§2__抽樣方法

1、抽樣方法,問題,1. 2011年高考考試中，某地有考生有2萬名，如果為了了解這些考生數(shù)學(xué)的主觀題的得分情況，我們應(yīng)該怎樣做？,2. 今有某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡10000只，怎樣才能了解到這批燈泡的使用壽命呢？,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究如何有效地收集，整理，分析受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并對(duì)所考慮的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的一門學(xué)科。它是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，凡是有大量數(shù)據(jù)出現(xiàn)的地方，都要用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)?，F(xiàn)在，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容已異常豐富，成為數(shù)學(xué)中最活躍的學(xué)科之一。教科書選擇了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最基本問題來介紹這門學(xué)科的思想與方法。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要解決的問題是如何根據(jù)樣本來推斷總體，第一個(gè)問題:總體、

2、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念,總體：所要考察對(duì)象的全體。,個(gè)體：總體中的每一個(gè)考察對(duì)象。,樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的 一個(gè)樣本。,樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目。,1. 2011年高考考試中，某地有考生有2萬名，如果為了了解這些考生數(shù)學(xué)的主觀題的得分情況，我們隨機(jī)抽取了200名考生的主觀題得分情況.,2. 今有某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡10只，我們隨機(jī)抽取了3只做實(shí)驗(yàn)來了解到這批燈泡的使用壽命.,總體、個(gè)體、樣本、樣本容量,如何抽取樣本？怎樣使抽取的樣本充分地反映總體的況？,注意以下四點(diǎn)：,（1）它要求被抽取樣本的總體的個(gè)體數(shù)有限；,（2）它是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取；,（3）它是一種不放回抽

3、樣；,（4）它是一種等概率抽樣。,一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N，如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。,1、簡單隨機(jī)抽樣,結(jié)論,用簡單隨機(jī)抽樣，從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容 量為n的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率 為 ；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為 ,簡單隨機(jī)抽樣體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性,抽簽法,隨機(jī)抽樣的方法：,隨機(jī)數(shù)表法,練習(xí):將全班同學(xué)按學(xué)號(hào)編號(hào),制作相應(yīng)的卡片號(hào)簽,放入同一個(gè)箱子里均勻攪拌,從中抽出15個(gè)號(hào)簽,就相應(yīng)的15名學(xué)生對(duì)看足球比賽的喜愛程度(很喜愛、喜愛、一般、不喜愛、很不

4、喜愛）進(jìn)行調(diào)查。分析并說明整個(gè)抽簽過程中每個(gè)同學(xué)被抽到的概率是相等的。,1、抽簽法,先將總體中的所有個(gè)體（共N個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可以從1到N），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可以用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌。抽簽時(shí)，每次從中抽出1個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本。對(duì)個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào)。例如學(xué)生的學(xué)號(hào)，座位號(hào)等。,下面舉例說明如何用隨機(jī)數(shù)表來抽取樣本。 為了檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品的質(zhì)量，決定從40件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行檢查，在利用隨機(jī)數(shù)表抽取這個(gè)樣本時(shí)，可以按下面的步驟進(jìn)行： 第一步，先將40件產(chǎn)品編號(hào)，可以編為00,01,02

5、，38,39。 第二步，在附錄1隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開始，例如從第8行第9列的數(shù)5開始，為便于說明，我們將附錄1中的第6行至第10行摘錄如下。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 3

6、3 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28,2、用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽取,（1）隨機(jī)數(shù)表是統(tǒng)計(jì)工作者用計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)，并保證表中的每個(gè)位置上的數(shù)字是等可能出現(xiàn)的。,第三步，從選定的數(shù)5開始向右讀下去，得到一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼59，由于5939，將它去掉；繼續(xù)向右讀，得到16，將它取出；繼續(xù)下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，

7、隨后的兩位數(shù)字號(hào)碼是12，由于它在前面已經(jīng)取出，將它去掉，再繼續(xù)下去，得到34。至此，10個(gè)樣本號(hào)碼已經(jīng)取滿，于是，所要抽取的樣本號(hào)碼是 16191012073938332134,注將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)時(shí)可以從0開始，例如N100時(shí)編號(hào)可以是00,01,02，99，這樣總體中的所有個(gè)體均可用兩位數(shù)字號(hào)碼表示，便于運(yùn)用隨機(jī)數(shù)表。,注：當(dāng)隨機(jī)地選定開始讀數(shù)的數(shù)后，讀數(shù)的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。 在上面每兩位、每兩位地讀數(shù)過程中，得到一串兩位數(shù)字號(hào)碼，在去掉其中不合要求和與前面重復(fù)的號(hào)碼后，其中依次出現(xiàn)的號(hào)碼可以看成是依次從總體中抽取的各個(gè)個(gè)體的號(hào)碼。由于隨機(jī)數(shù)表中每個(gè)位置上出現(xiàn)

8、哪一個(gè)數(shù)字是等概率的，每次讀到哪一個(gè)兩位數(shù)字號(hào)碼，即從總體中抽到哪一個(gè)個(gè)體的號(hào)碼也是等概率的。因而利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了各個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等。,2、用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽取,隨機(jī)抽樣并不是隨意或隨便抽取，因?yàn)殡S意或隨便抽取都會(huì)帶有主觀或客觀的影響因素,（1）隨機(jī)數(shù)表是統(tǒng)計(jì)工作者用計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)，并保證表中的每個(gè)位置上的數(shù)字是等可能出現(xiàn)的。,（2）隨機(jī)數(shù)表并不是唯一的，因此可以任選一個(gè)數(shù)作為開始，讀數(shù)的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。,（3）用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的步驟：將總體中個(gè)體編號(hào)；選定開始的數(shù)字；獲取樣本號(hào)碼。,（4）由于隨機(jī)數(shù)表是等概率的，因此利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本保證了被

9、抽取個(gè)體的概率是相等的。,抽簽法,隨機(jī)抽樣的方法：,隨機(jī)數(shù)表法,練習(xí):將全班同學(xué)按學(xué)號(hào)編號(hào),制作相應(yīng)的卡片號(hào)簽,放入同一個(gè)箱子里均勻攪拌,從中抽出15個(gè)號(hào)簽,就相應(yīng)的15名學(xué)生對(duì)看足球比賽的喜愛程度(很喜愛、喜愛、一般、不喜愛、很不喜愛）進(jìn)行調(diào)查。,上述問題中抽取樣本的方法用隨機(jī)數(shù)表法來進(jìn)行！,規(guī)則：從39頁表中第31行第11、12列的兩位數(shù)開始，依次向下讀數(shù)，到頭后再轉(zhuǎn)向它左面的兩位數(shù)號(hào)碼，并向上讀數(shù)，以此下去，直到取足樣本。,2分層抽樣,當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣。其中所分成的各部分叫做層。,由于

10、分層抽樣的要求不同，各層的抽樣的樣本容量也不相同，所以，應(yīng)當(dāng)按照實(shí)際情況，合理地將樣本容量分配到各個(gè)層，以確保抽樣的合理性，研究時(shí)可以根據(jù)不同的要求來分層抽樣。,分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況，每一部分稱為層，在每一層中實(shí)行簡單隨機(jī)抽樣。這種方法較充分地利用了總體己有信息，是一種實(shí)用、操作性強(qiáng)的方法。,分層抽樣的一個(gè)重要問題是一個(gè)總體如何分層。分層抽樣中分多少層，要視具體情況而定?？偟脑瓌t是：層內(nèi)樣本的差異要小，而層與層之間的差異盡可能地大，否則將失去分層的意義。,例2、一個(gè)單位的職工有500人，其中不到35歲的有125人，3549歲的有280人，50歲以上的有95人。為了了解

11、該單位職工年齡與身體狀況的有關(guān)指標(biāo)，從中抽取100名職工作為樣本，應(yīng)該怎樣抽取？,解：抽取人數(shù)與職工總數(shù)的比是100：5001：5，則各年齡段（層）的職工人數(shù)依次是125：280：9525：56：19，然后分別在各年齡段（層）運(yùn)用簡單隨機(jī)抽樣方法抽取。 答：在分層抽樣時(shí)，不到35歲、3549歲、50歲以上的三個(gè)年齡段分別抽取25人、56人和19人。,分析：這總體具有某些特征，它可以分成幾個(gè)不同的部分：不到35歲；3549歲；50歲以上，把每一部分稱為一個(gè)層，因此該總體可以分為3個(gè)層。由于抽取的樣本為100，所以必須確定每一層的比例，在每一個(gè)層中實(shí)行簡單隨機(jī)抽樣。,分層抽樣的抽取步驟：,（1）總

12、體與樣本容量確定抽取的比例。,（2）由分層情況，確定各層抽取的樣本數(shù)。,（3）各層的抽取數(shù)之和應(yīng)等于樣本容量。,（4）對(duì)于不能取整的數(shù)，求其近似值。,3系統(tǒng)抽樣,當(dāng)總體的個(gè)數(shù)較多時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣太麻煩，這時(shí)將總體分成均衡的部分，然后按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分中抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣稱為系統(tǒng)抽樣。,系統(tǒng)抽樣時(shí)，將總體中的個(gè)體均分后的每一段進(jìn)行抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣；系統(tǒng)抽樣每次抽樣時(shí)，總體中各個(gè)個(gè)體被抽取的概率也是相等的;如總體的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行。需要說明的是整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率仍

13、然相等。,（3）第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始號(hào)碼l。,（4）按照規(guī)則抽取樣本：l；lk；l2k；lnk,系統(tǒng)抽樣的步驟為：,(1)先將總體中的N個(gè)體編號(hào).有時(shí)可直接利用個(gè)體自 身所帶的號(hào)碼.,（2）確定分段間隔k。對(duì)編號(hào)均衡地分段， 是整 數(shù)時(shí)， ； 不是整數(shù)時(shí)，從N中剔除一些個(gè)體，使 得其為整數(shù)為止。,系統(tǒng)抽樣與簡單隨機(jī)抽樣比較, 有何優(yōu)、缺點(diǎn)？,1、系統(tǒng)抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更容易實(shí)施；,2、系統(tǒng)抽樣的效果會(huì)受個(gè)體編號(hào)的影響，而 簡單隨機(jī)抽樣的效果不受個(gè)體編號(hào)的影響；,3、系統(tǒng)抽樣比簡單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍廣。,4三種抽樣方法的比較,5課堂練習(xí),1、系統(tǒng)抽樣適合的總體應(yīng)是（ ） A、容量較小的總

14、體；B、容量較大的總體； C、個(gè)體數(shù)較多但均衡的總體；D、任何總體,C,2、要從已編號(hào)（150）的50件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件進(jìn)行檢查，用系統(tǒng)抽樣可能的編號(hào)是（ ） A、5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C、1，2，3，4，5， D、2，4，8，16，32,B,3、從2005個(gè)編號(hào)中抽取20個(gè)號(hào)碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔為（ ） A、99 B、99.5 C、100 D、100.5,C,5、某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為N的樣本，已知女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80，則N=,192,4、某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后期24人，現(xiàn)