積分變換 傅里葉變換.ppt

1、1,積分變換,教材：工程數(shù)學(xué)積分變換 東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,參考書： 一本積分變換學(xué)習(xí)指導(dǎo)書,2,前言,積分變換是通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換，與復(fù)變函數(shù)有著密切的聯(lián)系。 它的理論與方法不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中有應(yīng)用，而且在其他自然科學(xué)和各種工程技術(shù)領(lǐng)域中均有著廣泛的應(yīng)用，它已成為不可或缺的運(yùn)算工具。 “積分變換”的中心思想是把復(fù)雜的、耗時費(fèi)力的計算簡化為簡單的、節(jié)省時間的計算 為了理解“數(shù)學(xué)”是如何完成這項任務(wù)的，讓我們從大家熟悉的對數(shù)起源說起 十七世紀(jì)，航海和天文學(xué)積累了大批觀測數(shù)據(jù)，需要對它們進(jìn)行大量的乘法和除法運(yùn)算,3,這在當(dāng)時，是一件非常繁重的工作為了克服這個困難，1614年

2、納皮爾(Napier)發(fā)明了對數(shù)隨后，人們造出以10為底和以e為底的對數(shù)表 令 Dx：x為正實數(shù), Rx: x為實數(shù) ; 指數(shù)函數(shù)yex是定義在R上取值于D的單值函數(shù) 對數(shù)函數(shù)y=lnx是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，它是定義在D上取值于R的單值函數(shù) 它們建立了D和R之間的一個一一對應(yīng)：,4,映射變換法,5,積分變換：通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)的變換。 這里是討論含有參變量的積分,6,它實質(zhì)上就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f (t)通過上述積分的運(yùn)算變成另一函數(shù)類 F ()。 K(t, )是一個確定的二元函數(shù)，稱為積分變換的核； F() 象函數(shù) f (t) 象原函數(shù) 在一定的條件下，F(xiàn)()與 f (

3、t)是一一對應(yīng)的。,7,第一章 傅里葉變換,1.1 傅里葉積分 1.2 傅里葉變換 1.3 傅里葉變換的性質(zhì) 1.4 卷積與相關(guān)函數(shù),8,1.1 傅里葉積分,本節(jié)從周期函數(shù)在區(qū)間(-T/2，T/2)上的Fourier級數(shù)展開式出發(fā)，討論當(dāng)T+時它的極限形式，得出非周期函數(shù)的Fourier積分公式。 主要內(nèi)容: 1.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式 2.傅里葉積分定理 3.傅里葉積分公式的其它形式,9,1.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式,傅里葉級數(shù)收斂定理： 設(shè)fT(t)是以T為周期的函數(shù)，如果 在-T/2，T/2上滿足（Dirichlet條件）： （1）連續(xù)或只有有限多個第一類間斷點， （2）只有有限多個極值點。

4、則在-T/2，T/2上就可以展開成傅氏級數(shù)：,10,11,為了應(yīng)用上的方便，下面將Fourier級數(shù)的三角形式利用Euler公式轉(zhuǎn)換為復(fù)指數(shù)形式。,12,此時，(1.1)可寫為,13,14,15,16,cn,17,18,首先作周期函數(shù)fT(t),使其在 -T/2 ，T/2 之內(nèi)等于f(t)，而在 -T/2，T/2 之外按周期延拓到整個數(shù)軸上去。則,19,20,21,22,傅立葉積分公式,23,傅里葉積分定理,24,25,26,特別地，當(dāng) f(t) 為奇函數(shù)時,當(dāng) f(t) 為偶函數(shù)時,它們分別稱為Fourier正弦積分公式和Fourier余弦積分公式。,27,28,小 結(jié),29,傅里葉 (17

5、68 1830),法國數(shù)學(xué)家.,他的著作熱的解析,理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級數(shù)和,三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅,里葉級數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的,文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題,傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.,30,1.2 傅里葉變換,1. 傅里葉變換的概念 2. 單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換 3. 非周期函數(shù)的頻譜,31,1. 傅里葉變換的概念,當(dāng)函數(shù)f(t)滿足傅里葉積分定理中的條件時，則在f(t)的連續(xù)點處有,32,上面兩式可以看出，f(t)和F()通過指定的積分運(yùn)算可以相互

6、表示。,(1.9)式叫做f(t)的傅里葉變換式，可記為,F()叫做 f(t) 的象函數(shù)。 (1.10）式叫做F( )的傅里葉逆變換式，可記為,f(t)叫做 F()的象原函數(shù)。 我們稱f(t)和F()構(gòu)成了一個傅里葉變換對。,f(t),-1F(),33,與傅氏級數(shù)一樣，傅氏變換也有明顯的物理 含義。 它說明非周期函數(shù)與周期函數(shù)一樣，也是由許多不同頻率的正、余弦分量合成，所不同的是，非周期函數(shù)包含了從零到無窮大的所有頻率分量。 而F()是f(t)中個頻率分量的分布密度，因此稱 F()為頻譜密度函數(shù)（簡稱為頻譜或連續(xù)頻譜），稱|F()|為振幅頻譜。,34,當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，則,稱做f(t)的Fo

7、urier正弦變換式(簡稱為正弦變換)，即,而,叫做F()的Fourier正弦逆變換式(簡稱為正弦逆變換)，即,35,當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時，則,稱做f(t)的Fourier余弦變換式(簡稱為余弦變換)，即,而,叫做F()的Fourier余弦逆變換式(簡稱為余弦逆變換)，即,36,f(t),37,38,關(guān)于是 奇函數(shù),關(guān)于是 偶函數(shù),39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,2.單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理學(xué)和工程中常常產(chǎn)生“脈沖”現(xiàn)象。如運(yùn)動中的物體間的碰撞在力學(xué)中稱為沖擊脈沖，如：矩形脈沖,尤其當(dāng) a 很小，E 較大的情況。 類似的物理現(xiàn)象有：點電荷、點質(zhì)量

8、、線光源等等，此時的點電場強(qiáng)度、點密度可以理想地認(rèn)為是“無窮大”，但事實上并不存在！ 這些物理量都不能用通常的函數(shù)形式去描述。,51,1）單位脈沖函數(shù)概念,52,53,無窮次可微,54,二、單位脈沖函數(shù) (t)的性質(zhì),55,56,57,證：,58,59,三、 (t) 函數(shù)的傅氏變換,60,61,注： 這里 (t)的傅氏變換仍采用傅氏變換的古典定義，但此時的廣義積分是根據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)直接給出的，而不是普通意義下的積分值。故稱 (t)的傅氏變換是一種廣義的傅氏變換。 利用這一概念，我們可以求一些常用的函數(shù)的傅氏變換。如常數(shù)、單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等的傅氏變換。,62,63,64,65,得證.,66,67,1.3 傅里葉變換的性質(zhì),68,2. 位移性質(zhì),或,69,證明：由定義有,70,71,解：,72,3.微分性質(zhì),如果f(t)滿足： （1）在(- ，+ )上連續(xù)或只有有限個可去間斷點， （2）當(dāng)|t| , f(t) 0, 則,73,推論： 如果f (k)(t)在(- ，+ )上連續(xù)或只 有有限個可去間斷點， 當(dāng)|t| , f (k)(t) 0 , k=0，1，2，n。 則,74,同樣可得到像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,75,76,4.積分性質(zhì),77,78,位移性質(zhì),像位移性質(zhì),79,80,81,82,奇函數(shù),83,小 結(jié),1.位移性質(zhì),84