廣東省江門市普通高中2018年高三數(shù)學調(diào)研測試試題理（含解析）.docx

江門市2018年普通高中高三調(diào)研測試數(shù)學（理科）第卷一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別求得集合A和B，取交集即可得到答案【詳解】依題意，A=x|-3x1， B=x|x0，所以AB=，故選：D【點睛】本題考查集合的交集運算.2.是虛數(shù)單位，是實數(shù)集，若，則（ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】B【解析】【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，結(jié)合已知條件列出方程，求解即可得答案【詳解】= ，即a=,故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念.3.已知；，則是的（ ）A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】試題分析：由已知得條件，條件，顯然充分性不成立，如當，不成立；又由，所以必要性成立.故選B.考點：1.命題的充分條件、必要條件；2.二次不等式.4.是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】對數(shù)函數(shù)y=lnx在上單調(diào)遞增，a=lnxln1=0,指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知即abc,故選：C.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應用.5.若，則向量與的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知條件可得，再由兩個向量夾角的余弦公式，即可求出夾角的余弦，進而得解【詳解】由已知 ，解得，則兩個向量夾角的余弦值，所以兩向量夾角為.故選：C.【點睛】本題考查了平面向量的運算和利用平面向量的數(shù)量積求向量的夾角.6.若拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，則此雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】求出拋物線與雙曲線的焦點坐標即可得到p值，由離心率公式即可得到答案.【詳解】拋物線的焦點為,雙曲線的右焦點為,由題意得，解得，即c=,a=,故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，考查離心率的求法.7.已知點在直線上運動，則有（ ）A. 最大值16 B. 最大值 C. 最小值16 D. 最小值【答案】D【解析】【分析】由點（a，b）在直線上動，可得a+2b=-3，然后利用基本不等式求2a+4b的最值【詳解】因為點（a，b）在直線x+2y=-3上，所以a+2b=-3所以2a+4b2 =2 ,所以2a+4b有最小值.故選:D【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，以及指數(shù)冪的基本運算8.已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：， ， ， ，或 ， 其中，正確命題的個數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用線面平行,垂直和面面平行垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇【詳解】mn，mn或n，故不正確；由一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則也垂直于另一個，得m，由兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面，得故正確；， ，或分析圖形可知正確；當，m時，有m或m或m與相交或m故不正確綜上可知：只有正確故選：B【點睛】本題利用命題真假的判斷，考查了空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系與應用問題.9.正項等比數(shù)列的前項和，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先求出q，求出通項公式，再分別判斷即可【詳解】設公比為q，a1=1，q6+q6=128，解得q=2，an=2n-1，an+1=2n，an+2=2n+1，選項A,Sn=2n-1，若，2n-12n，恒成立，故正確，選項B,an+3=2n+2，若，2n-1+2n+2=2n+2n+1，即1+8=2+4,顯然不成立，故不正確，選項C，若，22n-12n+1，2n-1n+1，解得n2，故不正確，選項D,若，2n-1+2n+1=22n，則1+4=22，顯然不成立，故不正確，故選：A【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的前n項和公式的應用.10.已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖像向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的圖像（ ）A. 關(guān)于直線對稱 B. 關(guān)于直線對稱C. 關(guān)于點對稱 D. 關(guān)于點對稱【答案】C【解析】試題分析：依題意，平移后為，關(guān)于對稱.考點：三角函數(shù)圖象與性質(zhì).11.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長的棱的長度為（ ）A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖得出空間幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，計算各個棱長求解即可【詳解】根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點，觀察圖形可知最長棱為OA,在中，OA= 故選：B【點睛】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，學生的空間思維能力，構(gòu)造思想，關(guān)鍵是鑲嵌在常見的幾何體中解決12.設，函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），若存在使得，則（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】已知函數(shù)表示兩點P（x，ex），Q（m，m）之間的距離的平方分別令f（x）=ex，g（x）=x利用導數(shù)研究切線方程的斜率，再利用點到直線的距離公式即可得出【詳解】函數(shù)，表示兩點P（x，ex），Q（m，m）之間的距離的平方，令f（x）=ex，g（x）=x f（x）=ex，令=1，解得x0=0，可得P（0，1）,則點P（0，1）到直線y=x的距離d=，d2=，因此存在x0=0使得f（x0）成立，過點P且與y=x垂直的直線為y=1-x,聯(lián)立y=1-x和y=x，解得x=,即m=.故選：C【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、切線的斜率、點到直線的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力.第卷二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.直線被曲線所截得的弦長等于_【答案】4【解析】【分析】求出圓心到直線l的距離，再利用弦長公式進行求解即可【詳解】化圓（x-1）2+（y-3）2=9，圓心（1，3），半徑r=3，圓心到直線l：2x+y=0的距離d=，直線2x+y=0被圓（x-1）2+（y-3）2=9截得的弦長=故答案為：4【點睛】本題考查了直線被圓截得的弦長公式，主要用到了點到直線的距離公式14.已知實數(shù)滿足約束條件，若目標函數(shù)僅在點取得最小值，則的取值范圍是_【答案】【解析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖所示， 若，則目標函數(shù)，即為此時函數(shù)在時取得最大值，不滿足條件， 當，由，得， 若，目標函數(shù)斜率，此時平移，得在點 處的截距最大，此時取得最大值，不滿足條件，若，目標函數(shù)斜率，要使得目標函數(shù)僅在點處取得最小值，則，即，所以實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義；求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關(guān)鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義線性規(guī)劃問題有三類:（1）簡單線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標函數(shù)；（2）線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3）線性規(guī)劃的實際應用，本題就是第三類實際應用問題.15.球是正方體的外接球，若正方體的表面積為，球的表面積為，則_【答案】【解析】【分析】分別計算正方體與外接球的表面積計算比值即可.【詳解】設正方體的棱長為a,其外接球的直徑為正方體的體對角線，即半徑，則外接球的表面積 ，正方體的表面積6，則 .故答案為：.【點睛】本題考查正方體的與球的組合體，其中正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線，內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，與正方體各側(cè)棱相切的球的直徑為正方體的面對角線.16.已知函數(shù)，若_【答案】【解析】【分析】根據(jù)積分的幾何意義以及分段函數(shù)的積分公式進行求解即可.【詳解】由已知得.【點睛】本題主要考查了定積分的計算和定積分的幾何意義.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.的內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）法一：利用余弦定理直接化簡即可；法二：已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導公式變形，求出cosA的值，即可確定A；（2）利用余弦定理即可解得c的值.【詳解】（1）由余弦定理，得，.（方法二）由正弦定理，得，所以，.（2）由余弦定理，得即解得：或.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的應用.18.已知數(shù)列的前項和，.（1）求；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法給予證明.【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)由通項和前n項和的遞推關(guān)系式計算即可;(2)由（1）的數(shù)值猜想通項，然后利用數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】（1）分別取得，解得，.（2）猜想時，由（1）知，猜想成立，假設時，則所以因為，所以所以，時成立，綜上所述，任意，.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應用，數(shù)學歸納法的應用.19.如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，可證平面，得B1CAO，B10=CO，進而可得AC=AB1；（2）先根據(jù)已知條件證明平面以為原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，然后利用向量公式即可求得結(jié)果【詳解】（1）連接交于點，連接，四邊形是菱形，且為中點，平面，平面，為中點，為的垂直平分線，.（2）不妨設，則，又，平面（方法一）以為原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，則，設，直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為（方法二）設點到平面的距離為，三棱錐的體積三棱錐的體積解，得直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標系是解決問題的關(guān)鍵.20.在平面直角坐標系中，為不在軸上的動點，直線、的斜率滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若，是軌跡上兩點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，將利用斜率公式進行化簡整理即可得點P軌跡方程；（2）由斜率為1，設直線MN的方程與橢圓聯(lián)立，寫出韋達定理，計算弦長|MN|和點T到直線MN的距離，表示出三角形的面積，利用導數(shù)即可求出面積最大值.【詳解】（1）設為軌跡上任意一點，依題意，整理化簡得：（2）設由，得，設，則，到直線的距離的面積設，解，得或或因為，即有且僅有一個解，面積的最大值.【點睛】本題考查動點軌跡方程的求法，同時考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長關(guān)系、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、以及利用導數(shù)求函數(shù)最值的運用.21.已知函數(shù)，是常數(shù)且.（1）若曲線在處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若（是自然對數(shù)的底數(shù)），試證明：函數(shù)有兩個零點，函數(shù)的兩個零點滿足.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線的斜率求出a的值即可；（2）對函數(shù)f(x)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值且最大值大于0，可知函數(shù)有兩個零點，根據(jù)零點存在性定理可知兩個零點，因為，即，所以問題轉(zhuǎn)化為只要證明x1 -x2即可【詳解】（1）切線的斜率，解，得（2）解，得當時，；當時，所以在處取得最大值，因為，所以，在區(qū)間有零點，因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間有唯一零點.由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較及的單調(diào)性知，在區(qū)間有唯一零點，從而函數(shù)有兩個零點.不妨設，作函數(shù)，則，所以，即，又，所以因為，所以，因為在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，又，所以【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，綜合性較強.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）證明：直線與曲線相交于兩點，并求點到兩點的距離之積.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t即可得到直線l的普通方程，將兩邊同時乘以后代入公式，整理即可得到答案；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的方程，化為關(guān)于t的一元二次方程后利用參數(shù)t的幾何意義可得結(jié)論【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為由，得，曲線的直角坐標方程為（2）方法一：將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，得即，方程有兩個不同的根，即直線與曲線相交于兩點由參數(shù)的幾何意義得（方法二）由解得：，【點睛】本題考查了直