2010高考數(shù)學(xué)文科試題及答案全國(guó)卷

1、2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷） 文科數(shù)學(xué)(必修+選修) 本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁(yè)。第卷 3 至 4 頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第第 I I 卷卷 注意事項(xiàng)： 1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn) 考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)， 用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。 3第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分

2、。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的。 參考公式：參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式A、B ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑A、B 球的體積公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 p 3 3 4 VR 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一、選擇題一、選擇題 (1)cos300 (A) (B)- (C) (D) 3 2 1 2 1 2 3 2 1.

3、C【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí) 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 (2)設(shè)全集，集合，則1,2,3,4,5U 1,4M 1,3,5N U NM A. B. C. D. 1,3 1,5 3,54,5 2.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識(shí) 【解析】，則=2,3,5 UM 1,3,5N U NM1,3,52,3,5 3,5 (3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、

4、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫(huà)出可行域（如右圖） ，由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn) 11 2 22 zxyyxz A(1,-1)時(shí)，z 最大，且最大值為. max 1 2 ( 1)3z （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則= n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 2 4.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等 知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知， 3 1231322 ()5a a aa aaaA 10,所以, 3 7897988 ()

5、a a aa aaaA 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5)的展開(kāi)式的系數(shù)是 43 (1) (1)xx 2 x (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開(kāi)式的通項(xiàng) 公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的 一些基本運(yùn)算能力. 【解析】 13 43234 22 (1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0: 20lxy L0 2 2

6、A 的系數(shù)是 -12+6=-6 2 x (6)直三棱柱中，若，則異面直線 111 ABCA BC90BAC 1 ABACAA 與所成的角等于 1 BA 1 AC (A)30 (B)45(C)60 (D)90 6.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異 111 ABCA BC 面直線所成的角的求法. 【解析】延長(zhǎng) CA 到 D，使得，則為平行四邊形，就是異面直ADAC 11 ADAC 1 DAB 線 與所成的角，又三角形為等邊三角形， 1 BA 1 AC 1 ADB 0 1 60DAB (7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是( ) | lg|f xxab( )( )f a

7、f bab (A) (B)(C) (D) (1,)1,)(2,)2,) 7.C【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做 本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+b=,從而錯(cuò)選 D,這也 1 2a a 是命題者的用苦良心之處. 【解析 1】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b= 1 b a 1 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范圍是(2,+). 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求 01 1 1 a b ab

8、 01 1 1 x y xy 的取值范圍問(wèn)題，過(guò)點(diǎn)zxyzxyyxz 2 11 1yy xx 時(shí) z 最小為 2,(C) 1,1(2,) （8）已知、為雙曲線 C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，=， 1 F 2 F 22 1xy 1 FP 2 F 0 60 則 12 | |PFPF A A B C D A1 B1 C1 D1 O (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想， 通過(guò)本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cosP= 1 F 2 F 222 1212 12

9、| 2| PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 4 12 | |PFPF A 【解析 2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 4 12 | |PFPF A （9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為ABCD 1111 ABC D 1 BB 1 ACD （A） （B） （C） （D） 2 3 3 3 2 3 6 3 9.D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)

10、、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離 的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思 1 D 想的具體體現(xiàn). 【解析 1】因?yàn)?BB1/DD1,所以B與平面 AC所成角和DD1與 1 B 1 D 平面 AC所成角相等,設(shè) DO平面AC，由等體積法得 1 D 1 D ,即.設(shè) DD1=a, 11 D ACDDACD VV 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 則, 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A . 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以,記 DD1與平面 AC所成角為,則 1 3 1

11、 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D ,所以. 1 3 sin 3 DO DD 6 cos 3 【解析 2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC 1, OO 1 O O 1 D 1 B 所成角， 1 D 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD （10）設(shè)則 1 2 3 log 2,ln2,5abc （A）（B） (C) (D) abcbcacabcba 10.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí) 數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用. 【解析 1】 a=2=, b=In2=

12、,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,綜上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； 3 log 3 2 1 log 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2logloge c=，cab 1 2 111 5 254 （11）已知圓的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為兩切點(diǎn)，那么的OPA PB 最小值為 (A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命題意圖】本小題主要考查

13、向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的 求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力. 【解析 1】如圖所示：設(shè) PA=PB=,APO=,則x(0)x APB=，PO=，2 2 1x 2 1 sin 1x =| |cos2PA PBPAPB 22 (1 2sin)x =，令，則， 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x PA PBy 42 2 1 xx y x 即，由是實(shí)數(shù)，所以 42 (1)0 xy xy 2 x ，解得或. 2 (1)4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y P A B O 故.此時(shí). min ()32 2P

14、A PB 21x 【解析 2】設(shè)，,0APB 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB 換元：， 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 2 sin,01 2 xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 【解析 3】建系：園的方程為，設(shè)， 22 1xy 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半徑為 2

15、 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的 最大值為 (A) (B) (C) (D) 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過(guò) 球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力. 【解析】過(guò) CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為,則有h ,當(dāng)直徑通過(guò) AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí),故 ABCD 112 22 323 Vhh 四面體 22 max 2 212 3h . max 4 3 3 V 第第卷卷 注意事項(xiàng)： 1答題

16、前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 2第卷共 2 頁(yè)，請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。 3.第卷共 10 小題，共 90 分。 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無(wú)效) (13)不等式的解集是 . 2 2 0 32 x xx 13. 【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法21,2xxx

17、或 【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根 2 2 0 32 x xx 2 02210 21 x xxx xx 得：21,2xxx 或 (14)已知為第二象限的角，,則 . 3 sin 5 a tan2 14.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角 24 7 的正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能. 【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?又, 所以，, 3 sin 5 4 cos 5 sin3 tan cos4 所 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 (15)某學(xué)校開(kāi)設(shè) A 類(lèi)選修課 3 門(mén)，B 類(lèi)選修課 4 門(mén)，一位同學(xué)從中共選 3 門(mén)，若要求兩類(lèi) 課程中各至

18、少選一門(mén)，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答) 15. A【命題意圖】本小題主要考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類(lèi)討論 的數(shù)學(xué)思想. 【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)A 類(lèi)選修課選 1 門(mén),B 類(lèi)選修課選 2 門(mén),有 種不同的選法;(2)A 類(lèi)選修課選 2 門(mén),B 類(lèi)選修課選 1 門(mén),有種不 12 34 C C 21 34 C C 同的選法.所以不同的選法共有+種. 12 34 C C 21 34 18 1230C C 【解析 2】: 333 734 30CCC (16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)， FCBBFCD 且，則的離心率為 .BF2FD u

19、u ruur C 16. 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)， 3 3 考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何 的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋 求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑. 【解析 1】如圖，, 22 |BFbca 作軸于點(diǎn) D1,則由，得 1 DDyBF2FD uu ruur ,所以, 1 |2 |3 OFBF DDBD 1 33 | 22 DDOFc 即,由橢圓的第二定義得 3 2 D c x 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由,得| 2|BFFD 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一

20、標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn) 分 BD 所成的比為 22 22 1 xy ab 22 ,D xy 2，代入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ， 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 （17） （本小題滿分 10 分）(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求. n an n S 3 12S 123 2 ,1a a a n S (18)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，

21、求內(nèi)ABCVABabcotcotabaAbB 角C (19)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效注意：在試題卷上作答無(wú)效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)審若能通過(guò)兩位初審專(zhuān)家的評(píng)審， 則予以錄用；若兩位初審專(zhuān)家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專(zhuān)家的評(píng) 審，則再由第三位專(zhuān)家進(jìn)行復(fù)審，若能通過(guò)復(fù)審專(zhuān)家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄 xO y B F 1 D D 用設(shè)稿件能通過(guò)各初審專(zhuān)家評(píng)審的概率均為 0.5，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為 0.3 各專(zhuān)家獨(dú)立評(píng)審 (I)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (II)求投到該雜志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被

22、錄用的概率 （20） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 如圖，四棱錐 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 為棱 SB 上的一點(diǎn)，平面 EDC平面 SBC . （）證明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . （21）(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 已知函數(shù) 42 ( )32(31)4f xaxaxx （I）當(dāng)時(shí)，求的極值; 1 6 a ( )f x （II）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍( )f x1,1a (22)(本小

23、題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 已知拋物線的焦點(diǎn)為 F，過(guò)點(diǎn)的直線 與相交于、兩點(diǎn)， 2 :4C yx( 1,0)K lCAB 點(diǎn) A 關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 D .x （）證明：點(diǎn)在直線上；FBD （）設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 . 8 9 FA FB ABDKM 三，解答題：接答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 (17) 解： （1）由am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=9 得 a1+2d=5 a1+9d=-9 解得a1=9 d=-2 數(shù)列am的通項(xiàng)公式為 an=11-2n。 因?yàn)?Sm=(n-5)2+25. 所以 n=5 時(shí), Sm 取得最大

24、值。 （18）解： （1）因?yàn)?PH 是四棱錐 P-ABCD 的高。 所以 ACPH 又 ACBD,PH,BD 都在平面 PHD 內(nèi),且 PHBD=H. 所以 AC平面 PBD 故平面 PAC 平面 PBD (2)由（1）知 Sm=na1+d=10n-n2 n(n - 1) 2 (2)因?yàn)?ABCD 為等腰梯形，AB CD,ACBD,AB=.A6 所以 HA=HB=. 因?yàn)锳PB=ADR=600 3 所以 PA=PB=,HD=HC=1.6 可得 PH=.3 等腰梯形 ABCD 的面積為 S=AC x BD = 2+. .9 分 1 2 3 所以四棱錐的體積為 V=x（2+）x= .12 分 1

25、 3 33 32 3 3 （19）解：（1）調(diào)查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供幫助,因此該地 區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為. 4 分 70 14% 500 (2) 2 2 500 (40 27030 160) 9.967 200 300 70 430 k 由于所以有 99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與9.9676.635 性別有關(guān). 8 分 （3）由于（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并 且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯 差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女

26、兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單反隨即抽樣方法更好. 12 分 （20）解：（1）由橢圓定義知 22 F+F A A 又2 AB = AFFAB 得 L 的方程式為 y=x+c,其中 c= (2) 1 - b2 設(shè) A,(x1,y1),B(x1,y1)則 A,B 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 y=x+c x2+=1 y2 b2 化簡(jiǎn)得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0 則 x1+x2=.x1x2= - 2c 1 + b2 1 - 2b2 1 + b2 （2） 即 . 21 4 2 3 xx 則解得 . 224 2 1212 2 222 84(1)4(1 2)8 ()4 9(1)11 bbb xxx x bbb 2 2 b （21）解： （）時(shí)，。 1 2 a 2 1 (