人教版講義九年級第二十五章概率初步25.3用頻率估算概率

合作探究探究點用頻率估計概率知識講解在相同條件下，大量重復試驗時，根據一個隨機事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數，可以估計這個事件發(fā)生的概率.注意（1)用頻率估計概率時，試驗一定要在相同的條件下進行,試驗次數越多，得到的頻率就越準確，規(guī)律就越明顯，此時可以用頻率穩(wěn)定值估計事件發(fā)生的概率.(2)當試驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率. (3)用頻率估計得到的概率是個近似值，是大量重復試驗基礎上的頻率的集中趨勢值.典例剖析例 從一副沒有大小王的52張撲克牌中毎次抽出1張，然后放回洗勻再抽，在抽牌試驗中得到下表中部分數據：試驗次數 50100150200250300350400出現紅桃的頻數1330355160769098出現紅桃的頻率26.0%30.0%2A.0%25.3%24.5%24.5%(1)請將數據表補充完整(所得結果保留三個有效數宇；(2)隨著試驗次數的增多，出現紅桃的頻率逐漸穩(wěn)定為多少(精確到1%)?（3）你能估計從52張牌中任意抽出1張師紅桃的概率師多少嗎？解析用頻率枯計概率時，般是觀察所計算的各頻率教值的變化趨勢，即觀察各數值主要集中在哪個常數的附近，這個常數就是所求概率的估計值.答案（1)從左到右，依次填入23. 3%,25.5%,25.7%.(2)隨著試驗次數的增多，出現紅桃的頻宇逐漸穩(wěn)定為 25%.(3)根據題意,可知從52張牌中任意抽出1張是紅桃的概棗為 0.25.類題突破 某出版社對其發(fā)行的雜志的寫作風格進行了 5次“讀者問卷調查結果如下：被調査人數/n100015002 00025003000滿意人數/m99614961 99624962998滿意頻率/mn(1)計算表中的各個頻率；(2)讀各對該雜志滿意的概率約是多少？（結果保留小數點一位）答案 （1)0.996 0. ,997 0.998 0.998 0.999(2)由第（1)題的結果知出版社5次“讀者問卷調査”中，收到的反饋信息是:讀者對該雜志滿意的概率約是0.9點撥（1)直接根據頻車的計算公式進行計算；（2）根據頻率與概率的關系回答。(3)你能估計從52張牌中任意抽出1張是紅桃的概率是多率與概率的關系回答重點難點重難點 用頻率估計概率的應用1.大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定數值左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率,這個固定的近似值就是這個事件發(fā)生的概率.2.用頻率估計概率得到的是近似值，隨著試驗次數的增多，值越來越精確.例 在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20個，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復下表是活動進行中的一組統計數據：摸球的次數n1001502005008001 000摸到白球的 次數m5896116295484601摸到白球的 次數mn0.580.640.580.590. 6050. 601(1)請估計:當m很大時，摸到白球的頻率將會接近.(結果保留小數點后一位)(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是_，摸到黑球的概率是_;(3)試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少個；(4)解決了上面的問題，小明同學猛然頓悟，過去一個懸而未決的問題有辦法了，這個問題是:在一個不透明的口袋里裝有若干個白球，在不允許將球倒出來數的情況下,如何估計白球的個數(可以借助其他工具及用品)？請你應用統計與概率的思想和方法解決這個問題，寫出解決這個問題的主要步驟及估算方法. 解析 通過試驗來估計不確定事件發(fā)生的概率大小，通常是在試驗次數越多，事件發(fā)生的頻率值逐漸穩(wěn)定時，才可以將這個頻率的穩(wěn)定值作為該事件發(fā)生的概率.答案（1)由上表可知，當n500時，頻率值穩(wěn)定在0.6左右，由此可知，當n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.6.(2)摸到白球的概率是0. 6,這時摸到黑球的概率為1 一0.6=0 4.白球個數:200.3=12個，黑球個數:200.4=8(個)或 2012=8(個).（4）方案一：添加：向口袋中添加一定數目的黑球,并充分攪勻；試驗:進行大S次數的摸球試驗(有返回），記錄摸到黑球和白球的次數.分別計算頻率，由頻率估計概率；估算:黑球個數摸到黑球的概率=球的總個數；球的總個數摸到白球的概率=白球個數方案二：標記:從口袋中摸出一定數目的白球做上標記，然后放回口袋并充分攪勻；實驗：進行大量次數的摸球實驗（有返回），記錄摸到有標記球的次數，計算頻率，由頻率估計概率；估算：有標記球的個數摸到有標記球的概率=白球的個數。點撥 問題(4)給出了用頻率估計概率，再利用概率估計數量的方法，這是曰常生活中較常用的方法，如估計水塘中魚的總量等問題，可以解決沒法數，但又需要知道大約數量的實際問題.類題突破 王老漢為了與客戶簽訂購銷合同，對自己池塘中魚的總質量進行估計，第一次撈出100條，將每條魚做上記號放人水中；當它們完全混合于魚群后,又撈出200條,稱得質量為416 kg,且?guī)в杏浱柕聂~為20條，估計王老漢的池塘中有多少條魚，共多少千克？解析 池塘里每一條魚被撈出來的機會是一樣的，做了記球的次數，計算頻率，由頻率估計概率;記號的魚占魚群的比例和撈出的做記號的魚與撈出魚教的比值應當一致，由此可估計池塘中的魚數，從而得出總質董.答案 因為撈出的200條魚中帶有記號的魚為20條，所以，做記號的魚被撈出的頻率為20200= 0.1.而池塘中共有100條做記號的魚，所以池塘中總共約有100+0. 1 = 1 000 條魚.每條魚的平均質量為416 + 200=2. 08 (kg),所以池塘中魚的總質量約為1000X2. 08=2 080 (kg).易錯指導易錯點 誤以為事件發(fā)生的頻率就是概率例 小穎和小紅兩位同學在學“概率”時，做投擲骰子（質地均勻的正方體）的試驗，她們共做了 60次試驗，試驗的結果如下表：朝上的點數123456出現的次數79682010(1)計算出現“3點朝上”的頻率和出現“5點朝上”的概率；(2)小穎說:“根據試驗知，一次試驗中出現“5點朝上，的概率最大.”小紅說:“如果投擲600次，那么出現“6點朝上，的次數正好是100.”小穎、小紅的說法正確嗎？為什么？錯解 出現“3點朝上”的頻率是660=110，出現“5點朝上”的概率是2060=13 (2)都正確.因為出現“5點朝上”的概率是2060=13,最大,所以一次試驗中出現“5點朝上”的概率最大；因為60次試驗中有10次出現“6點朝上”,所以投擲600次出現“6點朝上，的次數正好是600=16600=100次。錯因分析 本題出鍺的根本原因是混淆了頻率和概率，誤以為某次試驗中事件發(fā)生的頻率就是概率.只有當試驗的次數足夠多時，該事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近，另一個錯誤原因是忽視了隨機事件的發(fā)生具有隨機性.正解（1)出現“3點朝上”的頻率是660=110,因為骰子質地均勻，所以出現“5點朝上”的概率是16 (2)小穎的說法是錯誤的，因為出現“5點朝上”的頻率最大并不能說明出現“5點朝上”這一事件發(fā)生的概率最大，只有試驗的次數夠多時，該事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率附近