科學(xué)計(jì)算方法17(數(shù)值積分1)

1、凡線面體皆設(shè)為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。其全積即積分也,積分計(jì)算,1. 原函數(shù)復(fù)雜 syms x, int(sin(x), int(exp(-x2), int(exp(sin(x),2. 給定離散的觀察數(shù)據(jù)(或函數(shù)值),數(shù)值積分研究包括如下方面:,數(shù)值積分公式的構(gòu)造,數(shù)值積分公式的誤差,引例.,左矩形積分公式:,右矩形積分公式:,引例.,中矩形積分公式:,梯形積分公式:,clear all syms x a=0.1; b=2; int_true=int(x(0.5),x,0.1,2)%精確解用int計(jì)算。 f=inline(x.(0.5); int_left=0.5*(f(b)+f(

2、a)*(b-a);%梯形公式，試試矩陣公式呢？,%更加直觀展示結(jié)果的可視化 f=inline(x.(0.5);%高階版本建議匿名函數(shù) a=0.1; b=2; n=10000; x=linspace(a,b,n); y=f(x); figure, plot(x,y) hold on, fill(a,b,b,a,a,0,0,f(b),f(a),0,r),例1. 計(jì)算,回顧：積分中值定理,例2. 基于二次插值方法推導(dǎo)數(shù)值積分公式。,記h=(b-a)/2, xj = a + jh ( j = 0, 1, 2 ),Simpson積分公式,其余項(xiàng)為,例2. 計(jì)算,基于等距節(jié)點(diǎn)xj (j=0,1, , n)

3、構(gòu)造的插值型求積公式稱為 n階牛頓-柯特斯積分公式,令,Lagrange插值,由于高階Newton-Cotes公式來(lái)源于高次插值多項(xiàng)式,而高次多項(xiàng)插值多項(xiàng)式將產(chǎn)生Runge現(xiàn)象,因?yàn)闀?huì)影響數(shù)值積分的精度。因此實(shí)際中不使用高階的Newton-Cotes公式。,多項(xiàng)式插值,Newton-Cotes家族,簡(jiǎn)單多項(xiàng)式近似復(fù)雜函數(shù),Integrals as Sums and Derivatives as Difference,n等分將積分區(qū)間a,b, 步長(zhǎng)h=(b-a)/n, 選取等距節(jié)點(diǎn)xj =a+jh構(gòu)造的求積公式稱為 n階牛頓-柯特斯積分公式,Integrals as Sums and Deriv

4、atives as Difference,機(jī)械求積: 在區(qū)間上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)xj, 然后用f(xj)加權(quán)平均構(gòu)造出如下積分公式,其中xj稱為插值節(jié)點(diǎn), Aj稱為積分系數(shù)。這類數(shù)值積分方法通常稱為機(jī)械積分, 其特點(diǎn)是將積分問(wèn)題化歸為函數(shù)值的計(jì)算。設(shè)計(jì)積分公式, 需要提供積分節(jié)點(diǎn)及其相應(yīng)的積分系數(shù)(加權(quán)系數(shù))。,對(duì)多項(xiàng)式P(x)= 1,x, , xn積分公式都精確成立,對(duì)多項(xiàng)式P(x)= 1,x, , xn積分公式都精確成立則對(duì)任意n次多項(xiàng)式成立。,定義: 對(duì)多項(xiàng)式P(x)= 1,x, , xn積分公式都精確成立,則稱該數(shù)值積分公式具有n階的代數(shù)精確度。,機(jī)械積分方法是近似方法,為了保證精度自然

5、希望它能對(duì)盡可能多的簡(jiǎn)單函數(shù)是準(zhǔn)確的。,例3 研究梯形積分公式的代數(shù)精確度。,梯形積分公式代數(shù)精度為1,例4 研究Simpson積分公式的代數(shù)精確度。,Simpson積分公式代數(shù)精度為3,容易驗(yàn)證對(duì)f(x)=1,x, , xn嚴(yán)格成立,定理. n階Newton-Cotes積分公式代數(shù)精度至少為n階。,定理: 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), n階Newton-Cotes積分公式至少有(n+1)階代數(shù)精確度。,證明：,由于對(duì)f(x)=1,x, , xn積分余項(xiàng)為零, 積分公式嚴(yán)格成立。下面證明對(duì)f(x)= xn+1積分余項(xiàng)為零。,下面利用Simpson積分公式具有3次代數(shù)精度, 研究其積分公式的誤差余項(xiàng)?,設(shè)計(jì)n

6、階代數(shù)精度的積分公式只需驗(yàn)證f(x)=1,x, , xn,機(jī)械積分公式:,解: 令原式對(duì)于 f(x)= 1, x準(zhǔn)確成立, 則滿足,積分公式為,例5 試設(shè)計(jì)積分公式,令f(x)=x2則,故設(shè)計(jì)的積分公式僅有一階代數(shù)精度。,解: 令原式對(duì)于 f(x)= 1, x, x2準(zhǔn)確成立, 則滿足,積分公式為,例6 試設(shè)計(jì)積分公式,對(duì)f(x)=x3公式成立而對(duì)f(x)=x4公式不成立。,故設(shè)計(jì)的積分公式僅有三階代數(shù)精度。,例7 試設(shè)計(jì)積分公式,解: 令原式對(duì)于 f(x)= 1, x, x2準(zhǔn)確成立, 則滿足,設(shè)計(jì)n階代數(shù)精度的積分公式只需驗(yàn)證1,x, , xn,機(jī)械積分公式:,積分公式對(duì)1,x, , xn

7、成立可以建立n+1個(gè)方程, 則可以確定n+1個(gè)待定系數(shù)。,如果積分節(jié)點(diǎn)可以自由選擇,積分公式對(duì)1,x, , x2n+1成立可以建立2n+2個(gè)方程, 則可以確定2n+2個(gè)待定系數(shù)。,定義 如果積分節(jié)點(diǎn)x0, x1,xn,使插值型積分公式 的代數(shù)精度為2n+1,則稱該積分公式為Gauss型積分公式, 這些積分節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)。,例8. 構(gòu)造代數(shù)精度為3的數(shù)值積分公式,解: 取 f(x)=1, x, x2, x3,(1) (2) (3) (4),(4)-(2)x02,x12= x02,(3)-(1) x02,x02=1/3,由兩點(diǎn)高斯型積分公式的構(gòu)造過(guò)程不難想象, 討論一般高斯型求積公式構(gòu)造是不

8、可能直接求解類似的非線性方程組。,定義6.3 設(shè) f(x), g(x)Ca, b, , 則稱,為f(x)和g(x)在a, b上的內(nèi)積。,內(nèi)積:,當(dāng)(f,g)=0,則稱f(x)和g(x)在a, b上正交。,例9. 求在 1, 1上正交的零次多項(xiàng)式0(x), 一次多項(xiàng)式1(x)和二次多項(xiàng)式2(x)。,解:,設(shè) 2(x) = x2 + a21x + a22,所以,在 1, 1上正交的多項(xiàng)式 P0(x)=1, P1(x)=x和P2(x)=x2 1/3屬于勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式,Ref： T. Saucer, Numerical Analysis,定理 如果p0,p1,pn是a,b上的一組勒讓

9、德多項(xiàng)式, 那么p0,p1,pn是a,b上次數(shù)最高為n的多項(xiàng)式的向量空間的一組基。n+1次勒讓德多項(xiàng)式與任意的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式正交。,定理 如果多項(xiàng)式wn+1(x)=(x x0) (x x1)(x xn) 與任意的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式P(x) 正交,即,則 wn+1(x)的所有零點(diǎn)x0, x1 , xn 是Gauss點(diǎn)。,證明:,積分節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)只需要證明相應(yīng)插值型積分公式代數(shù)精度2n+1, 即對(duì)任意(2n+1)次多項(xiàng)式f (x)積分公式嚴(yán)格成立。,回顧,其中 P(x)和Q(x) 次數(shù)小于等于n次多項(xiàng)式。,任意(2n+1)次多項(xiàng)式f (x),給定積分節(jié)點(diǎn)x0, x1,xn, 機(jī)械積分公式,兩端積分得,由于wn+1(x)與任意的不超過(guò)n次的多項(xiàng)式P(x) 正交,的代數(shù)精度為n。,由于 Q(xk)= wk+1(xk)P(xk) + Q(xk) = f (xk),所以,積分公式對(duì)于次數(shù)小于等于n次多項(xiàng)式Q(x)精確成立,積分公式對(duì)于次數(shù)小于等于2n+1次多項(xiàng)式f(x)精確成立, 故高斯型積分公式代數(shù)精度2n+1。,兩點(diǎn)Gauss公式,積分公式:,P2(x)=x2 1/3的零點(diǎn)即Gauss點(diǎn),P3(x)=(5x3 3x)/3的零