大學物理教學課件第3章

1、第3章 功和能,本章重點：3.1；3.2；3.3；3.4 本章作業(yè)：,力對空間的積累,？,3.1.1、功（work）,由 所作的功,1、外力對質(zhì)點的功,元功：,直角坐標下：,2、多個力作用時的功（對質(zhì)點）,合力對質(zhì)點所作的功，等于每個分力所作的功的代數(shù)和。,（1）功是標量（可正、可負、可為零） （2）功與路徑有關(guān)，是過程的函數(shù)（過程量） （3）功是力對空間的積累 （4）功的單位為焦耳（J）,1 彈簧彈力的功。,解 當物體處于 x 處時所受的彈力為：,物體由 x a 移動到 x b 處時彈性力所作的功為：,由此可見：彈簧伸長時，彈力作負功；,彈簧收縮時，彈力作正功。,彈性力的功A的大小僅與始末狀

2、態(tài)有關(guān)，而與路徑無關(guān)。,3.1.2、幾種常見力的功,2 重力的功,作用于質(zhì)點上的重力,位移元,在由P1到P2的過程中重力做功為:,重力的功只與始、末位置有關(guān)，與具體路徑無關(guān)。質(zhì)點下降時重力作正功，質(zhì)點上升時重力作負功。,3 萬有引力的功。 m1 在m2的引力場沿其橢圓軌道由ra移到r b 。求引力對m1 所作的功。,解：,討論 萬有引力的功A的大小僅與始末狀態(tài)有關(guān),而與路徑無關(guān)。,在不同的位置，其功的正負和數(shù)值不同，在c,d點A=0,在f點附近作正功，在e點附近作負功。,軌道為圓形時，A=0.,4 摩擦力的功,質(zhì)量為m的質(zhì)點，在固定的粗糙水平 面上由初始位置P1沿某一路徑L1運動到 末位置P2

3、，路徑長度為s，如圖所示。 由于摩擦力的方向總是與速度的 方向相反。所以元功,質(zhì)點由P1點沿L1運動到P2點的過程中，摩擦力所做的功為:,摩擦力的功不僅與始、末位置有關(guān)，而且與具體的路徑有關(guān)。,3.1.3、保守力與非保守力,特點：功只與初、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點的具體路徑無關(guān),1、保守力：作功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān) 的力。例：重力、萬有引力、彈性力、靜電力等,保守力的環(huán)流等于零。,3、非保守力：力所做的功與路徑有關(guān)，或力沿閉合路徑的 功不為零。這種力為非保守力。 如摩擦力、沖力、火箭的推動力等,2、保守力沿任何一閉合路徑所作的功為零。,證明：,平均功率：,瞬時功率：,3.1.4、功

4、率(power),表示作功快慢的物理量,定義：功隨時間的變化率.,SI單位: 焦耳/秒 (瓦特),3.2.1、 勢能,從3.1中得到，有關(guān)重力、萬有引力、彈性力做功的公式分別為,與始末的位置坐標變化有關(guān)，而與路徑無關(guān) 。保守力做功必然伴隨著能量的變化，而這種能量僅與位置坐標有關(guān)。我們把這種與位置坐標有關(guān)的能量稱為勢能：,積分路徑是任意的。,質(zhì)點從 a點移到零勢能點 的過程中，保守力作的功。,重力勢能為,萬有引力勢能為,彈性勢能為, 只有保守力場才能引入勢能的概念。, 勢能是屬于整個系統(tǒng)的。, 勢能只有相對的意義，在零勢能點確定之后， 各點的勢能才具有唯一的確定值。,質(zhì)點在保守力場中任意兩點（如

5、點a和點b）的勢能差等于把質(zhì)點 從a點經(jīng)過任意路徑移到b點的過程中保守力F所做的功。即,得重力勢能差、萬有引力勢能差和彈性勢能差分別為,可統(tǒng)一寫成,3.2.2、保守力與勢能梯度,在保守力場中，質(zhì)點在某點所受的保守力等于該點 勢能梯度矢量的負值。, 哈密頓算符,3.3.1、質(zhì)點的動能定理,1. 質(zhì)點的動 能,標量 由于運動而具有的能量 狀態(tài)量,2. 質(zhì)點的動能定理,合外力對質(zhì)點做的功等于該質(zhì)點動能的增量。 質(zhì)點的動能定理,功是動能變化的量度外力作正功，質(zhì)點動能增加 外力作負功，質(zhì)點動能減少 A為過程量，與過程有關(guān)，而Ek為狀態(tài)量 A與v應對應同一慣性系,3. 用動量表示動能,動能定理的微分形式,

6、動能定理的積分形式,解 擺球受擺線拉力T和重力mg,合力作的功為,由動能定理,牛頓第二定律的法向分量式為:,證明：由牛頓第二定律：,又由于,故有：,亦即：,補充例題在光滑的水平桌面上平放有半圓形屏障。質(zhì)量為m的滑塊以速度v0 沿切線方向進入屏障內(nèi)，滑塊與屏障間的摩擦系數(shù)為，試證明：當滑塊從屏障的另一端滑出時，摩擦力所作的功為：,作定積分，得：,即：,故：,由質(zhì)點的動能定理得：,質(zhì)點系所有內(nèi)力之和為零,1、質(zhì)點系 內(nèi)力和外力：,外力：質(zhì)點系以外的物體對系統(tǒng)的作用力稱為外力。,內(nèi)力：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間的相互作用力稱為內(nèi)力。,注意:質(zhì)點系中任意一個質(zhì)點，例如第i個質(zhì)點受的系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點作用力的矢量和

7、不一定為零 。,質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點受的外力的矢量和稱為質(zhì)點系受的合外力，即,3.3.2、質(zhì)點系的動能定理：,含兩個或兩個以上的質(zhì)點的力學系統(tǒng)。,對m1:,對m2:,對各質(zhì)點應用動能定理：,兩式相加，得：,即,2、質(zhì)點系的動能定理：,2、n 個質(zhì)點的系統(tǒng)：,推廣：,所有外力對系統(tǒng)做的功與內(nèi)力對系統(tǒng)做的功之和等于質(zhì)點系總動能的增量。,4、內(nèi)力能改變系統(tǒng)的總動能， 但不改變系統(tǒng)的總動量。,1、功是動能變化的量度。功為過程量，動能為狀態(tài)量。,2、動能是質(zhì)點因運動而具有的做功本領(lǐng)。,3、功與動能必須對應同一慣性系。,質(zhì)點系動能定理的微分形式,質(zhì)點系動能定理的積分形式,兩質(zhì)點間的一對作用力和反作用力所做功之和

8、等于其中一個質(zhì)點受的力沿著該質(zhì)點相對于另一質(zhì)點所移動的路徑所做的功。,一對作用力和反作用力的功,m1、m2組成一個封閉系統(tǒng)在t時間內(nèi),o,m1,m2,TA作負功、T B作正功，其代數(shù)和為零。,由動能定理得,解得：,系統(tǒng)初態(tài)動能為：,例題3.2物體mA和mB通過一不能伸縮的細繩相連，mA 由靜止下滑，mB 上升，mA滑過S 的距離時， mA和mB的速率v = ? (摩擦力及滑輪的質(zhì)量不計)。,解 選取物體A、B 與細繩組成一系統(tǒng)，系統(tǒng)所受外為重力GA、GB 支持力N；內(nèi)力為繩子的拉力。,未態(tài)動能為：,3.4.1、質(zhì)點系的功能原理,質(zhì)點系的動能定理的微分形式和積分形式分別為,內(nèi)力做的功包含保守內(nèi)力

9、所做的功和非保守內(nèi)力所做的功，則,而,則質(zhì)點系的功能原理的微分形式和積分形式可以寫成：,E表示動能和勢能之和稱為機械能。,系統(tǒng)機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力對它做的功。 質(zhì)點系的功能原理,質(zhì)點系的功能原理與質(zhì)點系的動能定理所含的物理內(nèi)容一樣， 但表達方式不同。它對于不同的慣性系也保持其形式不變。需 要指出的是:在動能定理中,功包括所有外力功和內(nèi)力功。在功 能原理中的功,包括外力功和非保守內(nèi)力功。決不能把保守內(nèi)力 的功,在功能原理中計算在內(nèi),因為它已用勢能的形式考慮在內(nèi)。,3.4.2、機械能守恒定律,只有每一微小過程中外力作的功和非保守內(nèi)力作的功之和為零時，則此過程中的機械能守恒。,語言表述：

10、如果一個系統(tǒng)所受的外力和非保守內(nèi)力對它所作的總功始終為零，或只有保守內(nèi)力作功而其它內(nèi)力和外力都不作功，則系統(tǒng)各物體的動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)換，但其和為一恒量。,上式是不是機械能守恒定律的條件和表示式？,問：,3.4.3、能量守恒定律：,各種形式的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，總量保持不變。,例題3.3 如圖所示，有一質(zhì)量略去不計的輕彈簧， 其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P，另一端 系一質(zhì)量為m的小球，小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán) 上作摩擦可略去不計的運動。設(shè)開始時小球 靜止于A點，彈簧處于自然狀態(tài)，其長度為圓 環(huán)的半徑R。當小球運動到圓環(huán)的底端B點時， 小球?qū)A環(huán)沒有壓力

11、。求此彈簧的勁度系數(shù)。,解 取彈簧、小球和地球為一個系統(tǒng)，小球與地球間的重力、小球與彈簧間的作用力均為保守內(nèi)力。而圓環(huán)對小球的支持力和P點對彈簧的拉力雖都為外力，但都不做功，所以，小球從A運動到B的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒。取彈簧為自然狀態(tài)時的彈性勢能為零；取B點處的重力勢能為零，由機械能守恒定律可得,B點時由牛頓第二定律得方程,例題3-4要使物體脫離地球的引力范圍，求從地面發(fā)射該物體的 速度最小值為多大？,解：由機械能守恒定律得到,例題3.5 目前，天體物理學家預言有一類天體，其特征是它的引力非常之大，以至包括光在內(nèi)的任何物質(zhì)都不能從它上面發(fā)射出來，這種天體被稱為黑洞（black hole)。若由于某種原因，太陽變成了一個黑洞，它的半徑必須小于何值？,解 由機械能守恒定律,光也不能從此天體上逃逸出來，成為黑洞,若一個質(zhì)量M的天體，只