中考數(shù)學(xué)之平面幾何最全總結(jié)+經(jīng)典習(xí)題

1、平面幾何知識要點(diǎn)（一）【線段、角、直線】1. 過兩點(diǎn)有且只有一條直線。2. 兩點(diǎn)之間線段最短。3. 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直。4. 直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂直線段最短。 垂直平分線，簡稱“中垂線”。定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 中垂線性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段。 垂直平分線定理: 垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫

2、外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。角1. 同角或等角的余角相等。2. 同角或等角的補(bǔ)角相等。3. 對頂角相等。 角的平分線性質(zhì) 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合定理1：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理2： 到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)叫內(nèi)心，它到三角形三邊距離相等。 【平行線】 平行線性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。平行線性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。平行線性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線判定1：同位角相等，兩直線平行。平行線判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。平行線判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。平行線

3、判定4：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。平面幾何知識要點(diǎn)（二）【三角形】面積公式：1 已知三角形底a，高h(yuǎn)， 2 正三角形面積 S= (a為邊長正三角形)3已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）其中： （周長的一半）4已知三角形兩邊a，b及這兩邊夾角C，則。 5設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則 6設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R，則記住

4、：已知正三角形邊長為，其外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，則有： ， ， 內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180推論1 ：直角三角形的兩個(gè)銳角互余 推論2 ：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和 推論3 ：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角全等三角形性質(zhì)：如果兩三角形全等，那么其對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等。其中對應(yīng)邊除了三角形的邊長外，還包括對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對角平分線。全等三角形判定定理： 邊邊邊公理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA） 推論：有兩

5、角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。相似三角形性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。性質(zhì)定理2：相似三角形周長的比等于相似比。性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形判定定理判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA） 判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS） 判定定理3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理：平

6、行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。梯形中位線定理： 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 。平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等 推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰 。 推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 推論1：等腰三

7、角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 。 推論2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。（三線合一） 推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60 等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 推論2：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形直角三角形1勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方（） 逆命題：如果三角形的三邊長有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形為銳角或鈍角的一個(gè)簡單的方法，其中c為最長邊: 如果：，則ABC是直角三

8、角形； 如果，則ABC是銳角三角形；如果，則ABC是鈍角三角形。2直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半。逆命題：如果一個(gè)三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。 3.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，由此性質(zhì)可推出：含30的直角三角形三邊之比為1：2。 4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。5.直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半，abcor即 也等于 ABCDabch6. 射影定理： 如果ABC是直角三角形,C=90，CDAB，則 如果

9、ABC，CDAB，則:ADCCDB對一般三角形的拓展：如圖，如果ADCACB，則： 7如果ADE=B 或 AED=C，或 C+DEB=180,或 B+CDE=180那么有：ADAC=AEAB8.如果DEBC , 那么有：ABCD9在ABC中，AD是A的平分線，那么：10內(nèi)、外角角平分線：DO平分AOB，EO平分COB， 可以推出：DOE=90,AOD+COE=90平面幾何知識要點(diǎn)（三）【四邊形及多邊形】面積公式： 平行四邊形面積=底高 矩形面積=長寬 菱形面積=對角線乘積的一半 或 菱形面積=底高 梯形面積=中位線高 對角線相互垂直四邊形面積=對角線乘積的一半。平行四邊形：性質(zhì)定理1：平行四邊

10、形兩組對邊分別平行性質(zhì)定理2：平行四邊形兩組對角分別相等。性質(zhì)定理3：平行四邊形兩組對邊分別相等。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等；平行線間的距離處處相等。性質(zhì)定理4：平行四邊形的對角線互相平分。是中心對稱圖形判定定理1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定定理2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理3：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。判定定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。判定定理5：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形 性質(zhì)定理1：矩形對邊分別平行且相等； 性質(zhì)定理2：矩形的四個(gè)角都是直角。 性質(zhì)定理3：矩形對角線互相平分且相等性質(zhì)定理4：矩形既是中

11、心對稱圖形，也是軸對稱圖形。判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形判定定理2：有一個(gè)直角的平行四邊形；判定定理3：對角線相等的平行四邊形是矩形菱形 性質(zhì)定理1：菱形對邊平行，四條邊都相等。 性質(zhì)定理2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。性質(zhì)定理3：菱形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形。 判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。 判定定理2：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； 判定定理3：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形 性質(zhì)定理1：正方形對邊平行，四邊相等； 性質(zhì)定理2：正方形的四個(gè)角都是直角； 性質(zhì)定理3：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角

12、。 性質(zhì)定理3：正方形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形。判定定理1：有一個(gè)直角一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；判定定理2：一組鄰邊相等的矩形是正方形；判定定理3：一個(gè)角為直角的菱形是正方形。等腰梯形 性質(zhì)定理1：等腰梯形兩底互相平行，兩腰相等； 性質(zhì)定理2：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)底角相等。 性質(zhì)定理3：等腰梯形的兩條對角線相等。 性質(zhì)定理4：等腰梯形是軸對稱圖形。判定定理1：腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理2：在同一底上的兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形。判定定理3：對角線相等的梯形是等腰梯形。如果等腰梯形對角線相互垂直，則高與中位線相等。四邊形四邊中點(diǎn)連成的四邊形圖形：1 如果原四邊形對角線相

13、等且垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為正方形；2 如果原四邊形對角線只相等不垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為菱形；3 如果原四邊形對角線垂直但不相等，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為矩形；4 如果原四邊形對角線既不相等又非垂直，那么四邊形中點(diǎn)連成的新四邊形為平行四邊形。5 四邊形中點(diǎn)連接的圖形的面積是原四邊形面積的一半.其它定理和公式1定理：四邊形的內(nèi)角和等于360，四邊形的外角和等于360。 2多邊形內(nèi)角和定理: n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）180 推論：任意多邊的外角和等于3603n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線，共有(n3)條，將n邊形分成了(n2)個(gè)三角形；n邊形一共有(n3)條對角

14、線。4正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于：常用輔助線 平面幾何知識要點(diǎn)（四）【圓、弧、弦】圓及圓的相關(guān)量的定義圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。 弧、弦的定義：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 圓、弧的表示方法: 圓- 弧- 弦心距定義：圓心到弦的距離叫做弦心距。 弦切角定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。圓周角定義：頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。圓心距

15、定義：兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。連心線定義：過平面內(nèi)不重合的兩個(gè)圓的圓心的直線叫做這兩個(gè)圓的連心線。扇形定義: 在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。三角形的外接圓：過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離相等。三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形3邊距離相等。 圓的內(nèi)接正n邊形、圓的外切正n邊形定義：把圓分成n(n3)等分：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的

16、交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)abcd圓的外切正n邊形。圓內(nèi)接四邊形面積：其中：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等：ABCDADBC公切線定義:和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。ABCD 內(nèi)公切線定義：兩個(gè)不相交的圓在公切線兩旁時(shí)，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線。外公切線定義：兩個(gè)不相交的圓在公切線的同旁時(shí)，這樣的公切線叫做外公切線。 右圖中：直線AB、CD就是兩圓的公切線，其中AB為外公切線，CD為內(nèi)公切線。 公切線長計(jì)算公式：設(shè)半徑為R，半徑為r，兩圓的圓心距為 外公切線長= 內(nèi)公切線長= 當(dāng)兩圓相切時(shí)，無內(nèi)公切線長。直線與圓有三種位置關(guān)系：1.無公共點(diǎn)為相離；2有2個(gè)公共點(diǎn)為相交；3圓與直線有唯一

17、公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。兩圓之間有5種位置關(guān)系：1.無公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，2在之內(nèi)叫內(nèi)含；3有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，4在之內(nèi)叫內(nèi)切；5有2個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。圓的基本性質(zhì): 1點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離）： 當(dāng)P在O外，POr；當(dāng)P在O上，POr；當(dāng)P在O內(nèi)，POr。2直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè)OPAB于P，則PO是直線AB到圓心的距離）： 當(dāng)AB與O相離，POr；當(dāng)AB與O相切，POr；當(dāng)AB與O相交，POr。 3圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且Rr，圓心距為P）： 外離PR+r；

18、外切P=R+r；相交R-rPR+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含0PR-r。 4同圓或等圓的半徑相等。5圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。6. 不在同一直線上的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。7. 一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。8圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 圓的定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直

19、于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。PTACBD切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。（此推論也叫割線定理）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條

20、線段的比例中項(xiàng)。注：切割線定理與割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱為圓冪定理。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。弦切角等于它所夾的弧所對的圓心角的一半。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等定理1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等。定理2：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對

21、的弦是直徑。 推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。定理3：兩圓相交時(shí)，連心線垂直平分兩圓的公共弦。定理4 兩圓相切時(shí)，連心線通過切點(diǎn)。定理5：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。定理6：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。定理7：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式圓周長圓的面積弧長扇形面積公式注：半徑r 直徑d 扇形弧長 周長C 面積S n-扇形的圓心角扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積注:（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊　?yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓

22、形的周長弦長弧長圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形注：圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r圓柱的底面半徑為r，高為h圖形的形成過程由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如RtSOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让嬲归_圖的特征扇形矩形面積計(jì)算方法【三角形五心】：內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心內(nèi)心外心重心垂心旁心三角形內(nèi)心：三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，其半徑r是交點(diǎn)到一邊的距離。性質(zhì)：到三邊距離相等。三角形外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心，其半徑R是交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。性質(zhì)：外心

23、到三頂點(diǎn)的距離相等 若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC=360-2A（A為鈍角）。當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。三角形重心：三角形三條中線的交點(diǎn)。性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為21。重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為三角形垂心：三角形三條高所在直線的交點(diǎn)。性質(zhì)：垂心分每條高線的兩部分乘

24、積相等。 垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對邊距離的2倍。三角形旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線的交點(diǎn) 性質(zhì)：旁心到三邊的距離相等性質(zhì)5 銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。圓的基本概念A(yù)BCEFGHIJ如上圖：直線為連心線; 線段AB稱為弦; 圓心到線段AB的距離稱為弦心距；之間距離稱為圓心距；直線EF外公切線；直線BG內(nèi)公切線；E,F,I稱為切點(diǎn)；稱為劣弧; 稱為優(yōu)弧; 稱為圓心角；GIJ稱為圓周角；GIH 稱為弦切角;三角形的內(nèi)切圓三角形的外接圓兩圓外切兩圓內(nèi)切相離內(nèi)含兩圓相交經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E

25、是圓上的兩點(diǎn)，CDAB，EFAB，EGCO求證：CDGF（初二）AFGCEBOD2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150APCDB 求證：PBC是正三角形（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)求證：四邊形A2B2C2D2是正方形（初二）ANFECDMB4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DENF經(jīng)典難題（二）1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且O

26、MBC于MADHEMCBO（1）求證：AH2OM；（2）若BAC600，求證：AHAO（初二）GAODBECQPNM2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：OQPBDECNMA設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）PCGFBQADE4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的

27、一半（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，AEAC，AE與CD相交于FAFDECB求證：CECF（初二）2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，且CECA，直線EC交DA延長線于FEDACBF求證：AEAF（初二）3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PFAP，CF平分DCEDFEPCBA求證：PAPF（初二）ODBFAECP4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：ABDC，BCAD（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PB4，PC5APCB求：APB的度數(shù)（初

28、二）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDAPADCB求證：PABPCB（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCDADBCACBD（初三）CBDA4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AECF求證：DPADPC（初二）FPDECBA經(jīng)典難題（五）APCB1、設(shè)P是邊長為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)，LPAPBPC，求證：L22、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值A(chǔ)CBPDACBPD3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的邊長EDCBA4、如圖，ABC中，ABCACB8

29、00，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DCA300，EBA200，求BED的度數(shù)經(jīng)典難題（一）1.如下圖做GHAB,連接EO。由于GOFE四點(diǎn)共圓，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得證。2. 如下圖做DGC使與ADP全等，可得PDG為等邊，從而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，從而得出PBC是正三角形3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn)，由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=B

30、C=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,從而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，從而得出DENF。經(jīng)典難題（二）1.(1)延長AD到F連BF，做OGAF,又F=ACB=BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+H

31、D)=2OM(2)連接OB，OC,既得BOC=1200， 從而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。3.作OFCD，OGBE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得ADFABG，從而可得AFC=AGE。 又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，從而可得AP=AQ。4.過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG，CI，F(xiàn)H?？傻肞Q=。 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 從而可得PQ= = ，從而得證。經(jīng)典難題（三）1.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ADE，到ABG，連接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 從而可得B，G，D在一條直線上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC為等邊三角形。 AGB=300，既得EAC=300，從而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可證：CE=CF。2.連接BD作CHDE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CA