徹，導致對這類中檔問題失分嚴重。本文試圖通過對在初中數學中經常涉及到的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)方法。其實對于折疊問題，我們要明白：1、折疊問題（翻折變換）實質上就是軸對稱變換2、折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等3、對于折疊較為復雜的問題可以實際操作圖形的折疊，在畫圖時，畫出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數量關系和位置關系4、在矩形（

2、紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設要求的線段長為x，然后根據軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求解一、矩形中的折疊1將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，CBD= 度BC、BD是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD則CBD = 90折疊前后的對應角相等2如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點A落在點A處，再過點A折疊使折痕DEBC，若AB=4，AC=3，則ADE的面積是 沿BC折疊，頂點落在點A處，根據對稱的

3、性質得到BC垂直平分AA，即AF = AA，又DEBC，得到ABC ADE，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面積 = 24對稱軸垂直平分對應點的連線3如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折痕DG，求AG的長由勾股定理可得BD = 5，由對稱的性質得ADG ADG，由AD = AD = 3，AG = AG，則AB = 5 3 = 2，在RtABG中根據勾股定理，列方程可以求出AG的值根據對稱的性質得到相等的對應邊和對應角，再在直角三角形中根據勾股定理列方程求解即可4把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后

4、再沿著BF折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則DFB等于（）根據對稱的性質得到ABE=CBE，EBF=CBF，據此即可求出FBC的度數，又知道C=90，根據三角形外角的定義即可求出DFB = 112.5注意折疊前后角的對應關系5如圖，沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點C落在點E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積點C與點E關于直線BD對稱，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD設FD = x，則FB = x，FA = 8 x在RtBAF中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以，陰影部分的面積

5、SFBD = FDAB = 6 = cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角FEC=64，則1= 度；EFG的形狀 三角形四邊形CDFE與四邊形CDFE關于直線EF對稱2 = 3 = 644 = 180 - 2 64 = 52ADBC1 = 4 = 522 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG是等腰三角形對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便于尋找對折前后圖形之間的關系，注意以折痕為底邊的等腰GEF7如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進行折疊：對折，展平，得折痕EF（如圖）；延CG折疊，使點

6、B落在EF上的點B處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊，使點C落在DH上的點C處，（如圖）；沿GC折疊（如圖）；展平，得折痕GC，GH（如圖）（1）求圖中BCB的大??；（2）圖中的GCC是正三角形嗎？請說明理由（1）由對稱的性質可知：BC=BC，然后在RtBFC中，求得cosBCF= ，利用特殊角的三角函數值的知識即可求得BCB= 60；（2）首先根據題意得：GC平分BCB，即可求得GCC= 60，然后由對稱的性質知：GH是線段CC的對稱軸，可得GC= GC，即可得GCC是正三角形理清在每一個折疊過程中的變與不變8如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8，將其沿EF折疊，則圖中四個三角

7、形的周長之和為四邊形BCFE與四邊形BCFE關于直線EF對稱，則這四個三角形的周長之和等于正方形ABCD的周長折疊前后對應邊相等9如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點B落在邊AD的中點G處，求四邊形BCFE的面積設AE = x，則BE = GE = 4 - x，在RtAEG中，根據勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 1.5 = 2.51 + 2 = 90，2 + 3 = 901 = 3又A = D = 90AEG DGP= ，則= ，解得GP = PH = GH GP = 4 - = 3

8、= 4，tan3 = tan1 = tan4 = ，= ，FH = PH = = CF = FH = S梯形BCFE = (+ )4 = 6注意折疊過程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對應邊與對應角相等10如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上不與A、D重合MN為折痕，折疊后BC與DN交于P(1)連接BB，那么BB與MN的長度相等嗎？為什么？ (2)設BM=y，AB=x，求y與x的函數關系式；(3)猜想當B點落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNCB面積最??？并驗證你的猜想(1)BB = MN過點N作NHBC交AB于點H），證ABB HNM(2)MB = MB =

9、y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中BB = = 因為點B與點B關于MN對稱，所以BQ = BQ，則BQ = 由BMQBBA得BMBA = BQBB y = = (3) 梯形MNCB的面積與梯形MNCB的面積相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，則CN = y - x梯形MNCB的面積為：(y x + y) 1 = (2y - x)= (2 x)= (x - )2 + 當x = 時，即B點落在AD的中點時，梯形MNCB的面積有最小值，且最小值是二、紙片中的折疊11如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數等于（） = 1，2 = 1 = 22+

10、ABE=180，即2+30=180，解得=75題考查的是平行線的性質，同位角相等，及對稱的性質，折疊的角與其對應角相等，和平角為180度的性質，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形12如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC，使CAB=45，則后重合部分的面積為作CDAB，CEAB，1=2，根據翻折不變性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45，在RtADC中，AC = ，AB = SABCD = 在折疊問題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補充完整，對于矩形（紙片）折疊，折疊后會形成“平行線+角平分線”的基本結構，即重疊部分是一個以折痕為底邊的等腰三角形ABC13將寬2cm的

11、長方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長是 如圖，作QHPA，垂足為H，則QH=2cm，由平行線的性質，得DPA=PAQ=60由折疊的性質，得DPA =PAQ，APQ=60，又PAQ=APQ=60，APQ為等邊三角形，在RtPQH中，sinHPQ = = ，則PQ = 注意掌握折疊前后圖形的對應關系在矩形（紙片）折疊問題中，會出現“平行線+角平分線”的基本結構圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ14如圖a是長方形紙帶，DEF=20，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的CFE的度數是（）ADBC，DEF=EFB=20，在圖b中，GE = GF，GFC=180-2EFG=

12、140，在圖c中CFE=GFC-EFG=120，本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變由題意知DEF=EFB=20圖bGFC=140，圖c中的CFE=GFC-EFG15將一張長為70cm的長方形紙片ABCD，沿對稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm，則原紙片的寬AB是（）設AB=xcm右圖中，AF = CE = 35，EF = x根據軸對稱圖形的性質，得AE=CF=35-x（cm）則有2（35-x）+x=60，x=1016一根30cm、寬3cm的長方形紙條，將其按照圖示的過程折疊（陰影

13、部分表示紙條的反面），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點P的長度相等，則最初折疊時，求MA的長將折疊這條展開如圖，根據折疊的性質可知，兩個梯形的上底等于紙條寬，即3cm，下底等于紙條寬的2倍，即6cm，兩個三角形都為等腰直角三角形，斜邊為紙條寬的2倍，即6cm，故超出點P的長度為（30-15）2=7.5，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折疊17如圖，把RtABC（C=90），使A，B兩點重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點恰好與D點重合，則CE：AE=18在ABC中，已知AB=2a，A=30，CD是AB邊的中線，若將ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小ACD與BCD重疊部分的面積恰

14、好等于折疊前ABC的面積的（1）當中線CD等于a時，重疊部分的面積等于 ；（2）有如下結論（不在“CD等于a”的限制條件下）：AC邊的長可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于；折疊后，以A、B為端點的線段AB與中線CD平行且相等其中， 結論正確（把你認為正確結論的代號都填上，若認為都不正確填“無”）(1)CD = ABACB = 90AB = 2a，BC = a，AC = SABC = ACBC = 重疊部分的面積為：= (2)若AC = a，如右圖AD = a，2 = = 75BDC = 180- 75= 105BDC = 1053 = 105- 75= 301 = 3ACBD四邊形ABD

15、C是平行四邊形重疊部分CDE的面積等于的面積的若折疊前ABC的面積等于過點C作CHAB于點H，則ABCH = CH = 又tan1 = AH = BH = 則tanB = ，得B = 60CBD是等邊三角形2 = 43 = 4，ADCB2又CB2 = BC = BD = a，CB2 = AD四邊形ADCB2是平行四邊形則重疊部分CDE的面積是ABC面積的(3)如右圖，由對稱的性質得，3 = 4，DA = DB31 = 2又3 + 4 = 1 +24 = 1AB3CD注意“角平分線+等腰三角形”的基本構圖，折疊前后圖形之間的對比，找出相等的對應角和對應邊19在ABC中，已知A=80，C=30，現

16、把CDE沿DE進行不同的折疊得CDE，對折疊后產生的夾角進行探究：（1）如圖（1）把CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內，則求1+2的和；（2）如圖（2）把CDE沿DE折疊覆蓋A，則求1+2的和；（3）如圖（3）把CDE沿DE斜向上折疊，探求1、2、C的關系（1）根據折疊前后的圖象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根據三角形內角和定理比可求出答案；（2）連接DG，將ADG+AGD作為一個整體，根據三角形內角和定理來求；（3）將2看作180-2CED，1看作2CDE-180，再根據三角形內角和定理來求解：（1）如圖(1) 1+2=180- 2CDE +180- 2CED=36

17、0- 2（CDE+CED）=360-2（180- C）=2C=60；（2）如圖(2)連接DG，1+2=180- C-（ADG +AGD）=180-30-（180-80）=50；（3）如圖(3) 2-1=180- 2CED -（2CDE - 180）=360- 2（CDE + CED）=360- 2（180- C）=2C所以：2 - 1=2C由于等腰三角形是軸對稱圖形，所以在折疊三角形時常常會出現等腰三角形20觀察與發(fā)現：將三角形紙片ABC（ABAC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎上第二次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，

18、展平紙片后得到AEF（如圖）小明認為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由實踐與運用：(1)將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖中的大小在第一次折疊中可得到EAD = FAD在第二次折疊中可得到EF是AD的垂直平分線，則ADEFAEF = AFEAEF是等腰三角形(1)由折疊可知AEB = FEB，DEG = BEG而BEG = 45+ 因為AEB + BEG + DEG = 180所以 45+ 2（45+）= 180 = 22.5由于角平分線所在的直線

19、是角的對稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關。要抓住折疊前后圖形之間的對應關系(2)將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ（如圖），求MNF的大小由題意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由對稱性可知，MF=PF，NF=PF，而由題意得出：MP=MN，又MF=MF，MNFMPF，PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180，即3MNF=180，MNF=60，在矩形中的折疊問題，通常會出現“角平分線+平行

20、線”的基本結構，即以折痕為底邊的等腰三角形21直角三角形紙片ABC中，ACB=90，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、點F探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中B的度數是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的后的圖形CDF中，C=90，且CDF是等腰三角形，CF=CD，CFD=CDF=45，設DAE=x，由對稱性可知，AF=FD，AE=DE，FDA=CFD=22.5，DEB=2x，分類如下：當DE=DB時，B=DEB=2x，由CDE=DEB+B，得45+22.5+x=4x，解得：x=22.5此時B=

21、2x=45；見圖形（1），說明：圖中AD應平分CAB當BD=BE時，則B=（180-4x），由CDE=DEB+B得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得x=37.5，此時B=（180-4x）=30圖形（2）說明：CAB=60，CAD=22.5DE=BE時，則B=由CDE=DEB+B的，45+22.5+x=2x+此方程無解DE=BE不成立綜上所述B=45或30先確定CDF是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因為不確定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分別利用角的關系得出答案即可22下列圖案給出了折疊一個直角邊長為2的等腰直角三角形紙

22、片（圖1）的全過程：首先對折，如圖2，折痕CD交AB于點D；打開后，過點D任意折疊，使折痕DE交BC于點E，如圖3；打開后，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開后，折痕如圖6則折痕DE和AE長度的和的最小值是（）過D點作DFBC，交AC于F，作A點關于BC的對稱點A，連接DA，則DA就是DE和AE的最小值D點是AB的中點，DF=1，FC=1，FA=3DA= = 折痕DE和AE長度的和的最小值是本題經過了三次折疊，注意理清折疊過程中的對稱關系，求兩條線段的和的最小值問題可以參見文章/view/f6a6b4dda58da0116c.html23小華將一條1（

23、如圖1），沿它對稱軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對稱軸折疊后得到（如圖3），則圖3中一條腰長；同上操作，若小華連續(xù)將圖1折疊n次后所得到（如圖n+1）一條腰長為多少？解：每次折疊后，腰長為原來的故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長為（）2 - 則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長為（）n本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經常出現對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的24如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=第一次將紙片折疊，使點B與點D重合，折痕與BD交于點O1；O1D的中點為D1，第二次將紙片折疊使點B與

24、點D1重合，折痕與BD交于點O2；設O2D1的中點為D2，第三次將紙片折疊使點B與點D2重合，折痕與BD交于點O3，按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點On，則BO1= ，BOn= 第一次折疊時，點O1是BD的中點，則BO1 = DO1第二次折疊時，點O2是BD1的中點，則BO2 = D1O2第三次折疊時，點O3是BD2的中點，則BO3 = D2O3因為AB = ，BC = ，所以BD = 4第一次折疊后，有BO1 = DO1BO1 = 2第二次折疊后，有BO2 = D1O2BO2 = = = 第三次折疊后，有BO3 = D2O3BO3 = = = 即當n = 1時，BO1 = 2 =

25、= 當n = 2時，BO2 = = = 當n = 3時，BO3 = = = 則第n次折疊后，BOn = 問題中涉及到的折疊從有限到無限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運算的詳細過程。在找規(guī)律時要把最終的結果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數據與折疊次數之間的關系25如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交于點P1；設P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；設Pn-1Dn-2

26、的中點為Dn-1，第n次紙片折疊，使A與點Dn-1重合，折痕與AD交于點Pn（n2），則AP6長（）AD = 第一次折疊后，AP1 = P1D，P1D1 = D1DAP1 = = 第二次折疊后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1AP2 = = = = 第三次折疊后，AP3 = P3D2AP3 = = = = = 即當n = 1時，AP1 = = 當n = 2時，AP2 = = 當n = 3時，AP3 = = 則第n次折疊后，APn = 故AP6 = 此題考查了翻折變換的知識，解答本題關鍵是寫出前面幾個有關線段長度的表達式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結能力26閱讀理解如圖1

27、，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合探究發(fā)現（1）ABC中，B=2C，經過兩次，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小麗經過三次折疊發(fā)現

28、了BAC是ABC的好角，請?zhí)骄緽與C（不妨設BC）之間的等量關系根據以上內容猜想：若經過n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設BC）之間的等量關系為 B = nC應用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15、60、105，發(fā)現60和105的兩個角都是此三角形的好角請你完成，如果一個三角形的最小角是4，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角設另外兩個角是4x，4y，則4x + 4y + 4 = 1804x = 4ya(a是正整數)所以y = 因為x，y，a，都是正整數，則a的值應為：1、3、10、21、43當a = 1時，x = y = 22，4x =

29、4y = 88當a = 3時，y = 11，x =33，4x =132 4y = 44當a = 10時，y = 4，x =40，4x =160 4y = 16當a = 21時，y = 2，x =42，4x =168 4y = 8當a = 43時，y = 1，x =43，4x =172 4y = 4注意折疊過程中的對應角和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和的運用，理解三角形中如果有一個角是好角之后，另兩個角之間的關系，通過這樣的問題培養(yǎng)歸納總結能力27我們知道：任意的三角形紙片可通過如圖所示的方法折疊得到一個矩形（1）實踐：將圖中的正方形紙片通過適當的方法折疊成一個矩形（在圖中畫圖說明

30、）（2）探究：任意的四邊形紙片是否都能通過適當的方法折疊成一個矩形？若能，直接在圖中畫圖說明；若不能，則四邊形至少應具備什么條件才行？并畫圖說明（要求：畫圖應體現折疊過程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無縫隙又無重疊部分）解：（1）折疊方法如圖所示（2）不能四邊形至少應具備的條件是：“對角線互相垂直”折疊方法如圖所示折疊即對稱28如圖，雙曲線y = （x0）經過四邊形OABC的頂點A、C，ABC=90，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，ABx軸，將ABC沿AC翻折后得到ABC，B點落在OA上，則四邊形OABC的面積是多少？設C(m，)根據對稱的性質有：CD = CB = CB所以B(

31、m，)，A(，)，D(m，0)AB = ，BD = ，CD = ，OD = m則四邊形OABC的面積為：(AB + OD)BD - ODCD= (+ m) - m= 6明白折疊中的對應邊就行29已知一個直角三角形紙片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D（1）若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；（2）若折疊后點B落在邊OA上的點為B，設OB=x，OC=y，試寫出y關于x的函數解析式，并確定y的取值范圍；（3）若折疊后點B落在邊OA上的點為B，且使BDOB，求此時點C的坐標(1)AB = = BCDBAD，BCBO = BDBABC4 = ，BC = OC = OB BC = 4 - = ，則C(0，)(2)如右圖，BC= BCBC = BC = OB OC = 4 y在RtOBC中根據勾股定理有：y2 +