人教高中數(shù)學(xué)必修五同課異構(gòu)課件252等比數(shù)列習(xí)題課精講優(yōu)練課型

1、第2課時(shí) 等比數(shù)列習(xí)題課,【題型探究】 類型一 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題 【典例】1.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)，某商場(chǎng)在未來的10年， 計(jì)算機(jī)銷售量從a臺(tái)開始，每年以10%的速度增長(zhǎng)，則該 商場(chǎng)在未來的這10年大約可以銷售計(jì)算機(jī)總量為(),A10a(1.19-1)臺(tái)Ba(1.110-1)臺(tái) C10a(1.110-1)臺(tái)D10a(1.111-1)臺(tái),2.某企業(yè)去年的純利潤(rùn)為500萬元，因設(shè)備老化的原因， 企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行設(shè)備改造，預(yù) 測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬元，今年初該 企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行設(shè)備改造，預(yù)測(cè)在未 扣除設(shè)備改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的

2、 利潤(rùn)為500 萬元(n為正整數(shù)).,(1)設(shè)從今年起的后n年，若該企業(yè)不進(jìn)行設(shè)備改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬元，進(jìn)行設(shè)備改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬元(須扣除設(shè)備改造資金)，求An，Bn的表達(dá)式. (2)依上述預(yù)測(cè)，問從今年起該企業(yè)經(jīng)過4年是否能實(shí)現(xiàn)BnAn的目標(biāo)？,【解題探究】1.典例1中，10年的計(jì)算機(jī)銷售量構(gòu)成什么數(shù)列？ 提示：10年的計(jì)算機(jī)銷售量構(gòu)成首項(xiàng)為a，公比為1.1的等比數(shù)列.,2.典例2中，從今年起的后n年，若該企業(yè)不進(jìn)行設(shè)備 改造，每年的純利潤(rùn)構(gòu)成什么數(shù)列？數(shù)列500 的前n項(xiàng)和如何計(jì)算？ 為分析企業(yè)經(jīng)過4年是否能實(shí)現(xiàn)BnAn的目標(biāo)，需要研究 數(shù)列Bn-An的什么性質(zhì)？,提示：從

3、今年起每年的純利潤(rùn)構(gòu)成以500-20為首項(xiàng)，公 差為-20的等差數(shù)列.數(shù)列500 的前n項(xiàng)和可以分 組轉(zhuǎn)化求和，即,為分析企業(yè)經(jīng)過4年是否能實(shí)現(xiàn)BnAn的目標(biāo)，需要研究數(shù)列Bn-An的單調(diào)性.,【解析】1.選C.第一年a臺(tái)，第二年a(1+10%)=1.1a臺(tái)， 第三年a(1+10%)2=1.12a臺(tái)，以此類推， 可知10年的銷售量構(gòu)成首項(xiàng)為a，公比為1.1的等比數(shù)列， 前10項(xiàng)的和S10=,2.(1)依題設(shè)，An=(500-20)+(500-40)+(500-20n) =490n-10n2，,(2)Bn-An= =10n2+10n- -100. 易知該式隨著n的增大而增大，代入1，2，3，4，

4、驗(yàn)證知當(dāng)n4時(shí)，BnAn. 故經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行設(shè)備改造后的累計(jì)純利潤(rùn)能超過不進(jìn)行設(shè)備改造的累計(jì)純利潤(rùn).,【方法技巧】解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟 (1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意. (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征. (3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解. (4)還原將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.,具體解題步驟用框圖表示如下：,【變式訓(xùn)練】從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入 資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，以發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃， 本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少 . 本年底當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元.由于該項(xiàng)目建 設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作

5、用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年 會(huì)比上年增加 .設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為 an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元，寫出an和bn.,【解題指南】每一年的投入構(gòu)成首項(xiàng)為800，公比為 1- 的等比數(shù)列； 每一年的旅游業(yè)收入構(gòu)成首項(xiàng)為400，公比為1+ 的等比數(shù)列.,【解析】第一年投入為800萬元，第二年投入為 800 萬元，第n年投入為800 萬元， 所以n年內(nèi)的總投入為an=800+800 +800 =4 000(1-0.8n)(萬元).,第一年旅游業(yè)收入為400萬元，第二年旅游業(yè)收入為 400 萬元，第n年旅游業(yè)收入為400 萬元， 所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400 + +

6、400 =1 600(1.25n-1)(萬元).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤(rùn)；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復(fù)利計(jì)算，試比較兩種方案中，哪種純獲利更多？ (取1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665),【解析】(1)甲方案獲利： 1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9= 42.62(萬元). 銀行貸款本息：10(1+5%)1016

7、.29(萬元)， 故甲方案純獲利：42.62-16.29=26.33(萬元).,(2)乙方案獲利： 1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(萬元)，,銀行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9=1.05 13.21(萬元). 故乙方案純獲利：32.50-13.21=19.29(萬元). 綜上，甲方案純獲利更多.,類型二 錯(cuò)位相減法求和 【典例】(2015湖北高考)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100. (1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式. (2)

8、當(dāng)d1時(shí)，記cn= ，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.,【解題探究】典例(1)求通項(xiàng)公式的基本步驟是什么？ (2)數(shù)列cn的結(jié)構(gòu)特征是什么？應(yīng)選擇什么求和方法？,提示：(1)由題意可列出方程組 求解首項(xiàng)、公差、公比，再代入通項(xiàng)公式即可求得. (2)由(1)結(jié)合d1，可得an=2n-1，bn=2n-1，于是cn= 易發(fā)現(xiàn)cn的通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù) 列相乘而得的，對(duì)其進(jìn)行求和直接運(yùn)用錯(cuò)位相減法即 可得出結(jié)論.,【解析】(1)由題意有，,(2)由d1，知an=2n-1，bn=2n-1， 故cn= 于是,-可得,【延伸探究】 1.(變換條件)將典例條件“cn= ”改為“cn=anbn”， 其他條件

9、不變，求Tn.,【解析】因?yàn)閏n=(2n-1)2n-1， 所以Tn=120+321+522+(2n-1)2n-1， 2Tn=121+322+523+(2n-1)2n， 兩式相減得 -Tn=1+22+23+2n-(2n-1)2n =-(2n-3)2n-3， 所以Tn=(2n-3)2n+3，nN*.,2.(變換條件、改變問法)將數(shù)列an滿足的條件改為“數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3n+3”，將數(shù)列bn滿足的條件改為“anbn=log3an”，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】Sn= 當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1= =3. 當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1， 即an= 所以an= 當(dāng)n=1時(shí)，a1b

10、1=3b1=1，所以b1= ； 當(dāng)n2時(shí)，anbn=3n-1bn=log33n-1=n-1，,所以bn= 故bn= 當(dāng)n=1時(shí)，T1=b1= ； 當(dāng)n2時(shí)，Tn=b1+b2+b3+b4+bn,兩式相減得 所以Tn= 因?yàn)門1= 符合上式，所以bn的前n項(xiàng)和 Tn=,【方法技巧】 1.錯(cuò)位相減法的使用范圍及注意事項(xiàng) (1)適用范圍：主要適用于an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和.,(2)注意事項(xiàng)：利用“錯(cuò)位相減法”時(shí)，在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意使兩式對(duì)齊，以便于作差，正確寫出(1-q)Sn的表達(dá)式；利用此法時(shí)要注意討論公比q是否等于1.,2.錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和的基本

11、步驟 (1)在等式Sn=a1+a2+a3+an兩邊同乘以等比數(shù)列的公比q. (2)兩式相減：左邊為(1-q)Sn，右邊為q的同次式對(duì)齊相減. (3)右邊去掉最后一項(xiàng)(有時(shí)需要去掉第一項(xiàng))剩下的各項(xiàng)組成等比數(shù)列，可以采用公式求和.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014安徽高考)數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，nN*. (1)證明：數(shù)列 是等差數(shù)列. (2)設(shè)bn=3n ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,【解析】(1)由已知可得 所以 是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.,(2)由(1)得 =1+(n-1)=n， 所以an=n2，從而bn=n3n， Sn=131+232+333+n3n

12、， 3Sn=132+233+334+(n-1)3n+n3n+1.,將以上兩式聯(lián)立可得-2Sn=31+32+33+3n-n3n+1,【延伸探究】 1.(變換條件)將本題數(shù)列an滿足的條件改為“a1+3a2+ 32a3+3n-1an= ，nN*”，數(shù)列bn滿足的條件改為 “bn= ”，其他條件不變，求Sn.,【解析】因?yàn)閍1+3a2+32a3+3n-1an= ， 所以當(dāng)n2時(shí)， a1+3a2+32a3+3n-2an-1= ， -得3n-1an= ，所以an= . 在中，令n=1，得a1= ，適合an= ，所以an= . 因?yàn)閎n= ，所以bn=n3n.,所以Sn=3+232+333+n3n， 所以

13、3Sn=32+233+334+n3n+1. -得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n)， 即2Sn=n3n+1- 所以Sn=,2.(變換條件、改變問法) 將數(shù)列an滿足的條件改為“數(shù)列an是等差數(shù)列， a2+a4=10，2a2+a3=11”，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和.,【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d， 由2a3=a2+a4=10得a3=5， 又因?yàn)?a2+a3=11，所以2a2=6，a2=3， 所以d=a3-a2=5-3=2， 所以an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1，,因?yàn)?所以Tn= 則 兩式相減，得,類型三 等差、等比數(shù)列的綜合問題 角度1：等差、等比數(shù)列的判定問題 【

14、典例】(2015婁底高二檢測(cè))已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且公比q1，a2，a8，a5成等差數(shù)列，求證：S3，S9，S6成等差數(shù)列.,【解題探究】本例中，由a2，a8，a5成等差數(shù)列，可得什么等式？為證明S3，S9，S6成等差數(shù)列需證什么等式？?jī)烧呖捎檬裁垂浇⒙?lián)系？ 提示：由a2，a8，a5成等差數(shù)列，可得2a8=a2+a5.為證明S3，S9，S6成等差數(shù)列需證S3+S6=2S9.兩者可用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式建立聯(lián)系.,【解析】由a2，a8，a5成等差數(shù)列，可得2a8=a2+a5 2a1q7=a1q+a1q4. 又因?yàn)閍10，所以2q7=q+q42q9=q3+q6(1)

15、因?yàn)閝1，所以S3+S6= (2),把(1)式代入(2)式，得S3+S6= 故S3，S9，S6成等差數(shù)列.,角度2：求和問題 【典例】(2015福建高考)等差數(shù)列an中，a2=4，a4+a7=15. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)設(shè)bn= +n，求b1+b2+b3+b10的值.,【解題探究】典例中，(1)求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是什么？ (2)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征是什么？應(yīng)選擇什么方法求前10項(xiàng) 的和？ 提示：(1)關(guān)鍵是計(jì)算等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.(2)數(shù)列 bn是由等差數(shù)列n和等比數(shù)列 相加得到的， 用分組求和法求前10項(xiàng)的和.,【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d. 由已知得 解得 所以an=a

16、1+(n-1)d=n+2.,(2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10 =(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) =(211-2)+55 =211+53=2 101.,【延伸探究】典例中數(shù)列an改為正項(xiàng)等比數(shù)列，其 滿足的條件改為a1+a2=6，a3+a4=24，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn.,【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0). 則 解得： 所以an=a1qn-1=22n-1=2n. 所以an+log2an=2n+log22n=2n+n， 所以Tn=(2+22+2n)+(1+2+n),角度3：探索性問題

17、【典例】(2015漳州高一檢測(cè))已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2+a3+a4=-18. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)是否存在正整數(shù)n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由.,【解題探究】典例(1)中利用什么條件建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程？典例(2)解題的基本步驟是什么？ 提示：根據(jù)S4，S2，S3成等差數(shù)列和a2+a3+a4=-18列方程組計(jì)算首項(xiàng)和公比.假定存在正整數(shù)n，使得Sn 2 013，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論.,【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，則a1

18、0，q0. 由題意得 即 解得 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3(-2)n-1.,(2)由(1)有Sn= 若存在n，使得Sn2 013， 則1-(-2)n2 013，即(-2)n-2 012. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(-2)n0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(-2)n=-2n-2 012， 即2n2 012，則n11.,綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n=2k+1，kN*，k5.,【方法技巧】 1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：an+1-an=d(常數(shù))an是等差數(shù)列； (q為常數(shù)，q0)an是等比數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式法：2an+1=an+an+2an是等差數(shù)列；an

19、+12=anan+2(an0)an是等比數(shù)列.,2.分組求和 當(dāng)一個(gè)數(shù)列本身既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但此數(shù)列的項(xiàng)可分成二項(xiàng)(或多項(xiàng))，而這兩項(xiàng)(或多項(xiàng))往往是常數(shù)或是等差(比)數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數(shù)列的和.,3.存在探索性問題 (1)基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立.,(2)解題策略：假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1

20、=1，Sn+1=4an+2. (1)設(shè)bn=an+1-2an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列. (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,【解析】(1)因?yàn)镾n+1=4an+2，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn=4an-1+2， 所以Sn+1-Sn=(4an+2)-(4an-1+2)， 所以an+1=4an-4an-1， 所以an+1-2an=2(an-2an-1)， 因?yàn)閎n=an+1-2an，所以bn=2bn-1(n2)， 故bn是首項(xiàng)b1=3，公比為2的等比數(shù)列.,(2)由(1)知bn=an+1-2an=32n-1，所以 故 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列. 所以 得an=(3n-1)2n-2.,2.(2015銀川高一

21、檢測(cè))設(shè)數(shù)列an滿足a1=2，an+1-an=34n(nN*). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (2)令bn=n+an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,【解析】(1)由題意，得 a2-a1=34， a3-a2=342， a4-a3=343， an-an-1=34n-1(n2)，,以上n-1個(gè)式子相加，得 an-a1=3(4+42+43+4n-1) 所以an=a1+4n-4=4n-2. a1=2滿足上式，所以an=4n-2.,(2)bn=n+an=n+(4n-2)， Sn=1+(4-2)+2+(42-2)+3+(43-2)+n+(4n-2) =(1+2+n)+(4+42+43+4n)-2n,3.已知

22、數(shù)列an滿足：a1=1，a2=a(a0).數(shù)列bn滿足bn=anan+1(nN*). (1)若an是等差數(shù)列，且b3=12，求a的值及an的通項(xiàng)公式. (2)若an是等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和Sn. (3)當(dāng)bn是公比為a-1的等比數(shù)列時(shí)，an能否為等比數(shù)列？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由.,【解析】(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，a1=1，a2=a， 所以an=1+(n-1)(a-1). 又因?yàn)閎3=12， 所以a3a4=12，即(2a-1)(3a-2)=12. 解得a=2或a=- .因?yàn)閍0，所以a=2，an=n.,(2)因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，a1=1，a2=a(a0)， 所以an=an-1，bn=anan+1=a2n-1. 因?yàn)?=a2，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為a，公比為a2的等 比數(shù)列. 當(dāng)a=1時(shí)，Sn=n；當(dāng)a1時(shí)，Sn=,(3)數(shù)列an不能為等比數(shù)列.理由如下： 因?yàn)閎n=anan+1， 所以 則 =a-1.所以a3=a-1. 假設(shè)數(shù)列an能為等比數(shù)列.,由a1=1，a2=a，得a3=a2. 所以a2=a-1，因?yàn)榇朔匠虩o解， 所以數(shù)列an不能為等比數(shù)列.,規(guī)