.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)和典型例題講解

1、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、知識要點(diǎn)： 1、一次函數(shù)：形如y=kx+b (k0, k, b為常數(shù))的函數(shù)。 注意：（1）k0,否則自變量x的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1； （2）當(dāng)b=0時，y=kx，y叫x的正比例函數(shù)。 2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線， （1）兩個常有的特殊點(diǎn)：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（-，0） （2）由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。 3、性質(zhì)： (1)圖象的位置: (2)增減性 k0時，y隨x增大而增大 k0時，y隨x增大而減小 4求一次函數(shù)解析式的方法 求函數(shù)解析式的方法主要有三種 (1)由

2、已知函數(shù)推導(dǎo)或推證 (2)由實(shí)際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。 (3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。 “待定系數(shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況： 利用一次函數(shù)的定義 構(gòu)造方程組。 利用一次函數(shù)y=kx+b中常數(shù)項(xiàng)b恰為函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b來定點(diǎn)；直線y=kx+b平行于y=kx，即由k來定方向 。利用函數(shù)圖象

3、上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。 利用題目已知條件直接構(gòu)造方程 。二、例題舉例： 例1已知y=，其中=(k0的常數(shù))，與成正比例，求證y與x也成正比例。證明：與成正比例， 設(shè)=a(a0的常數(shù)), y=, =(k0的常數(shù)), y=a=akx， 其中ak0的常數(shù)， y與x也成正比例。 例2已知一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫出兩個函數(shù)的解析式，并指出兩個函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位置及增減性。 解：依題意，得 解得 n=-1， =-3x-1, =(3-)x, 是正比例函數(shù)； =-3x-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，隨x的增大而減??；

4、 =(3-)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨x的增大而增大。 說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)就是圖象與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)”來構(gòu)造方程。 例3直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點(diǎn)在y軸上，求此直線解析式。 分析：直線y=kx+b的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點(diǎn)，若兩直線平行，則解析式的一次項(xiàng)系數(shù)k相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行。 解：y=kx+b與y=5-4x平行， k=-4, y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交于y軸， b=18

5、， y=-4x+18。 說明：一次函數(shù)y=kx+b圖象的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定點(diǎn)，即函數(shù)圖象平行于直線y=kx，經(jīng)過(0, b)點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與y軸交點(diǎn)定b。 例4直線與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)B，若點(diǎn)B到x軸的距離為2，求直線的解析式。 解：點(diǎn)B到x軸的距離為2， 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）， 設(shè)直線的解析式為y=kx2, 直線過點(diǎn)A（-4，0）， 0=-4k2, 解得：k=, 直線AB的解析式為y=x+2或y=-x-2. 說明：此例看起來很簡單，但實(shí)際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。 （1）圖象是直線的函

6、數(shù)是一次函數(shù)； （2）直線與y軸交于B點(diǎn)，則點(diǎn)B（0，）； （3）點(diǎn)B到x軸距離為2，則|=2； （4）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)等于直線解析式的常數(shù)項(xiàng)，即b=； （5）已知直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可設(shè)y=kx+， 下面只需待定k即可。 例5已知一次函數(shù)的圖象，交x軸于A（-6，0），交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，且點(diǎn)B在第三象限，它的橫坐標(biāo)為-2，AOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。 分析：自畫草圖如下： 解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx， 一次函數(shù)y=ax+b， 點(diǎn)B在第三象限，橫坐標(biāo)為-2， 設(shè)B（-2，），其中0， =6， AO|=6， =-2， 把點(diǎn)B（-2，-2）代入正比例函數(shù)y=kx

7、，得k=1 把點(diǎn)A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b， 得 解得： y=x, y=-x-3即所求。 說明：（1）此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示； （2）此例需要把條件（面積）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B的坐標(biāo)。這個轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式AOBD=6（過點(diǎn)B作BDAO于D）計(jì)算出線段長BD=2，再利用|=BD及點(diǎn)B在第三象限計(jì)算出=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn)B的位置有幾種可能，結(jié)果會有什么變化？（答：有兩種可能，點(diǎn)B可能在第二象限（-2，2），結(jié)果增加一組y=-x, y=(x+3). 例6已知正比例函數(shù)y=kx (

8、k0)圖象上的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于13，過這點(diǎn)向x軸作垂線，這點(diǎn)到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30，求這個正比例函數(shù)的解析式。 分析：畫草圖如下：則OA=13，=30， 則列方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可。 解法1：設(shè)圖象上一點(diǎn)A（x, y）滿足 解得：； 代入y=kx (k1時， BCD=ABD， BDC=ADB， BCDABD， = =- - - - = 8-22x+5=0 x1=, x2=, 經(jīng)檢驗(yàn)：x1=, x2=,都是方程的根。 x=,不合題意，舍去。x=， D點(diǎn)坐標(biāo)為（, 0）。 設(shè)圖象過B、D兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b， 所求一次函數(shù)為y=-x+（2）若點(diǎn)D在點(diǎn)

9、C左側(cè)則x1， 可證ABCADB， - - - - 8-18x-5=0 x1=-, x2=, 經(jīng)檢驗(yàn)x1=-, x2=,都是方程的根。 x2=不合題意舍去，x1=-, D點(diǎn)坐標(biāo)為（-, 0）， 圖象過B、D（-, 0）兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-x+或y=4x+. 例8已知：如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（4，0）作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D、E的坐標(biāo)。 解：直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-3）， OA=6，OB=3， OAOB，CDAB， ODC=OAB， cotODC=cotOAB,即 OD=8. 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（