高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1.1-2 空間向量及其線性運(yùn)算 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修

1、3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算3.1.2共面向量定理1了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，理解空間向量的線性運(yùn)算及其性質(zhì)，理解共線向量定理(重點(diǎn))2體會(huì)共面向量定理的推導(dǎo)過(guò)程，掌握共面向量定理，會(huì)用共面向量定理判定向量共面，會(huì)用共面向量定理證明線面平行問(wèn)題(難點(diǎn))3掌握向量共線與共面和直線共線與共面的區(qū)別與聯(lián)系(易混點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1空間向量及其線性運(yùn)算閱讀教材P81的部分，完成下列問(wèn)題1空間向量在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量2空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算定義(或法則)加法設(shè)a和b是空間兩個(gè)向量，過(guò)一點(diǎn)O作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則平行四邊形O

2、ACB的對(duì)角線OC對(duì)應(yīng)的向量就是a與b的和，記作ab減法與平面向量類似，a與b的差定義為a(b)，記作ab，其中b是b的相反向量空間向量的數(shù)乘空間向量a與一個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是一個(gè)向量，記作a，滿足：大?。簗a|a|.方向：當(dāng)0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a01判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小()(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算中，只決定向量的大小，不決定向量的方向()(3)將空間的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓()(4)若|a|b|，則ab或ab.()(5)已知四邊形ABCD，O是空間任意一點(diǎn)，且，則四

3、邊形ABCD是平行四邊形()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，向量表達(dá)式化簡(jiǎn)后的結(jié)果是_【解析】如圖所示，().【答案】教材整理2共線向量閱讀教材P82例1上面的部分，完成下列問(wèn)題1共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量向量a與b平行，記作ab，規(guī)定零向量與任意向量共線2共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ba.教材整理3共面向量閱讀教材P84的部分，完成下列問(wèn)題1共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量2共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向

4、量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得pxayb.有下列命題：平行于同一直線的向量是共線向量；平行于同一平面的向量是共面向量；平行向量一定是共面向量；共面向量一定是平行向量其中正確的命題有_【解析】“共面向量一定是平行向量”不正確，即共面向量不一定共線均正確【答案】質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型空間向量及有關(guān)概念下列四個(gè)命題：(1)所有的單位向量都相等；(2)方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；(3)若a，b滿足|a|b|，且a，b同向，則ab；(4)零向量沒有方向其中不正確的命題的序號(hào)為_

5、【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)空間向量的概念進(jìn)行逐一判斷，得出結(jié)論【自主解答】對(duì)于(1)：?jiǎn)挝幌蛄渴侵搁L(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故(1)錯(cuò)；對(duì)于(2)：長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故(2)錯(cuò)；對(duì)于(3)：向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于(4)：零向量有方向，只是沒有確定的方向，故(4)錯(cuò)【答案】(1)(2)(3)(4)1因?yàn)榭臻g任何兩個(gè)向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個(gè)向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來(lái)解決2對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過(guò)舉出反例而排除或否定相關(guān)命題再練一題1下列命題中正確的個(gè)數(shù)是_(1)如果a

6、，b是兩個(gè)單位向量，則|a|b|；(2)兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；(3)同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量；(4)空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)【解析】(1)(3)(4)正確，(2)不正確【答案】3空間向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)：()()【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，也可轉(zhuǎn)化為減法運(yùn)算【自主解答】法一：將減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡(jiǎn)，()()0.法二：利用，化簡(jiǎn)()()()()0.法三：，()()()()0.1計(jì)算兩個(gè)空間向量的和或差時(shí)，與平面向量完全相同運(yùn)算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵2計(jì)算三個(gè)或多個(gè)空間向量的和或差時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：(1

7、)三角形法則和平行四邊形法則；(2)正確使用運(yùn)算律；(3)有限個(gè)向量順次首尾相連，則從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即表示這有限個(gè)向量的和向量再練一題2如圖311所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，若a，b，c，則_(用向量a，b，c表示)圖311【解析】abcbbabc.【答案】abc共線向量定理及其應(yīng)用(2016石家莊高二檢測(cè))如圖312，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA13.求證：B，G，N三點(diǎn)共線圖312【精彩點(diǎn)撥】要證明B，G，N三點(diǎn)共線，可證明，即證明存在實(shí)數(shù)，使.【自主解答】設(shè)a，b，c，則a(a

8、bc)abc，()abc.，即B，G，N三點(diǎn)共線判定或證明三點(diǎn)(如P，A，B)是否共線：(1)考察是否存在實(shí)數(shù)，使；(2)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有t；(3)考察對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有xy(xy1).再練一題3在例3中，若把條件“GMGA13”換為“GMGA11”把“N是面ACD的重心”換為“”，增加條件“B，G，N三點(diǎn)共線”，其余不變，試求的值【解】設(shè)a，b，c，()()(abc)a(abc)abc.()abc.B，G，N三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)k，使k，即abck，故解得k，.共面向量定理及其應(yīng)用如圖313所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)(1

9、)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明BD平面EFGH.圖313【精彩點(diǎn)撥】(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實(shí)數(shù)x，y，使xy即可(2)要證BD平面EFGH，只需證向量與向量，共面即可【自主解答】(1)如圖所示，連結(jié)BG，EG，則().由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)設(shè)a，b，c，則ca.(cb)abc，c(ab)abc.假設(shè)存在x，y，使xy.即caxyabc.a，b，c不共線解得.，是共面向量，BD不在平面EFGH內(nèi)BD平面EFGH.1空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使xy.滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)P都在平

10、面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)P都滿足這個(gè)關(guān)系式，這個(gè)充要條件常用來(lái)證明四點(diǎn)共面在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，有xyz，且xyz1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面”作為判定空間中四個(gè)點(diǎn)共面的依據(jù)2用共面向量定理證明線面平行的關(guān)鍵(1)在直線上取一向量；(2)在平面內(nèi)找出兩個(gè)不共線的向量，并用這兩個(gè)不共線的向量表示直線上的向量；(3)說(shuō)明直線不在面內(nèi)，三個(gè)條件缺一不可再練一題4對(duì)于空間某一點(diǎn)O，空間四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D(無(wú)三點(diǎn)共線)分別對(duì)應(yīng)著向量a，b，c，d，且存在非零實(shí)數(shù)，使abcd0(0)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面【證明】因?yàn)榇嬖诜橇銓?shí)

11、數(shù)，使abcd0(0)成立，則()，代入得abc()d0，即(ad)(bd)(cd)0，即0，與，共面，即A，B，C，D四點(diǎn)共面探究共研型共線、共面向量的特征探究1如何理解共線向量及共線向量定理？【提示】(1)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法，但是要注意，向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括共線的情形，如果應(yīng)用共線向量定理判斷a，b所在的直線平行，還需說(shuō)明a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上(2)用共線向量定理證明三點(diǎn)共線也是常用方法，在利用該定理證明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)，使或即可(3)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，若有(1)成立，則A，B，C三點(diǎn)共線探究2如何理

12、解共面向量定理？【提示】(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式，說(shuō)明兩個(gè)不共線的向量能確定一個(gè)平面，它是判定三個(gè)向量是否共面的依據(jù)(2)共面向量定理的推論是判定空間四點(diǎn)共面的依據(jù)探究3若兩向量共線或共面，則這兩向量所在的直線有何位置關(guān)系？【提示】?jī)上蛄抗簿€，這兩向量所在的直線重合或平行，兩向量共面，這兩向量所在的直線共面或異面如圖314所示，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.證明：與，共面圖314【精彩點(diǎn)撥】由共面向量定理，只要用，線性表示出即可【自主解答】，與，共面再練一題5如圖315，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別

13、為BB1和A1D1的中點(diǎn)證明：向量，是共面向量圖315【證明】法一：().由向量共面的充要條件知，是共面向量法二：連結(jié)A1D，BD，取A1D中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG，則有FG綊DD1，BE綊DD1，F(xiàn)G綊BE，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.BG平面A1BD，EF平面A1BD，EF共面A1BD.同理，B1CA1D，B1C平面A1BD，都與平面A1BD平行，是共面向量構(gòu)建體系1已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC，BD，則_.【解析】0.【答案】02已知正方體ABCDABCD中，設(shè)a，b，c，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AFEF，則_(用a，b，c表示)【解析】由條件AFEF知，E

14、F2AF，所以abc.【答案】abc3ab(是實(shí)數(shù))是a與b共線的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】abab，但當(dāng)b0，a0時(shí)，則ab，ab.【答案】充分不必要4設(shè)e1，e2是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】e13e2，2e1e2，(2e1e2)(e13e2)e14e2.A，B，D三點(diǎn)共線，2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，k8.【答案】85已知ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O，引向量k，k，k，k.圖316求證：(1)四

15、點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共面；(2)平面AC平面EG.【證明】(1)四邊形ABCD是平行四邊形，.kkk()kk()k()，E，F(xiàn)，G，H共面(2)k()k，又k，EFAB，EGAC，所以平面AC平面EG.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1下列命題中，假命題是_(填序號(hào))若與共線，則A，B，C，D不一定在同一直線上；只有零向量的模等于0；共線的單位向量都相等【解析】正確共線的單位向量方向不一定相同，錯(cuò)誤【答案】2下列結(jié)論中，正確的是_(填序號(hào))若a，b，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使axbyc；若a，b，c不共面，則不存在實(shí)數(shù)

16、x，y，使axbyc；若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使axbyc.【解析】要注意共面向量定理給出的是一個(gè)充要條件所以第個(gè)命題正確但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提；b，c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a，b，c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故不正確，正確【答案】3已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么_.【解析】P與A，B，C共面，()()，即(1)，11.因此1，解得.【答案】4如圖317，已知空間四邊形ABCD中，a2c，5a6b8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則_(用向量a，b，c表示)圖317【解析】設(shè)G為BC的中點(diǎn)，

17、連結(jié)EG，F(xiàn)G，則(a2c)(5a6b8c)3a3b5c.【答案】3a3b5c5如圖318，平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1，若xyz，則xyz_.圖318【解析】()，x1，y1，z，xyz.【答案】6如圖319，在三棱錐ABCD中，若BCD是正三角形，E為其重心，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】圖319【解析】E為BCD的重心，DEDF，.0.【答案】07i，j，k是三個(gè)不共面的向量，i2j2k，2ij3k，i3j5k，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的值為_【解析】若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則向量，共面，故存在不全為零的實(shí)數(shù)a，b，

18、c，使得abc0，即a(i2j2k)b(2ij3k)c(i3j5k)0，(a2bc)i(2ab3c)j(2a3b5c)k0.i，j，k不共面，【答案】18有四個(gè)命題：若pxayb，則p與a，b共面；若p與a，b共面，則pxayb；若xy，則P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，則xy.其中真命題是_(填序號(hào))【解析】由共面向量定理知，正確；若p與a，b共面，當(dāng)a與b共線且p與a和b不共線時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)組(x，y)使pxayb成立，故錯(cuò)誤；同理正確，錯(cuò)誤【答案】二、解答題9如圖3110所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四邊形若，2，若b，c，a，試用a，b，c表示.圖3110【解】如圖，連結(jié)AF，則.由已知ABCD是平行四邊形，故bc，ac. 由已知，2，c(ca)(a2c)，又(bc)，(bc)(a2c)(abc)10如圖3111所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且，.求證：四邊形EFGH是梯形圖3111【證明】E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，則()()，且|.又F不在直線EH上，四邊形EFGH是梯形能力提升1平面