量子力學(xué)第4節(jié)1

1、第四章：力學(xué)量用算符表示p186 15.設(shè)與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個(gè)算符均可分解為，與均為厄米算符，且證：）為厄米算符。）也為厄米算符。）令，則，且定義 （1）由），）得，即和皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得 4.1證 (an是實(shí)數(shù))是厄密算符 證明：此算符不能簡(jiǎn)化，可以用多次運(yùn)算證明，首先假定已經(jīng)證明動(dòng)量是厄密算符，則運(yùn)用這個(gè)關(guān)系于下面的計(jì)算： 滿足厄密算符的定義。4.2證明（實(shí)數(shù)）是厄密算符。（證明）方法同前題，假定已經(jīng)證明,都是厄密算符，即：又按題意得證算符是一維的這證明不是厄密算符，但滿足同理可證明將前二式相加除2，得因此是厄密算符，因此也是。又假定用作為厄

2、密算符的定義，并設(shè)則本題可用較簡(jiǎn)方式來(lái)證明如下：因?yàn)?所以有 同理有91 相加除2，得：這證明右方一式是厄密算符。 4.3 設(shè)是的可微函數(shù)，證明下述各式：一維算符（1）（證明）根據(jù)題給的對(duì)易式及（2）（證明）同前一論題（3） 證明同前一題論據(jù)：（4） 證明根據(jù)題給對(duì)易式外，另外應(yīng)用對(duì)易式 （5） （證明）論據(jù)同（4）：（6） （證明）論據(jù)同（4）：4.4 設(shè)算符a，b與它們的對(duì)易式a，b都對(duì)易。證明(甲法）遞推法，對(duì)第一公式左方，先將原來(lái)兩項(xiàng)設(shè)法分裂成四項(xiàng)，分解出一個(gè)因式，再次分裂成六項(xiàng)，依次類推，可得待證式右方，步驟如下：按題目假設(shè) 重復(fù)運(yùn)算n-1次以后，得（乙法）數(shù)學(xué)歸納法，待證一式當(dāng)n=

3、1時(shí)，是明顯成立的，假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)該式成立現(xiàn)在計(jì)算有: 利用前述的假設(shè)但又按題目假設(shè)用于前一式得待證一式。關(guān)于第二個(gè)公式也可按相同的步驟證明，不另列述。但若第一式證實(shí)，則亦可從第一式推第二式，注意將第一式對(duì)易式中兩算符對(duì)易得再將文字a，b對(duì)易得4.5 證明 （證明）本題的證法與題四的第一法完全相同，只是條件a，b與a，b對(duì)易一點(diǎn)不能使用，即從原來(lái)的對(duì)易式經(jīng)過(guò)總數(shù)n-1次運(yùn)算后，得取a=q，b=p，注意q，p=ih代入前一式后，有4.6設(shè)是的整函數(shù)，證明整函數(shù)是指可以展開(kāi)成。證： （1）先證。同理，現(xiàn)在，而 。又 而 4.6設(shè)f(x，p)是xk，pk的整函數(shù)，證明： 整函數(shù)是指，是數(shù)值系數(shù)證明本

4、題照題給的表示式應(yīng)當(dāng)是三維的算符，其展開(kāi)形式：先證第一式 最后一式曲括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為時(shí)為0，因?yàn)樽鶚?biāo)不同，時(shí)第二對(duì)易式任何情形是零，因而改寫成： (2)第二式證明與前半題類似 （3）最后一式曲括號(hào)內(nèi)這公式的詳細(xì)證明參看第3題，于是（3）式應(yīng)寫成這樣，第二式得到了證明，這兩類式子形式相似，是因?yàn)槭且粚?duì)正則共軛量的緣故。10證明 其中a(p,q),b(p,q)是正則動(dòng)量和坐標(biāo)的函數(shù)，上式左方是相應(yīng)的算符。a,b是經(jīng)典力學(xué)中的poisson括弧在多變量情形i=1,2,3.i自由度（證明）本題意思是要證明等號(hào)兩邊式子等效，但左方是算符式，可以使用自變量 間的對(duì)易關(guān)系進(jìn)行變形，為了證明方便，可設(shè)定 的函數(shù)

5、形式如下：式中 是指兩組已知的復(fù)數(shù)，若 不能用的形式表示，則下面的證法無(wú)效，按此假設(shè)，可進(jìn)行下述的變形運(yùn)算：ia,b= 最后一式中出現(xiàn)座標(biāo)的冪、動(dòng)量?jī)缰g的對(duì)易式，這類對(duì)易式的簡(jiǎn)化并未有過(guò)，需做專門的計(jì)算；茲以的簡(jiǎn)化為例：試將此對(duì)易式的第一項(xiàng)加以連續(xù)變形，并且運(yùn)用已證過(guò)的公式：（4）（5）利用（4）式，令則有以下諸式：或： （6）同理有 （7）依次類推將（6）式代入（5）有：（8）將最后一式第一項(xiàng)分解，重復(fù)應(yīng)用（6）：運(yùn)用式（7）于前式中的:物83-309蔣（9）與（8）式比較，增加的高階次。（10）按同樣方法連續(xù)變形次，得到下式；式中假設(shè)。 或改寫作：（11）將此式代到（3）式中，得下式：9

6、5 將這對(duì)易式遍乘以，則右方各項(xiàng)中，第一項(xiàng)將與無(wú)關(guān)，第二項(xiàng)以后含以上的冪，取極限時(shí)將留下第一項(xiàng) （12）其次再考察題給公式等號(hào)右方的泊松括號(hào)，（用正則座標(biāo)和正則動(dòng)量表示的式子），我們論證的情形中，自由度，因而 按經(jīng)典力學(xué)定義： = = （13）兩種計(jì)算的結(jié)果相同，因而題給的結(jié)果相同，因而題給的公式得到證實(shí)。 4.8證明，若當(dāng)時(shí)并不趨于0，則 不一定是厄密算符。（證明）設(shè),是任選的兩個(gè)函數(shù)，適用分步法計(jì)算下列積分 繼續(xù)將后一積分作分步運(yùn)算，共作n 次，其結(jié)果將是：由此計(jì)算可知若大括號(hào)里總和為0，則算符 符合厄密算符定義，但按題意 時(shí)， 不趨于0，因此我們無(wú)法證明大括號(hào)里總和為04.93.134.

7、10定義反對(duì)易式，證明證：4.114.1 4.124.2 4.134.34.13設(shè)是由，構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明 （1）證： （2） （3）同理可證， （4） （5）將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。4.144.64.154.7，4.104.164.44.174.54.17定義徑向動(dòng)量算符 證明：， ，證：，即為厄米算符。據(jù)4.8）（1），。其中 ，因而 以左乘上式各項(xiàng)，即得4.184.84.18證明 （1） （2） （3） （4）證: （1）利用公式 ，有其中 因此 （2）利用公式， （）可得 由，則（2）得證。（3）（4）就此式的一個(gè)分量加以證明，由4.4）（2）， ，

8、其中（即）類似地?？梢缘玫椒至亢头至康墓?，故（4）題得證。4.194.9，4.114.204.12，4.134.21利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。解：一維諧振子能量 。又奇，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，得 。，得 同理有，。諧振子（三維）基態(tài)能量。4.21利用測(cè)不準(zhǔn)系估計(jì)諧振子的基態(tài)能量解寫下一維諧振子的經(jīng)典的能量公式，或算符關(guān)系式： (1)取能量的平均值： 在一維諧振子的情形，座標(biāo)的平均值，動(dòng)量平均值計(jì)算坐標(biāo)和動(dòng)量的“不確定度”（即均方根偏差）。 按一般公式 （2）因此能量平均值公式（1）可改用“不確定度”表示 （3）但根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式：作為估計(jì)，可以直接取其下

9、限，即認(rèn)為 將此結(jié)果代入式（3），并且計(jì)算的極小值，就是所求的基態(tài)能量： 用此取括號(hào)內(nèi)值為零的條件，得 這時(shí)4.22利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)類氫原子中電子的基態(tài)能量（設(shè)原子核帶電ze）。 （解）本題原是三維問(wèn)題，但作為估計(jì)，計(jì)算不需嚴(yán)格正確，方法同前題。 （1）取能量的平均值，由于中心對(duì)稱性，可以認(rèn)為動(dòng)量的平均值是零，（這個(gè)平均值本是個(gè)矢量，但它的分量都是零）因此，此外，根據(jù)計(jì)算（第六章九題）知道在氫原子情形， ，因而。此外，所以，因此為計(jì)算方便，可取 ， 對(duì)能量關(guān)系式取平均值 （3）利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式，可以計(jì)算（3）的極值，但與之間并無(wú)已知的對(duì)易關(guān)系式，此可作一維問(wèn)題處理，認(rèn)為，并用 （4）則（3）

10、式成為： 當(dāng)取時(shí)，e有極小值 就是基態(tài)能量4.22 利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解：類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑 ，在類氫原子中變?yōu)?。類氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。而，故只考慮徑向測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系， 類氫原子徑向能量為：。而，如果只考慮基態(tài)，它可寫為，與共軛，于是， （1）求極值 由此得（：玻爾半徑；：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得基態(tài)能量，運(yùn)算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如，作為估算是允許的。4.23沒(méi)找到答案4.24在一維對(duì)稱勢(shì)阱中，粒子至少存在一種

11、束縛態(tài)（見(jiàn)3.1節(jié)）在給定勢(shì)阱深度情況下，減少勢(shì)阱寬度，使，粒子動(dòng)量不確定度位置不確定度，因而下列關(guān)系似乎存在，這與測(cè)不準(zhǔn)確關(guān)系矛盾，錯(cuò)誤何在？（解）在一維有限深（）勢(shì)阱的問(wèn)題中，以勢(shì)阱中點(diǎn)作為原點(diǎn)時(shí)，至少有一個(gè)偶宇稱的束縛定態(tài)，其能量e決定于條件： 因此這個(gè)基態(tài)能級(jí)e與有關(guān)，甚小時(shí)，e也甚小，座標(biāo)不確定度不能簡(jiǎn)單的用勢(shì)阱寬度來(lái)估計(jì)，估計(jì)值只需正確到數(shù)量級(jí)，勢(shì)阱兩邊的波函數(shù)是 可設(shè)波寬度擴(kuò)展到振幅處，即，得 小時(shí) 因此 這與測(cè)不準(zhǔn)不相矛盾，題給論點(diǎn)的錯(cuò)誤，在于隨意地估計(jì)小幾率波的范圍。4.25證明在分立的能量本征態(tài)下動(dòng)量平均值為0。證：設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有為求的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符與的對(duì)易關(guān)系：。這里已用到最基本的對(duì)易關(guān)系，由此這里用到了的厄米性。 這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個(gè)厄米算符和的對(duì)易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。4.26證明對(duì)任何兩個(gè)波函數(shù)，滿足下述施瓦茨的不等式：（證明）本題有一定的證明法，它和海森伯的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式的普遍證法相類似，首先，尋找一個(gè)含有，的復(fù)平方式子，令這個(gè)式子大于零，經(jīng)過(guò)試探性計(jì)算，知道采取下式有效： 此式中的尚待選擇，將前式展開(kāi)寫成標(biāo)識(shí)和形式： （1）前式中第一，四二項(xiàng)恒為正，二，三兩項(xiàng)符號(hào)不定，我們這樣來(lái)選取，使它能使的二個(gè)異號(hào)項(xiàng)抵消，由于未定，這種選擇是可能的： （2）選取方括號(hào)內(nèi)項(xiàng)為零，得