（數(shù)學(xué)專業(yè)論文）高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)研究.pdf

摘要 新一輪數(shù)學(xué)課程改革從理念 內(nèi)容到實(shí)施 都發(fā)生了較大的變化 其中 尤 其值得注意的是 直到1 9 世紀(jì)末2 0 世紀(jì)初才發(fā)展起來的 向量教學(xué) 以其在現(xiàn) 代數(shù)學(xué) 物理學(xué) 工程學(xué) 空間物質(zhì)結(jié)構(gòu)中的廣泛應(yīng)用 而備受人們的關(guān)注 向量知識在許多國家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中 早就成了一個(gè)基本的教學(xué)內(nèi)容 但 是在我國 各方面的研究還都處于一個(gè)起始階段 向量是近代數(shù)學(xué)最基本的概念 之一 它具有代數(shù)形式和幾何形式的 雙重身份 是溝通幾何 代數(shù) 三角等 內(nèi)容的橋梁 向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)是必要的也是可行的 但是教師如何開展向量教學(xué)工作 這是筆者在本文中著重探討的問題 在研究過程中 筆者采用文獻(xiàn)法 對向量相 關(guān)文獻(xiàn)做出綜述 了解關(guān)于向量教學(xué)最前沿的科研成果 利用調(diào)查法掌握了向量 教學(xué)中存在的問題 向量教學(xué)并不是教師想象的那么容易 學(xué)生對向量工具解題 的意識不強(qiáng) 學(xué)習(xí)方法有待改進(jìn) 針對這些問題 筆者充分運(yùn)用現(xiàn)代教育理念進(jìn) 行教學(xué)實(shí)踐 對如何開展向量教學(xué)提出了自己的建議 強(qiáng)化向量概念教學(xué) 夯實(shí) 基礎(chǔ) 挖掘向量幾何背景 加強(qiáng)運(yùn)算教學(xué) 注重向量應(yīng)用教學(xué) 充分發(fā)揮向量的 工具作用 在教學(xué)方法上 要加強(qiáng)向量與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系 并重視滲透數(shù)學(xué)思想方法 培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力 倡導(dǎo)向量的探究性學(xué)習(xí) 在探究性學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生 的創(chuàng)造能力 關(guān)鍵詞 向量向量教學(xué)研究 a b s t r a c t t h en e w r o u n dm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m f r o mt h ei d e a s c o n t e n t sa n d i m p l e m e n t a t i o n s h a s b e e n c h a n g e dg r e a t y a m o n gt h e m t h e v e c t o r m a t h e m a t i c s w h i c hd e v e l o p e da n da p p f i e da tt h et u r no ft h e1 9 山c e n t u r yt ot h e2 0 t h w i t hi t sw i d ea p p f i c a f i o ni nm o d e mm a t h e m a t i c s p h y s i c s e n g i n e e r i n ga n ds p a t i a l m a t t e rs t r u c t u r e h a sb e e nn o t i c e dg r e a t l y i nm a n yc o u n t r i e s v e c t o ra sab a s i cc o u r s ec o n t e n t h a sa l r e a d yb e e ni n c l u d e di n t h em a t h e m a t i c sc o u r s ef o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s h o w e v e r i no u rc o u n t r ya si tj u s t h a sb e e na p p l i e di nt h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m t h es t u d yo fv e c t o ri s s t i l li ni t ss t a r ts t a g e t h ev e c t o ri so n eo ft h em o s tb a s i cc o n c e p t si nm o d e m m a t h e m a t i c s i th a sa d u a ls t a t u s a l g e b r af o r m a n d g e o m e t r yf o r m i ti sa b r i d g et ol i n ku pt h ec o n t e n t so fg e o m e t r y a l g e b r aa n dt r i g o n o m e t r y i ti sn e c e s s a r yt ob r i n gv e c t o ri n t om i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc o u r s e h o w e v e r h o wat e a c h e ra d v a n c e sm sv e c t o rt e a c h i n gu n d e rah e we d u c a t i o ni d e ai sw h a t1w a n t t og of u l t h e ri nt h i sp a p e ra t t e n t i v e l y d u r i n gt h er e s e a r c h t h ew r i t eu s e sd o c u m e n t a l m e t h o d a n dd e s c r i b e st h er e l a t i v ed a t a a n da l s ou s e si n v e s t i g a t i o nm e t h o dt os u r v e y t h eq u e s t i o n sa b o u tt h ev e c t o ri nt h em i d d l es c h o o lt e a c h i n g w h i c hi sn o ta se a s ya s t h et e a c h e r si m a g i n e s t u d e n t sd o n th a v et h eh a b i to fd e a l i n gw i t ht h eq u e s t i o nw i t h v e c t o ra n d t h e yh a v et oi m p r o v et h e i rs t u d ym e t h o d t os o l v et h e s ep r o b l e m s if u l l y u s em o d e me d u c a t i o n a lc o n c e p t si nt e a c h i n gp r a c t i c e ig i v em a n ys u g g e s t i o n so n h o w1 0a d v a n c ev e c t o rt e a c h i n gi nt h i sp a p e nw es h o u l ds t r e n g t h e nv e c t o rc o n c e p t s t h eb a s i ck n o w l e d g ea n do p e r a t i o ni nt e a c h i n g d or e s e a r c ho nt h ev e c t o ro ft h e g e o m e t r yb a c k g r o u n d s p a ya t t e n t i o nt ot h ea p p l y i n ga n db r i n gt h ei n i t i a t i v eo fv e c t o r s k i l l s w i t ht h i st e a c h i n gm e t h o d w es h o u l ds t r e n g t h e nt h er e l a t i o n sb e t w e e nv e c t o r a n di t sa p p l i c a t i o n a t t a c ht h ei m p o r t a n c et oi n f i l t r a t em a t h e m a t i c si d e a sa n dm e t h o d s i n t oi t i m p r o v es t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t y d e c l a r et h er e s e a r c hs t u d yo fv e c t o rt o d e v e l o pt h es t u d e n t s c r e a t i v i t y k e y w o r d v e c t o r v e c t o rt e a c h i n gr e s e a r c h 獨(dú)創(chuàng)性申明 本人申明所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作 及取得的研究成果 盡我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方 外 論文中不包括其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果 也不包括為獲 得西北師范大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料 與我 一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的 說明并表示了謝意 簽名缸整 日期如 t 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本人完全了解西北師范大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 即 學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件 允許論文被查閱和借閱 學(xué)?？梢?公布論文的全部或部分內(nèi)容 可以采用影印 縮印或其他復(fù)制手段保 存論文 保密的論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定 簽名 鑫鎏 導(dǎo)師簽名 趟整日期 皇堡i 出 第一部分問題的提出 作為具有幾何形式和代數(shù)形式 雙重身份 的向量 1 9 9 8 年在江西 山西兩 省和天津市首次作為實(shí)驗(yàn)教材的重要內(nèi)容進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué) 甘肅省也于2 0 0 1 年首次 使用人民教育出版社發(fā)行的新版實(shí)驗(yàn)教材 向量是其中的重要內(nèi)容 在 普通中 學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn) 中 也明確把平面向量作為必修課程數(shù)學(xué)4 的內(nèi)容 空 間向量作為選修2 1 的內(nèi)容 至此 向量以其在現(xiàn)代數(shù)學(xué) 物理學(xué) 工程學(xué) 物 質(zhì)結(jié)構(gòu)中的廣泛應(yīng)用而備受人們關(guān)注 1 1 選題的背景 幾何課程內(nèi)容的改革歷來是國內(nèi)外數(shù)學(xué)改革的一個(gè)極為重要的問題 在文 2 0 中 將聲先生已說明了利用向量的長度 向量的內(nèi)積 可以把有關(guān)長度 垂直 交角等定理從平面幾何推廣到空間以至于n 維空間 呂世虎先生也在文 8 中提到 高等代數(shù)及近世代數(shù)中最典型的思想方法是研究某些運(yùn)算的抽象集合的 代數(shù)結(jié)構(gòu) 其中最簡單并且具有代表性的一種 代數(shù)結(jié)構(gòu) 是數(shù)域f 上的n 維向 量空間 研究它的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的恩想幾乎全部自然地來自人們熟悉的三維空間 r 3 一些立體幾何中嚴(yán)密的論證過程和計(jì)算方法采用向量處理是國內(nèi)外數(shù)學(xué)改 革的一些做法 吳文俊先生在1 9 9 5 年2 月的 數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化問題 中 明確 指出 數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化問題就是機(jī)械化問題 還說 對歐幾里得幾何該怎么 看 我說明 下我的看法 我有一點(diǎn)傾向于恩格斯的數(shù)學(xué)關(guān)系 數(shù)學(xué)研究的是數(shù) 量關(guān)系與空間形式 簡單的說就是數(shù)與形 對于幾何 對于研究空間形式 你要騰飛 不通過數(shù)量關(guān)系 我想不出有什么好辦法 吳文俊在此明確指出要 騰 飛 必須采取 數(shù)量化 的方法 嚴(yán)士健 北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授 說 高中 可以用向量的方法處理立體幾何 綜觀各國幾何課程的開設(shè) 美國 沒有綜合性的幾何學(xué) 但有向量矩陣表示的變換幾何 英國 沒有綜合法的立體幾何 用向量方法處理線面關(guān)系 法國 少量的綜合平面幾何 用向量的方法處理立體幾何 重視圖形變換及 其矩陣表示 德國 內(nèi)容非常艱深 超過我國大學(xué)的 高等數(shù)學(xué) 但只有不多向量幾何 重視變換幾何 日本 高中有平面幾何選修 高三有少量的向量幾何 俄國 所有國家中綜合幾何要求晟高 6 個(gè)國家中唯 n 有 三垂線定理 同時(shí)要求向量幾何 變換幾何 這次數(shù)學(xué)課程改革的基本理念之一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和發(fā)展性 面向全體 學(xué)生 人入學(xué)有用的數(shù)學(xué) 人人都能學(xué)好數(shù)學(xué) 不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué) 高中課 程還體現(xiàn)了多樣性和選擇性 課程內(nèi)容繼承了我國數(shù)學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng) 重視學(xué) 生對必要的基礎(chǔ)知識和基本技能的熟練掌握 并力圖改變目前數(shù)學(xué)課程及實(shí)施過 程中的某些繁 難 偏 舊狀況 重視數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域的聯(lián)系 重視對數(shù)學(xué)的理 解 重視借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本思想方法改造傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容 向量由于其代數(shù)和 幾何的雙重性 與物理學(xué)發(fā)展的密切聯(lián)系 對傳統(tǒng)幾何改造的強(qiáng)有力工具性特點(diǎn) 以及現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接上所具有的特殊地位 使向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)是非 常必要的 另外 從筆者的教學(xué)來說 筆者對其他章節(jié)內(nèi)容教過多遍 內(nèi)容較熟 但向 量這部分內(nèi)容只教過一遍 在教學(xué)中 我深深體會到 這一部分內(nèi)容看起來不難 但一旦操作 具體實(shí)施起來 卻倍感棘手 有些地方總覺得把握不好 教過之后 有很多遺憾 由于每一位高中數(shù)學(xué)教師的知識結(jié)構(gòu) 教學(xué)經(jīng)歷 擅長的教學(xué)模塊都不盡相 同 致使每位教師對向量的理解 認(rèn)識都不盡相同 尤其是對向量引入中學(xué)教材 后 它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用不甚了解 再者 由于數(shù)學(xué)教師自身知識經(jīng)驗(yàn) 與知識儲備有限 表現(xiàn)在進(jìn)行向量的教學(xué)時(shí) 確立教學(xué)目標(biāo) 確定教學(xué)內(nèi)容選擇 教學(xué)方法都有所不同 另外 因?yàn)橄蛄績?nèi)容本身又在深度和難度的把握上有較大 的彈性 因而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中如何正確 有效的處理向量這部分教學(xué)內(nèi)容 成為 個(gè)不可回避的課題 高二開設(shè)的立體幾何中 用空間向量解決處理線面關(guān)系 從2 0 0 5 年江蘇省高 考考生答卷為例 三道立體幾何題 選擇 填空 解答題各一道 共2 4 分 但根 據(jù)統(tǒng)計(jì) 立體幾何大題的平均得分為5 7 2 分 得分率僅為4 1 說明學(xué)生在應(yīng)用 向量方法解決立體幾何問題的學(xué)習(xí)中還存在一些問題 今年上半年 第二輪教向 量 為了提高自身教學(xué)水平 準(zhǔn)確把握向量教學(xué) 有必要對向量進(jìn)行進(jìn)一步研究 基于以上情況 筆者認(rèn)為 對新 標(biāo)準(zhǔn) 下引入向量的背景 意義及其作用 向量在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中難度的把握 內(nèi)容安排 教學(xué)方法的選擇進(jìn)行全面細(xì) 致地發(fā)現(xiàn)和研究是非常必要的 為此 筆者確定本文研究的課題是 1 探求在向量教學(xué)方面存在什么問題 2 2 怎樣結(jié)合實(shí)際進(jìn)行向量教學(xué) 1 2 研究的目的和意義 一 目的 本文旨在研究新 標(biāo)準(zhǔn) 下向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程后 它在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中 所起的作用和地位 探求向量對促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的作用 為開展行之有效的向 量教學(xué) 結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐做一些探索 進(jìn)而為向量教學(xué)中如何把握好深度和 難度 怎樣教等提供參考 使這一部分教學(xué)更加生動多彩 二 意義 進(jìn)行向量教學(xué)研究需要豐富的教育教學(xué)理論作指導(dǎo) 為此 本人盡可能多閱 讀教育家的論著 強(qiáng)化自己的理論修養(yǎng) 以求站在一個(gè)新的高度 對向量教學(xué)的 目的 內(nèi)容 重難點(diǎn)等問題能夠基于我校的實(shí)際進(jìn)行安排 對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興 趣 減少學(xué)生對立體幾何的畏懼心理有 定幫助 由于向量進(jìn)入中學(xué)教材 給中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系注入了新鮮血液 成為新教材 改革的一丈亮點(diǎn) 但從向量的教學(xué)研究來看 多的只是利用向量的工具解題研究 所以本人的研究對中學(xué)數(shù)學(xué)教師準(zhǔn)確把握新 標(biāo)準(zhǔn) 的課程理念 正確把握其深 度 難度 吃透教材的精神實(shí)質(zhì)有一定的幫助 對其他部分的教學(xué)有一定的啟發(fā) 其他教育工作者可以類似地進(jìn)行模仿或進(jìn)行更深入的研究 從而將我國的普高教 育進(jìn)一步發(fā)展提高 真正將我國數(shù)學(xué)教育的改革落到實(shí)處 真正提高我國高中學(xué) 生的數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)品質(zhì) 1 3 研究的思路和方法 一 研究的思路 為了使中學(xué)數(shù)學(xué)教師更清楚地認(rèn)識向量 筆者首先對我國現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課程 中 向量 內(nèi)容的設(shè)置進(jìn)行了分析 熟悉向量教學(xué)的目標(biāo) 然后對向量相關(guān)文獻(xiàn) 作一簡述 了解向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)課程以后 向量以及向量教學(xué)的實(shí)際情況 接 著利用問卷調(diào)查發(fā)對中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查 分析了他們在向量學(xué)習(xí)中存在的問題 和空間想象能力方面存在的問題 通過對全日制普通高級中學(xué) 實(shí)驗(yàn)修訂本l j 必 修 數(shù)學(xué)第二冊 下a 下b 中第九章的比較 以下簡稱為9 a 9 b 同時(shí) 結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際設(shè)置了向量教學(xué)中培養(yǎng)空間想象能力的策略 對向量教學(xué)進(jìn) 行了教學(xué)設(shè)計(jì) 二 研究的方法 3 在本論文的研究過程中 筆者采用了比較研究法 文獻(xiàn)分析法 調(diào)查法 比較研究法 比較就是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn) 把彼此相關(guān)的事物聯(lián)系起來進(jìn)行考 察 確定其異同找出其內(nèi)在聯(lián)系和共同規(guī)律 把握研究對象所特有的質(zhì)的規(guī)定性 我在研究教材時(shí)主要采用這種方法 通過比較教材的變化 尋求解決問題的策略 和方法 通過對9 a 9 b 的比較研究 為教學(xué)提供可行的教學(xué)策略 2 文獻(xiàn)法 在寫作過程中 我一直保持不定期地查閱相關(guān)文獻(xiàn) 積累了一些有關(guān)向量的 論述資料 從中了解關(guān)于向量的教學(xué)研究和立體幾何教學(xué)的相關(guān)文章 搜集了許 多典型的教學(xué)例題 同時(shí)結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際 設(shè)計(jì)了關(guān)于向量教學(xué)的教學(xué)策略 3 調(diào)查法 為了掌握學(xué)生對向量的學(xué)習(xí)情況以及空間想象能力的狀況 我主要采用了調(diào) 查法 調(diào)查法主要分為問卷調(diào)查法和訪談?wù){(diào)查法 首先制定了較為科學(xué)的調(diào)查問 卷 調(diào)查所涉及的內(nèi)容學(xué)生的回答真實(shí)可靠 可信度比較高 在研究過程中 我 還采用了訪談?wù){(diào)查法 與同一教研組的老師共同探討了怎樣進(jìn)行行之有效的教學(xué) 對他們的教學(xué)意見進(jìn)行了借鑒 并用訪談法的形式了解個(gè)別學(xué)生對向量的學(xué)習(xí)情 況 第二部分文獻(xiàn)綜述 2 1 向量教學(xué)的相關(guān)研究 為了使自己的教學(xué)活動適應(yīng)新教材課程改革的需要 我一邊教學(xué)一邊不斷的 學(xué)習(xí) 查閱資料 對其進(jìn)行歸納總結(jié) 有關(guān)向量教學(xué)的研究資料大致可以分為以 下幾類 一 對向量進(jìn)入中學(xué)的可行性和必要性 做了一些必要的研究和探討 具有代表性的論文有吳洪生 徐 冰 黃寧生三人共同撰寫的 試論 向量 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性和可行性 一文 具體指出了向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中 的必要性和可行性 1 增加向量是為了適應(yīng)現(xiàn)代化科技發(fā)展的需要 2 實(shí)踐證明中學(xué)生學(xué)習(xí)向量是可行的 3 向量有利于新教材的構(gòu)建 4 向量能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化組合 吳洪生徐一冰黃寧生 試論向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的必要性和可行性 j 數(shù)學(xué)通報(bào) 1 9 9 6 6 4 另外 還有很多類似文章 提及向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材的必要性和可行性 提法大致相同 如在廖輝和梁文華合著的 高中數(shù)學(xué)引入向量的作用 一文中提 到 1 引進(jìn)向量 革新了高中部分傳統(tǒng)內(nèi)容的處理方法 能夠降低教學(xué)難度 為新增教學(xué)內(nèi)容騰出了時(shí)間 2 引進(jìn)向量 可以更新學(xué)生對空間形式的思維方式 為學(xué)生建立一種符合 現(xiàn)代教學(xué)發(fā)展要求的思維模式 3 引進(jìn)向量 進(jìn)一步強(qiáng)化了高中數(shù)學(xué)對應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)性作用 向量是解決實(shí)際問題的工具 引入向量 能更好的為研究高中物理問題服務(wù) 向量理論是學(xué)習(xí)很多應(yīng)用科學(xué)必要的基礎(chǔ) 在各類雜志上 發(fā)表的這一類文章很多 為我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師正確理解在新 一輪教材改革中 向量作為改革的標(biāo)志性內(nèi)容進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材有很大幫助 一 對向量的工具作用與應(yīng)用價(jià)值的研究 在眾多的文獻(xiàn)中 對于向量的工具作用與應(yīng)用價(jià)值的論述也是比較多的 主 要是向量在數(shù)學(xué)各分支中的實(shí)際應(yīng)用 包括在平面幾何 立體幾何 解析幾何 代數(shù) 三角和物理中的應(yīng)用 許多論文都是以舉例的形式說明了向量的具體應(yīng)用 二 關(guān)于怎樣開展向量教學(xué)的論述 向量知識在許多國家的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中 早就是一個(gè)基本的教學(xué)內(nèi)容 在我 國全面實(shí)施新課程后 向量雖然也已經(jīng)進(jìn)入中學(xué) 但仍然處于起步階段 在教學(xué) 過程中 為了吸取別人的長處 指導(dǎo)自己的教學(xué)工作 我查找了一些有關(guān)向量教 學(xué)的文章 著一方面的文章不是很多 多的是向量工具的應(yīng)用方面的文章 我查 到的文章很有限 由衢洲職業(yè)學(xué)院數(shù)理信息系的盛志榮發(fā)表在 麗水師范專科學(xué)校學(xué)報(bào) 第2 5 卷第2 期的 篇文章 對中學(xué)向量教學(xué)的幾點(diǎn)建議 中 對于在中學(xué)數(shù)學(xué)中如何 進(jìn)行向量教學(xué)提出了很好的建議 其中有很多論述值得我借鑒 由曹金明老師寫 的 高中數(shù)學(xué)課程中向量教學(xué)研究 劉兆輝老師的 中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的向量教學(xué) 研究 都給了我一些啟發(fā) 他們結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際談了一些自己的做法 另外 由徐元根老師寫的論文 關(guān)于中學(xué)向量教學(xué)的若干思考 中學(xué)向量教學(xué)內(nèi)容和 體系初探 中 也談及了一些向量內(nèi)容和教學(xué)的想法 但具體怎樣開展教學(xué)談及 廖輝粱文華高中數(shù)學(xué)引入向量的作用 町 川i 貝教育學(xué)報(bào) 1 9 9 8 4 5 甚少 由西昌市第四中學(xué)的巫明芬老師撰寫的論文 高中新教材平面向量教學(xué)體 會 給我很大啟發(fā) 文章具體說明了對一些基本概念的教學(xué)和新舊教材的區(qū)別 另外由江蘇省蘇州市陸慕高級中學(xué)的汪曉華和朱青鋒合寫的 關(guān)于平面向量教學(xué) 的幾點(diǎn)構(gòu)想與嘗試 也給我一些啟示 由人民教育出版社的蔡上鶴撰寫的論文 高 中數(shù)學(xué) 空間向量 部分教學(xué)問答 對我的寫作幫助很大 文章闡述了空間向量 在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用 具體安排以及高考對于這部分的要求等五個(gè)方面的 內(nèi)容 但未涉及到怎樣教學(xué) 李得明的 中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量教學(xué)研究 文章主要 闡述了向量進(jìn)入中學(xué)的必要性和可行性 向量的發(fā)展前景 并且通過一節(jié)課 開 放式 的教學(xué)案例 總結(jié)和反思課堂教學(xué)中出現(xiàn)的問題 總而言之 在各類期刊雜志上 關(guān)于向量工具作用的論述的文章很多 具體 教學(xué)的文章較少 筆者想結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際 談一談自己的一些親身感受 2 2 高中數(shù)學(xué)課程中向量內(nèi)容分析 2 2 1 向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用 平面向量這部分內(nèi)容本身很重要 它作為工具性知識而廣泛應(yīng)用于三角 解 析幾何 立體幾何的教學(xué)中 如在三角中利用向量證明正弦定理 余弦定理既簡 便又容易接受 平面向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁 它可以將形的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算 通過本章的學(xué)習(xí) 可以使學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合的主要思想 建立有向線段 向量 坐標(biāo)表示之間的聯(lián)系 使平行 垂直 投影 兩點(diǎn)間距離 線段的定比分點(diǎn) 圖 形的平移等問題代數(shù)化 同時(shí) 平面向量的觀點(diǎn) 方法在物理和其他學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用 如在位 移 三角形法則 力的合成與分解 平行四邊形法則 平面向量基本定理 作 功 向量的點(diǎn)積 等的應(yīng)用 用空間向量處理某些立體幾何問題 可以為學(xué)生提供新的視角 在空間特別 是空間直角坐標(biāo)系中引入空間向量 可以為解決三維圖形的形狀 大小及位置關(guān) 系的幾何問題增加一種理想的代數(shù)工具 從而提高學(xué)生的空間想象能力和學(xué)習(xí)效 率 向量法在證明角度相等 線段平行 直線 線段 垂直 求直線的夾角 求 三角形的面積等方面都有廣泛的應(yīng)用 由于幾何發(fā)展的出路是代數(shù)化 引入向量研究幾何是幾何代數(shù)化的重要手段 在立體幾何教學(xué)中要特別注意向量法的應(yīng)用 一方面有助于學(xué)生鞏固所學(xué)的向量 知識 另 方面強(qiáng)化了學(xué)生的思維結(jié)構(gòu) 降低了立體幾何學(xué)習(xí)的難度 向量法在 6 解決立體幾何中的距離 夾角 平行 垂直等問題上的應(yīng)用很方便 在解析幾何中 用向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式 求直線的點(diǎn)法式方程 點(diǎn)向式方程 參數(shù)方程都用到了向量知識 并且能化難為易 在代數(shù)中 包括向量與三角函數(shù)的整合 與數(shù)列整合 與不等式整合 與復(fù) 數(shù)整合 在物理中 向量的最初起源于物理中提到的一些物理量 力 位移和速度等 它為學(xué)生理解向量概念提供了豐富 具體的模型 反過來 運(yùn)用向量的知識可以 解決物理學(xué)中的諸多問題 如教材上安排了一節(jié)研究性課題 向量在物理中的應(yīng) 用 教學(xué)時(shí)讓學(xué)生在親自動手實(shí)驗(yàn)過程中感受向量在物理中的應(yīng)用 2 2 2 向量教材分析 一 向量教學(xué)內(nèi)容及知識結(jié)構(gòu) 1 平面向量 內(nèi)容分析 高中數(shù)學(xué)教材中講述 平面向量 部分約占1 2 課時(shí) 具體內(nèi)容是這樣安排 的 1 平面向量 的第一大節(jié)是 向量及其運(yùn)算 包括向量的概念及其表示 向量的加法 減法 數(shù)乘運(yùn)算 向量的坐標(biāo)表示 向量的數(shù)量積等 這一章一開始 從帆船航行的距離和方向兩個(gè)要素入手 從位移 力等物理 量出發(fā) 抽象出既有大小又有方向的量 向量 并說明向量與數(shù)量的區(qū)別 然 后介紹了向量的幾何表示 有向線段 向量的長度 模 零向量 單位向量 平 行向量 相等向量 共線向量等基本概念 2 第二大節(jié)有向量加法運(yùn)算及其幾何意義 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義等內(nèi)容 教科書先講了向量的加法 加法的幾何意義 加法的運(yùn)算律 再用相反向量 與向量的加法定義了向量的減法 把向量的減法與加法統(tǒng)一起來 并給出向量減 法的幾何意義 向量的加法與減法 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)際上是屬于向量的線性運(yùn) 算知識 然后通過向量的加法引入了實(shí)數(shù)與向量積的定義 給出了實(shí)數(shù)與向量積 的運(yùn)算律 最后 介紹了兩個(gè)向量共線的條件和向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則 隨后 介紹了向量共線的充要條件與平面向量基本定理 這樣為后面介紹平面向量的坐 標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ) 3 第三大節(jié)包括平面向量基本定理 平面向量的分解及坐標(biāo)表示 平面向 量的坐標(biāo)運(yùn)算 平面向量共線的坐標(biāo)表示 7 平面向量基本定理是平面向量的分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ) 教科書首先通過一 個(gè)具體的例子給出了平面向量基本定理 同時(shí)介紹了基底 夾角 兩個(gè)向量垂直 的概念 然后在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上 給出了平面向量的分解及坐標(biāo)表示 向量加 減 數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算和向量坐標(biāo)的概念 最后給出了平面向量共線的坐 標(biāo)表示 坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了對應(yīng)關(guān)系 這為通過 數(shù) 的運(yùn)算處理 形 的問題搭起了橋梁 4 第四大節(jié)包括平面向量數(shù)量積的實(shí)際背景及其含義 平面向量數(shù)量積的 坐標(biāo)表示 模 夾角 教科書從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā) 引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何 意義 接著介紹了平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 運(yùn)算律及坐標(biāo)表示 向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系 特別是用向量 的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題 把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中 還能 解決三角形邊角之間的有關(guān)問題 將傳統(tǒng)教材研究正弦定理和余弦定理的方法用 向量法來研究 即用向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來推導(dǎo) 證明了這兩 個(gè)定理 正弦定理 余弦定理是關(guān)于任意三角形的邊角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理 應(yīng)用這兩個(gè)能夠解決測量 工業(yè) 幾何等方面的實(shí)際問題 向量數(shù)量積把向量的 長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來 這樣為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便 特別是能 有效地解決線段的垂直與夾角問題 5 第五大節(jié)將傳統(tǒng)教材 解析幾何 中 線段的定比分點(diǎn) 這一知識前移 到這一章中學(xué)習(xí) 并且采用向量的方法來研究 線段的定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)坐 標(biāo)公式 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 以及 平移公式 6 另外 為了真正體現(xiàn)新課改的特色 讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體 充分把 探 究 合作 小組學(xué)習(xí) 新課改理念應(yīng)用于課堂教學(xué) 教材特意安排了兩個(gè)閱讀材 料 還增加了一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè) 用來培養(yǎng) 提高學(xué)生的動手操作能力和應(yīng)用意識 提高學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力以及建模 解模的水平 從而提高學(xué) 生的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 本章知識結(jié)構(gòu)大致如下 8 有向線段 向量 長度 模 零向量 單位 概念 向量 向量的概念 表示a b a x y 關(guān)系平行向量 相等向量 共線向量 加法運(yùn)算律 平行四邊形法則 三角形法則 加 作法 減相反向量 減法 作法 向量的運(yùn)算 數(shù)乘乘積 共線的充要條件 夾角 垂直 投影 垂直的充要條件 運(yùn)算律 數(shù)量積 性質(zhì) 加法 向量運(yùn)算的坐標(biāo)減法 表示數(shù)乘向量 向量的基本定 數(shù)量積 兩點(diǎn)間距離公式 理 平行向量 相等向量 共線向量 關(guān)系的坐標(biāo)表示共線 垂直 共線 兩個(gè)充要條件 垂直 平移平移 平移公式 三個(gè)應(yīng)用 定比分點(diǎn)定比分點(diǎn) 定比分點(diǎn)公式 解斜三角形正 余弦定理證明及其應(yīng)用 本章的熏點(diǎn)是向量的概念 平面向量基本定理 向量的幾何表示和坐標(biāo)表示 形式 向量的線性運(yùn)算 平面向量的數(shù)量積 線段的定比分點(diǎn)和坐標(biāo)表示形式 平移公式 解斜三角形 本章的難點(diǎn)是向量的概念 平面向量基本定理 向量的 運(yùn)算法則和運(yùn)算律等 o 向量是近代數(shù)學(xué)中最為重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一 有其深刻的幾何背景 是解決幾何問題的有力工具 向量概念引入后 全等和平行 平移 相似 垂直 人民教育出舨社壘日制普通高級中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第一冊 下 教師教學(xué)用書 9 勾股定理等就可以轉(zhuǎn)化為向量的加 減 法 數(shù)乘向量 平面向量數(shù)量積運(yùn)算 從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系 2 空間向量 的知識結(jié)構(gòu)及內(nèi)容分析 空間向量 被編排在人教版全日制普通高級中學(xué) 試驗(yàn)修訂本 數(shù)學(xué)第二 冊 下b 中的第九章 直線 平面 簡單幾何體 簡稱 9 b 中 含有 空間向量的高二下學(xué)期的數(shù)學(xué)教科書簡稱為 第二冊 下b 與它平行且仍用 傳統(tǒng)方法來闡述高中立體幾何內(nèi)容的教科書簡稱為 第二冊 下a 兩本教科 書第九章的章名一樣 并且都用3 6 課時(shí)進(jìn)行教學(xué) 空問向量 這部分內(nèi)容具有 必學(xué) 和 選學(xué) 兩重性 按照大綱第1 0 頁的腳注規(guī)定 直線 平面 簡單幾 何體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)在9 a 和9 b 兩個(gè)版本中只選擇一個(gè)執(zhí)行 9 b 具有選學(xué)的性質(zhì) 但大綱把 直線 平面 簡單幾何體 作為必修內(nèi)容 如果學(xué)生不按 第二冊 下a 教科書來學(xué)習(xí) 那么空問向量他們就是必學(xué)內(nèi)容 所以 空間向量 這部分內(nèi)容具有 必學(xué) 和 選學(xué) 兩重性 為了初步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力 第一大節(jié) 空間的直線和平面 中先使 用綜合推理方法學(xué)習(xí)空間圖形的一些基本性質(zhì) 但是 與人教版的教科書相比 綜合推理訓(xùn)練的要求更弱 些 這是因?yàn)橛行﹩栴}將來用空間向量來處理更為簡 便 相應(yīng)地 在第一大節(jié)中 三垂線定理及其逆定理的解題訓(xùn)練也安排的較少 雖然 標(biāo)準(zhǔn) 中未提到空間向量的 平移 但由于我們把空間向量看作空間的 一 個(gè)平移 所以在學(xué)習(xí)空問直線平行關(guān)系傳遞性的基礎(chǔ)上 引入了平移概念 此外 還更新了傳統(tǒng)教材中的一些例題 習(xí)題 目的也是為了學(xué)生理解空間向量的內(nèi)容 空間向量 的第一小節(jié) 是本章的重點(diǎn) 本小節(jié)首先把平面向量及其性質(zhì) 運(yùn)算推廣到空間 有了平面向量以及第一大節(jié)中 空間向量 概念的基礎(chǔ) 這種 推廣對學(xué)生已不算是困難 但仍然要 步步地進(jìn)行 例如 要一步步地驗(yàn)證空間 向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律 這樣做 既可以溫故知新 又可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的 空間想象能力 將平面向量推廣到空問向量后 必須探究共線向量和平面向量定 理能否推廣到空間 在得出肯定的結(jié)論后 再由這兩個(gè)定理推出空間與平面的向 量表達(dá)式 有了這兩個(gè)表達(dá)式 學(xué)生就可以方便解決空間的某些共線與共面問題 在學(xué)習(xí)共線向量定理和共面向量定理后 學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間最重要的定 理 空間向量基今定理 此定理是將空間幾何研究數(shù)量化的基礎(chǔ) 它使空間的 結(jié)構(gòu)變得簡單明了 整個(gè)空間被三個(gè)不共面的基本定理所確定 空間的點(diǎn)或向量 與三維實(shí)數(shù)組 x y z 之間建立了對應(yīng)關(guān)系 1 0 本小節(jié)最后安排向量的數(shù)量積 將平面內(nèi)兩個(gè)向量的數(shù)量積推廣到空間 最 重要的是讓學(xué)生建立起向量在軸上的投影的概念 為了減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān) 教科 書沒有證明數(shù)量積的幾個(gè)運(yùn)算性質(zhì) 留給學(xué)有余力的學(xué)生自己去探究完成 空間向量 的第 4 節(jié)中 首先引入空間直角坐標(biāo)系 使向量運(yùn)算完全坐 標(biāo)化 在去掉基底后 空間向量與三維實(shí)數(shù)組進(jìn)行了對應(yīng) 這樣就使運(yùn)算更加方 便 然后教科書給出空間兩個(gè)最基本的公式一夾角公式與距離公式 教材的第三大節(jié) 夾角和距離 也分為兩個(gè)小節(jié) 夾角 包括 直線與平面 所成的角 與 二面角 距離 包括 直線到平面的距離 點(diǎn)到平面的距離 與 異面直線的距離 第一小節(jié)中還含有兩平面垂直的判定和性質(zhì) 這一大節(jié)不 僅要求學(xué)生掌握上述關(guān)于夾角 距離的概念 以及兩平面垂直的判定和性質(zhì) 還 要求學(xué)生能夠靈活應(yīng)用勾股定理 正弦 余弦定理以及向量的代數(shù)方法進(jìn)行應(yīng)該 的計(jì)算與證明 教科書在處理具體問題時(shí) 采取了實(shí)事求是的態(tài)度 凡是用向量 比較容易解決的問題 就以向量為 通法 來解決 而對有些直接使用勾股定理 和三角形知識比較容易解決的問題 仍用傳統(tǒng)方法解決 教材的第四大節(jié)是 簡單多面體與球 這一大節(jié)既是對簡單多面體基礎(chǔ)知識 的重點(diǎn)討論 又是對前面空間圖形基本性質(zhì)與空間向量等相關(guān)知識的綜合應(yīng)用 所以說 學(xué)生如果用空間向量知識去處理在這一大節(jié)中遇到的問題 也是應(yīng)該甚 至提倡 綜上 空間向量 這部分內(nèi)容 大致可以分為 空間向量及其運(yùn)算 與 空 間向量的應(yīng)用 這兩個(gè)模塊 空間向量及其運(yùn)算 包括 1 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平平面向空間推廣的過程 2 理解空間向量的概念 掌握空間向量的加法 減法 數(shù)乘及其坐標(biāo)表 示 了解空間向量基本定理及其意義 掌握空問坐標(biāo)系 能將空間向 量用坐標(biāo)軸上的單位向量線性表示 3 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示 能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量 的共線或垂直 空問向量的應(yīng)用 包括 1 理解直線的方向向量 平面的法向量 向量在平面的射影等概念 2 能用向量語言表述線線 線面 面面的垂直 平行關(guān)系 3 能用向量法證明有關(guān)線 面位置關(guān)系的一些定理 4 能用空間坐標(biāo)系與向量方法解決夾角與距離的計(jì)算問題 體會向量法 在研究幾何問題的作用 要特別注意的是 在數(shù)學(xué)中 要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法 經(jīng)歷向量及 其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程 并注意由于維數(shù)的增加給學(xué)生帶來的不利 影響 第三部分向量教學(xué)現(xiàn)狀反思 3 1 向量教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查 從2 0 0 1 年我省首次使用人民教育出版社發(fā)行的新版實(shí)驗(yàn)教材至今己有五年 那么學(xué)生在高一平面向量 和高二空間向量的學(xué)習(xí)狀況如何 還存在些什么問 題 人教版立體幾何內(nèi)容編排了a b 兩種版本 我們學(xué)校一直都用b 版 在使 用的過程中也有什么問題 我校是一所普通中學(xué) 學(xué)生主要來自于我市周邊農(nóng)村地區(qū)和本市個(gè)體私營企 業(yè)的子女 由于家庭 環(huán)境 教育多方面的原因 我校的學(xué)生基本狀況是 底子 差 基礎(chǔ)不牢固 我校的師資狀況 高中共有數(shù)學(xué)教師1 1 人 兩人是從本學(xué)校初 中部選拔的優(yōu)秀教師 9 人是從外校選拔調(diào)入的教師 高中部剛成立4 年時(shí)間 其中1 人沒有教過向量 其他教師有教過 遍或二遍的經(jīng)歷 筆者有1 5 年的教學(xué) 經(jīng)驗(yàn) 并完整地帶過一輪 從高一到高三 新教材 今年又兼任高一 高二兩個(gè) 年級的教學(xué) 回顧筆者進(jìn)行第一輪向量教學(xué)時(shí)的情景 跟現(xiàn)在大部分?jǐn)?shù)學(xué)教師一 樣 由于對教材挖掘不夠 致使在進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí) 對教材的處理有些稀里糊涂 今年在進(jìn)行第二遍向量教學(xué)時(shí)有很多感觸 但還是有不盡人意的地方 如 向量 的數(shù)量積這一節(jié) 一個(gè)課時(shí)的時(shí)間需要掌握向量夾角的定義 向量b 在a 上的投 影 向量的數(shù)量積的概念以及向量數(shù)量積的5 條性質(zhì)和所滿足的運(yùn)算律 還要進(jìn) 行練習(xí) 一節(jié)課下來是匆匆茫茫甚至手忙腳亂 學(xué)生忙于應(yīng)付 感覺稀里糊涂 高二開設(shè)的立體幾何中 用空間向量解決處理線面關(guān)系 從2 0 0 5 年江蘇省高 考考生答卷為例 三道立體幾何題 選擇 填空 解答題各一道 共2 4 分 但根 據(jù)統(tǒng)計(jì) 立體幾何大題的平均得分為5 7 2 分 得分率僅為4 1 說明學(xué)生在應(yīng)用 空間向量解決立體幾何問題中還存在一些問題 為了了解學(xué)生對向量的學(xué)習(xí)情況 筆者在2 0 0 5 年1 月對本校高二學(xué)生發(fā)放問 卷2 0 0 份 回收1 8 7 通過問卷調(diào)查和訪談?wù){(diào)研結(jié)果如下 問卷調(diào)查情況 表內(nèi)數(shù)據(jù)是選a b c d 人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比 精確到 1 2 0 1 學(xué)生向量學(xué)習(xí)情況問卷調(diào)查 題號 1234567891 01 1 選a6 8 6 8 35 6 4 8 2 9 84 5 87 7 13 9 66 4 68 32 9 2 人數(shù) 選b23 1 0 44 7 64 0 25 5 43 3 31 6 74 8 82 7 18 1 26 4 6 人數(shù) 選c2 1 6 6 74 6 81 1 63 4 81 6 76 31 1 6 4 24 1 4 2 人數(shù) 選d6 3 1 4 64 21 04 16 42 0 人數(shù) 3 2 存在的問題及原因 對調(diào)查結(jié)果的分析 1 教材并不是教師想象的那么容易 很多教師都認(rèn)為向量內(nèi)容安排思路清晰 簡單易學(xué) 可事實(shí)上并非如此 從 調(diào)查中發(fā)現(xiàn) 學(xué)生對向量的有關(guān)概念和定理的學(xué)習(xí)都感到較抽象或抽象 如認(rèn)為 向量 線段的定比分點(diǎn) 向量的基本定理 向量的坐標(biāo)表示 向量的數(shù)量積 向 量的投影 平移等比較抽象的學(xué)生分別占1 2 6 1 8 8 2 6 8 1 3 4 1 7 0 5 1 8 2 9 5 有4 0 2 的學(xué)生認(rèn)為向量的學(xué)習(xí)偏抽象 有1 1 6 的學(xué)生認(rèn) 為抽象 由此可見 向量的學(xué)習(xí)值得教師認(rèn)真分析和處理 就從有利于學(xué)生學(xué)習(xí) 這一角度講 教師應(yīng)充分了解學(xué)生的實(shí)際 因材旌教 2 運(yùn)用向量工具解題的意識不強(qiáng) 高二教學(xué)中有很多內(nèi)容可以利用向量知識簡便求解 高三教學(xué)中更應(yīng)看到向 量的工具性作用 從多角度處理問題 不僅能提高學(xué)生的解題的能力 更有利于 學(xué)生思維的發(fā)展 從調(diào)查中看出 絕大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為學(xué)習(xí)向量是有用的 但在 第3 題選擇時(shí)卻有4 7 6 的同學(xué)只是 偶爾 用到向量的方法 還有5 6 的同學(xué) 幾乎就沒有 用向量解題 在回答第8 題時(shí) 只有1 1 6 的學(xué)生選擇c 這足 以說明學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí) 只是用向量解題 而沒有使用向量的意識 3 學(xué)習(xí)向量的方法有待改進(jìn) 調(diào)查顯示 有3 9 6 的同學(xué)是以 背概念 記公式 再練習(xí) 的學(xué)習(xí)方式學(xué) 習(xí)向量 而能自覺把向量與生活相結(jié)合 并處理有關(guān)問題的只占8 9 回答 您 是否讀過關(guān)于向量的兩篇閱讀材料 時(shí)更是讓人吃驚 竟有7 4 1 選a 在對待 實(shí)習(xí)作業(yè) 的態(tài)度上回答 沒有用處 也沒有做過 的同學(xué)占5 0 o 在看待研 究性學(xué)習(xí)課題上 有4 7 3 的同學(xué)回答 老師沒有上過 也無關(guān)緊要 可以看出 很多學(xué)生是采用死記硬背 機(jī)械記憶的學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí) 所以他們感到向量的學(xué)習(xí) 是平淡 占3 7 5 或枯燥的 占5 3 6 同時(shí) 學(xué)數(shù)學(xué)就是為了升學(xué)考試 這 一思想長期影響著數(shù)學(xué)教育 要考的就學(xué) 不考的就不學(xué) 很多學(xué)生忽視對所學(xué) 知識的進(jìn)一步拓寬 不能自覺地把知識與實(shí)際相結(jié)合 這將嚴(yán)重影響學(xué)生實(shí)踐能 力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng) 3 2 1 用向量方法解決立體幾何問題的調(diào)查分析 采取調(diào)查測試卷和訪談相結(jié)合的方法 2 0 0 5 年5 月讓高二學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間 內(nèi)完成筆者所設(shè)計(jì)的調(diào)查測試卷 見附錄2 共發(fā)放樣卷2 0 0 份 全部回收 發(fā) 放樣卷調(diào)查結(jié)果與分析如下 1 基本作圖能力薄弱 在調(diào)查中發(fā)現(xiàn) 學(xué)習(xí)空間向量較傳統(tǒng)綜合幾何容易 如問卷中的第1 題 4 0 7 的學(xué)生選a 4 1 2 的學(xué)生選b 墻 1 的學(xué)生選c 由于學(xué)生在高一已學(xué)習(xí)了 平面向量 稍加推廣就得到了空閫運(yùn)算體系 所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來感覺不太抽象 但是還發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生隨手畫圖 不用直尺 有的學(xué)生畫出來的圖形線條不簡潔 虛實(shí)線不分 缺乏立體感 而把平面畫成三角形或不規(guī)則四邊形 把表示平面的 字母標(biāo)錯(cuò)位置的也大有人在 此外 學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有儲存足夠的基本立體 幾何模型 從而想不到借助基本圖形來判斷復(fù)雜的位置關(guān)系 如第2 題 只有9 名同學(xué)想到借助正方形 以正方形的棱和面來代表題中的有關(guān)元素 2 數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力不強(qiáng) 立體幾何要求學(xué)生能借助圖形來反映用文字語言或符號語言所表達(dá)的空間圖 形或位置關(guān)系 即從語言或式子中提取關(guān)鍵信息 在頭腦中形成空間圖形的 表 象 再畫出其直觀圖 就是說先想圖 后畫圖 這里進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化 一是文字 語言或符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言 二是空間向平面的轉(zhuǎn)化 而大部分學(xué)生是在轉(zhuǎn) 化的過程中出現(xiàn)問題 如第2 題中 命題的反例圖形有1 3 8 人做錯(cuò) 3 識圖 用圖及計(jì)算能力欠缺 學(xué)好立體幾何要求學(xué)生具有熟練的識圖用圖能力 即從復(fù)雜的圖形中區(qū)分出 基本圖形 并通過對基本圖形的分析 識別出基本元素之間的基本關(guān)系 學(xué)生往 往對圖形仔細(xì)觀察不夠 推理分析不深 不能克服由空間到平面所產(chǎn)生的錯(cuò)覺 1 4 從而不能正確認(rèn)識各元素的空間位置和圖形的空間結(jié)構(gòu) 如第4 題 不少學(xué)生無 法識別出連結(jié)正方體六條棱中點(diǎn) 可以構(gòu)造出與直線a 垂直的正六邊形 只須判 斷p m n 是否是它的頂點(diǎn)即可 本題只有3 6 人全對 僅選 3 的有1 17 人 選 1 的有5 4 人 選 4 的有2 4 人 用向量解決立體幾何問題需要合理地分析空間 圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系 恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系 選擇合理的基本向量 準(zhǔn)確表示出相關(guān)向量才能有效解決問題 而第3 題有7 的學(xué)生試圖用定義作出 所求二面角的平面角 但是沒有成功 4 4 的學(xué)生用法向量做對了 但是其他學(xué) 生用向量方法在解決問題時(shí) 由于計(jì)算和對法向量方法解決問題掌握得不好 導(dǎo) 致失敗 3 2 4 立體幾何 a 本與 b 本的比較 在新教材的各部分內(nèi)容只有第九章的內(nèi)容是按不同的要求寫的 筆者仔細(xì)研 究了教學(xué)大綱和教材關(guān)于這兩部分的全部文字 發(fā)現(xiàn)他們之間在內(nèi)容 結(jié)構(gòu) 要 求都有許多不同 1 教學(xué)內(nèi)容的差異 b 本比 a 本增加了空間向量及其運(yùn)算 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容 a 本中的定理證明 例題的處理是采用演繹推理的方法進(jìn)行的 b 本中的定 理證明 例題的處理是采用空間向量運(yùn)算方法進(jìn)行的 2 相同內(nèi)容結(jié)構(gòu)的差異 應(yīng)該說這兩種版本的大部分內(nèi)容是相同的 只不過有些內(nèi)容在教材中的位置 不同 由此產(chǎn)生的知識結(jié)構(gòu)不同 首先是劃分單元的不同 a 本劃分為兩個(gè)單 元 即 空問直線和平面 與 簡單幾何體 由于 b 增加了 空間向量 這個(gè) 單元 于是將 夾角和距離 從直線和平面的位置關(guān)系中分離出來 建立了一個(gè) 新的單元 所以 b 劃分為四個(gè)單元 即 空間直線和平面 空間向量 夾 角和距離 簡單多面體和球 3 展開主線的差異 a 本以圖形位置關(guān)系為主線展開 教材在給出平面的概念與畫法以后 依 次研究空間兩條直線的位置關(guān)系 直線和平面的位置關(guān)系 從位置關(guān)系的角度揭 示了圖形的性質(zhì) b 本以圖形的性質(zhì)為主線展開 教材在研究完平面的基本性 質(zhì)以后 以平行公理為基礎(chǔ) 依次討論直線和直線的平行 直線和平面的平行 平面和平面的平行 然后通過異面直線及其夾角 垂直的研究 由空間的平行 垂直性質(zhì)轉(zhuǎn)化討論直線與平面垂直的性質(zhì) 深刻揭示空間圖形的性質(zhì)及性質(zhì)之間 的內(nèi)在聯(lián)系 4 對學(xué)生能力要求的差異 c a 本主要使用有關(guān)的定義 定理 感受 法則來研究立體圖形的性質(zhì) 重 點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力 邏輯推理能力 綜合推理能力以及表述能力 b 本雖然也訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力 但更多的是著眼于幾何與代數(shù)的融合 重點(diǎn) 培養(yǎng)學(xué)生使用向量代數(shù)方法解決立體幾何問題 從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力 具體分析如下 平面性質(zhì)部分 a 本與b 本都是3 個(gè)課時(shí) 能力要求一致 但是b 本在這一節(jié) 中安排有水平放置的空間圖形的直觀圖的畫法 而a 本把這部分內(nèi)容放在 9 7 4 棱柱的第四課時(shí)才講 筆者認(rèn)為b 本的編排更為合理 因?yàn)榱Ⅲw幾何中的畫圖至 關(guān)重要 正確的畫圖 對理解空間圖形的問題很有幫助 圖畫得好 能把各線 面的關(guān)系表達(dá)得很清晰 有利于學(xué)生正確想象 判斷 反之 圖畫得不好 有些 位置關(guān)系不能一目了然 b 本在第一章的第3 課時(shí)就介紹了斜二測畫法更有利于 培養(yǎng)學(xué)生的圖形觀 重視圖形的畫法 有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力 由于a 本和b 本的總課時(shí)量 3 9 課時(shí) 一樣 而且b 本還增加了9 課時(shí)的向 量及運(yùn)算 b 本要包含a 本的全部內(nèi)容 顯然在教學(xué)時(shí)要減弱綜合推理的訓(xùn)練 對學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)訓(xùn)練的例題習(xí)題也必然減少 空間的平行直線與異面直線部分 a 本的能力要求是 了解空間兩直線的位置 關(guān)系 理解異面直線的概念 培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力 理解并掌握公理4 了 解并掌握等角定理及推論 通過對等角定理證明思路的分析 引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化 思想化陌生為熟悉 盡可能地化立體幾何問題為平面問題 這對于培養(yǎng)學(xué)生分析 問題和空間想象能力有很重要的意義 這一部分用5 課時(shí)的時(shí)間通過訓(xùn)練 培養(yǎng) 學(xué)生的識圖 繪圖能力 鞏固異面直線的概念 由于