高中數(shù)學(xué)《冪函數(shù)》教案3 湘教版必修

1、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)反函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生正確理解反函數(shù)的概念，初步掌握求反函數(shù)的方法2培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及抽象概括的能力3使學(xué)生思維的深刻性進(jìn)一步完善教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是求反函數(shù)的技能訓(xùn)練教學(xué)難點(diǎn)是反函數(shù)概念的理解教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、揭示課題師：今天我們將學(xué)習(xí)函數(shù)中一個(gè)重要的概念反函數(shù)（板書：反函數(shù) 1反函數(shù)的概念）二、講解新課師：什么是反函數(shù)呢？讓我們一起來思考這樣一個(gè)問題：在函數(shù)y=2x+1中，如果把x當(dāng)作因變量，把y當(dāng)作自變量，能否構(gòu)成一個(gè)函數(shù)呢？生：可以構(gòu)成一個(gè)函數(shù)師：為什么是個(gè)函數(shù)呢？一的x與之相對應(yīng)師：根據(jù)這位同學(xué)的表述，這是符合函數(shù)定義的，也就是說，按照上述

2、原則，函數(shù)y=2x+1是存在反函數(shù)的這個(gè)反函數(shù)的解析式是怎樣的呢？師：這種表示方法是沒有問題的，但不符合我們的習(xí)慣，按習(xí)慣用字母x表示自變量，用字母y表示因變量，故這個(gè)函數(shù)的解析式又可以是不是同一函數(shù)呢？生：是師：能具體解釋一下嗎？和值域，皆為R，同時(shí)對應(yīng)法則都是自變量減1除以2得因變量，也是相同的，所以它們是相同的函數(shù)生：有就是y=2x+1那么，是不是所有函數(shù)都會(huì)有反函數(shù)呢？生：不是所有函數(shù)都有反函數(shù)師：能舉個(gè)例子說明嗎？生：如函數(shù)y=x2，將y當(dāng)作自變量，x當(dāng)作因變量，在y允許取值范圍內(nèi)，一個(gè)y可能對應(yīng)兩個(gè)x，如y=1，則對應(yīng)x=1，因此不能構(gòu)成函數(shù)，說明它沒有反函數(shù)師：說得非常好如果從形

3、的角度來解釋，會(huì)看得更清楚，見圖1，從圖中可看出給出一個(gè)y能對應(yīng)兩個(gè)x通過對幾個(gè)具體函數(shù)的研究，了解了什么是反函數(shù)，把前面對函數(shù)y=2x+1的反函數(shù)的研究過程一般化，概括起來就可以得到反函數(shù)的定義由于這個(gè)定義比較長，所以我們一起閱讀書上相關(guān)內(nèi)容（板書：（1）反函數(shù)的定義）（要求學(xué)生打開書第60頁第二自然段，請一名同學(xué)朗讀這一段內(nèi)容為幫助學(xué)生理解定義中的描述，教師可以再以一個(gè)具體函數(shù)為例解字的含義表示不是所有函數(shù)都有反函數(shù)）對于反函數(shù)有了初步的了解之后，下面進(jìn)一步對這個(gè)特殊的函數(shù)概念作點(diǎn)深入研究（板書：（2）對概念的理解）師：反函數(shù)的“反”字應(yīng)當(dāng)是相對原來給出的函數(shù)而言的，那么它加以研究生：對應(yīng)

4、法則不同師：能否說得再具體點(diǎn)，怎么不同？生：這兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)法則中，x與y的位置換位（研究兩函數(shù)間的關(guān)系應(yīng)從函數(shù)三要素角度入手研究，老師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生向三要素靠攏）師：還有什么聯(lián)系嗎？師：根據(jù)剛才我們的討論，可以發(fā)現(xiàn)反函數(shù)的三要素是由原來函數(shù)決定的，當(dāng)給出的函數(shù)確定下來后，其反函數(shù)的三要素也就確定下來了，可以簡記為“三定”把這種確定關(guān)系具體化，也就是反函數(shù)的“反”字體現(xiàn)在什么地方呢？生：反函數(shù)的定義域就是原來函數(shù)的值域；反函數(shù)的值域就是原來函數(shù)的定義域；反函數(shù)的對應(yīng)法則就是把原來函數(shù)對應(yīng)法則中x與y的位置互換師：由此我們可以看到反函數(shù)的“反”實(shí)際體現(xiàn)為“三反”在這“三反”中，起決定作用的就是x

5、與y的反置，正是由于它們位置的改變，才把相應(yīng)取值反置，從而引起另外兩“反”（板書：a“三定”，b“三反”）師：從函數(shù)概念的角度來看，我們明確了原來函數(shù)與其反函數(shù)間的關(guān)系，當(dāng)然還可以從其它方面入手進(jìn)行研究，如：一個(gè)函數(shù)有沒有反函數(shù)？若有反函數(shù)，它的性質(zhì)如何？與原來函數(shù)的性質(zhì)有什么關(guān)系？通過前面幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)，上述問題中，原來函數(shù)的性質(zhì)起著決定性作用，而且反函數(shù)的性質(zhì)也與原來函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)由于函數(shù)和反函數(shù)有如此密切的關(guān)系，它已成為進(jìn)一步研究函數(shù)的重要方面當(dāng)我們研究某個(gè)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，如果這個(gè)函數(shù)有反函數(shù)，就可以在兩者中擇其簡而研究之，這就增加了函數(shù)的研究方法師：對反函數(shù)概念作了較全面認(rèn)識之后，自然提

6、出這樣一個(gè)問題：如果一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，如何去求這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)呢？一起看這樣二個(gè)題目生：（板書）（在表述上不規(guī)范之處，先暫時(shí)不追究，待例2解完之后再一起講評）例2 求f（x）=x2+1（x1）的反函數(shù)生：（板書）師：下面請同學(xué)對兩個(gè)例題的表述作個(gè)評價(jià)師：這和黑板上所得的函數(shù)有什么不同嗎？生：兩個(gè)函數(shù)的定義域分別是x1和x2，所以是不同的兩個(gè)函數(shù)生：因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域應(yīng)是原來給出函數(shù)f（x）的值域，而f（x）師：說得很好根據(jù)我們對反函數(shù)的認(rèn)識，反函數(shù)的定義域就是原來給出函數(shù)的值域所以要求出反函數(shù)的定義域，就必須先求出原來函數(shù)的值域那么例2的求解過程應(yīng)當(dāng)怎樣調(diào)整呢？師：通過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)并

7、解決了例2反函數(shù)的存在問題，同時(shí)也注意到求反函數(shù)必須明確指出其定義域，以保證結(jié)論的正確性除此之外，還有什么問題嗎？生：為什么沒有在例1中求原來所給函數(shù)的值域呢？師：請同學(xué)們針對這個(gè)問題討論一下生：因?yàn)樵瓉硭o的函數(shù)的值域是y0，這和所求出的反函數(shù)的定義域是x0為結(jié)論是一致的，所以沒有出錯(cuò)師：此題出現(xiàn)的這種結(jié)論的一致性，應(yīng)當(dāng)說是一種偶然，而不是必然因此，在求反函數(shù)的過程中，必須要求出原來所給函數(shù)的值域，并且在最后結(jié)果中注明反函數(shù)的定義域那么，例1的規(guī)范書寫過程應(yīng)如何調(diào)整呢？生：（板書）0，yR，所以，所求反函數(shù)為師：通過剛才對兩個(gè)具體例子的討論，能否總結(jié)一下求用解析式表達(dá)的函數(shù)的反函數(shù)的基本步驟

8、呢？（板書：2求反函數(shù)的步驟）生：首先從解析式中解出x，其次求出所給函數(shù)的值域，最后再改寫為習(xí)慣的表示形式師：把這幾步用簡單的幾個(gè)字來概括一下1反解：既把解析式看作x的方程，求出反函數(shù)的解析式；2互換：既求出所給函數(shù)的值域并把它改換為反函數(shù)的定義域；3改寫：將函數(shù)寫成y=f-1（x）的形式（板書：1反解2互換3改寫）師：下面通過幾個(gè)練習(xí)來看看同學(xué)們是否真正理解這三個(gè)基本步驟三、鞏固練習(xí)練習(xí) 求下列函數(shù)的反函數(shù)（由一個(gè)學(xué)生在黑板上完成）所以（由一個(gè)學(xué)生在黑板上完成，兩題同時(shí)進(jìn)行，其余學(xué)生在筆記本上完成，教師巡視）解 由y=x2-x+1，得x2-x+1-y=0，（待全體學(xué)生完成之后，結(jié)合黑板上學(xué)生

9、的表述及其它學(xué)生解答中出現(xiàn)的問題進(jìn)行講評）師：先看黑板上同學(xué)的表述有沒有問題，請加以糾正（一學(xué)生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1，得x2-x+1-y=0，師：經(jīng)過改正，兩個(gè)題目在表述上已經(jīng)沒有問題了下面結(jié)合其它同學(xué)求解中出現(xiàn)的一些問題，談幾點(diǎn)注意（1）求反函數(shù)的過程中必有一步是求出原來所給函數(shù)的值域求值域的方法有很多，如果所給函數(shù)是常見函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，不妨從“形”的角度求值域會(huì)比較方便直觀（2）解關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)根，必須根據(jù)題目所給條件對x進(jìn)行取舍，保留符合條件的唯一解（3）這兩個(gè)題目在反函數(shù)符號的使用上是有區(qū)別的，題目給出f（x）這個(gè)符號，則反函數(shù)可以用f-1（x）

10、來表示，否則只能用文字?jǐn)⑹龅男问剿摹⑿〗Y(jié)1反函數(shù)是函數(shù)中一個(gè)重要的概念，它是從研究兩個(gè)函數(shù)關(guān)系的角度產(chǎn)生的，因此認(rèn)識它應(yīng)從三要素角度進(jìn)行研究2一個(gè)函數(shù)有沒有反函數(shù)是由原來給出函數(shù)的性質(zhì)決定的，且反函數(shù)的性質(zhì)也是由原來給出的函數(shù)性質(zhì)決定的3求反函數(shù)實(shí)際上就是辦兩件事，一是解一個(gè)關(guān)于自變量x的方程，二是求一個(gè)函數(shù)的值域五、作業(yè)課本習(xí)題P65習(xí)題六第3題（1），（3），第4題課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明反函數(shù)這節(jié)課是一節(jié)概念課，因此這節(jié)課的成敗關(guān)鍵是反函數(shù)概念的建立反函數(shù)是函數(shù)中一個(gè)特殊現(xiàn)象，對這個(gè)概念的研究是對函數(shù)概念和函數(shù)性質(zhì)在認(rèn)識上的深化和提高，所以學(xué)生對這個(gè)知識的學(xué)習(xí)是有一定的知識基礎(chǔ)和認(rèn)識基礎(chǔ)的，故應(yīng)

11、以學(xué)生的主體參與為主線，且是在教師主導(dǎo)作用下的思維和參與學(xué)生的思維是從問題開始的，因此本節(jié)課的起點(diǎn)應(yīng)是一個(gè)有較大思維空間的問題，所以在設(shè)計(jì)時(shí)選擇從一個(gè)具體函數(shù)入手提供研究反函數(shù)的原則，讓學(xué)生在這個(gè)原則之下自己選擇研究方法，進(jìn)行探討在研究過程中，針對學(xué)生出現(xiàn)的障礙，適時(shí)、適當(dāng)加以點(diǎn)撥，將學(xué)生思維引向正軌反函數(shù)概念的建立的關(guān)鍵在于讓學(xué)生能從兩個(gè)函數(shù)關(guān)系的角度去認(rèn)識它，從而深化對函數(shù)概念的認(rèn)識在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師采用從具體的例子出發(fā)，用學(xué)生最熟悉的知識，最明顯的事例，幫助學(xué)生找到研究方法的角度，再逐步概括抽象出反函數(shù)的意義這樣也便于分散難點(diǎn)，突出重點(diǎn)對一個(gè)概念的理解往往要通過某種具體的操作來體現(xiàn)，操作的靈活熟練程度也能體現(xiàn)出對概念理解的深度因此這節(jié)課