求函數(shù)值域和函數(shù)奇偶性.doc

求函數(shù)值域和函數(shù)奇偶性一、知識點(diǎn)分析求函數(shù)值域問題放在單調(diào)性之后引出，是希望學(xué)生通過對于單調(diào)性的深入研究和理解，明白求函數(shù)值域問題跟函數(shù)的單調(diào)性緊密結(jié)合的關(guān)系，從而對于這兩個問題都有更為透徹的理解。而函數(shù)奇偶性是繼函數(shù)的單調(diào)性之后的又一函數(shù)重要性質(zhì)，我們研究奇偶性的時候也要重點(diǎn)把握。所謂函數(shù)性質(zhì)實(shí)際上是在強(qiáng)調(diào)：當(dāng)自變量發(fā)生一個變化時相應(yīng)的因變量發(fā)生了變化，我們描述這些變化就成為函數(shù)的性質(zhì)，這里強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)很重要，為今后討論反函數(shù)、周期性等作鋪墊。也幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。二、基本知識體系1.求函數(shù)值域的方法總結(jié)求函數(shù)值域是一類很重要的問題，求函數(shù)值域的方法有以下幾種：1、利用單調(diào)函數(shù)的上、下界2、利用熟知函數(shù)的值域3、利用換元法，化為熟知函數(shù)4、利用配方法或判別式法5、利用不等式在應(yīng)用以上求值域的方法時要注意：弄清每種方法的原理、適用對象、操作方法、以及應(yīng)注意的問題；每種方法應(yīng)掌握幾個典型例題，并且把例題深入挖掘，掌握其精髓。2.函數(shù)的奇偶性1、定義及其理解：定義1對于函數(shù)y=f(x)，xD，若任取xD，都有f(-x)=f(x)，稱f(x)為偶函數(shù)。定義2對于函數(shù)y=f(x)，xD，若任取xD，都有f(-x)=-f(x)，稱f(x)為奇函數(shù)。強(qiáng)調(diào)：(1)整個定義域上的性質(zhì)(區(qū)別于單調(diào)性)；(2)刻畫了f(x)隨x變化的特征(數(shù)、形)。2、函數(shù)的奇偶性的判斷：(1)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；按照定義以及定義的等價形式判斷：考察f(-x)=f(x)；或f(-x)f(x)=0，或 說明：定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。因此，在運(yùn)用定義判斷y=f(x)的奇偶性時，一定要首先看定義域。(2)函數(shù)的圖象(數(shù)形結(jié)合的思想)。定理1 奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱定理2 偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱難點(diǎn)：證明函數(shù)奇偶性的定理。3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用主要包括以下幾個方面：(1)判斷；(2)證明；(3)求值；(4)求解析式；(5)作函數(shù)圖象；(6)求函數(shù)值域。三、典型例題及分析例1.求函數(shù) 的值域解：第一步先求該函數(shù)的定義域?yàn)?都是單調(diào)遞增函數(shù)，并且沒有上界 是單調(diào)遞增函數(shù)，并且沒有上界 ； 小結(jié)：利用單調(diào)函數(shù)的上下界求值域，原理簡明，操作簡便，且普適性強(qiáng)，是求值域的首選方法。例2.求函數(shù) 的值域解： 向右平移3個單位得到的； 值域相同； 小結(jié)：這道小題明顯利用熟知函數(shù)的值域求未知函數(shù)值域。需要補(bǔ)充說明的是我們已經(jīng)學(xué)過一些函數(shù)圖像的幾何變換，這個例子給我們啟示是：對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)，若能把它看做是有某種基本函數(shù)經(jīng)過某些幾何變換所得，則根據(jù)基本函數(shù)的值域和幾何變換的性質(zhì)就能直觀的求出該函數(shù)的值域。例3.求 解：設(shè) ，則原函數(shù)可化為 而函數(shù) 由圖像分析得到函數(shù)值域?yàn)?小結(jié)：這是典型利用換元法，化為熟知函數(shù)，這類問題的難點(diǎn)是能夠認(rèn)清函數(shù)本質(zhì)上的函數(shù)形式，從而能順利地轉(zhuǎn)化，也就是說問題轉(zhuǎn)化成為在指定區(qū)間上求基本函數(shù)的值域。易錯點(diǎn)是在轉(zhuǎn)化過程中，附加了新變量t的范圍，這個范圍往往容易丟掉，要引起注意。另外要強(qiáng)調(diào)的是在化基本函數(shù)過程中，注意數(shù)形結(jié)合。例4.求函數(shù) 的值域。解：設(shè) 原函數(shù)可化為 原函數(shù)的值域?yàn)?小結(jié)：這道題方法和思路基本同上，而基本函數(shù)模型是二次函數(shù)。例5.求函數(shù) 的值域。分析：對于分子、分母都為x的二次式的分式函數(shù)，分別配方后也易處理，因此需要探討新的方法。解：首先考察定義域，由分母 ，則函數(shù)定義域D=R。由 可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0當(dāng)y=1時，上式變成2x=0，x=0Dy=1是值域中的一個元素。當(dāng)y1時，上式可以看作是關(guān)于x的二次方程，因其根x為實(shí)數(shù)，=(y+1)2-4(y-1)(y-1)0，解之得 綜上，y的取值范圍(也就是函數(shù)的值域)為 小結(jié)：這道題應(yīng)用判別式法(俗稱法)主要用來解分式函數(shù)求值域的問題，但在使用判別式法時要注意：由y=f(x)變?yōu)閍(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，對于x2的系數(shù)a(y)應(yīng)按a(y)=0與a(y)0分情況討論。例6.已知定義在(-，+)上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x0時，f(x)=x2-2x+2，求函數(shù)f(x)的解析式。分析：由圖像的對稱性可知，f(x)是奇函數(shù)，因而可根據(jù)奇函數(shù)的定義求解。但既然說是定義在全體實(shí)數(shù)上的函數(shù)，因而x=0時，f(x)有定義。不能忘了求f(0)。解：當(dāng)x0，故f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2因函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，于是f(-x)=-f(x)，從而f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+2)=-x2-2x-2又當(dāng)x=0時，f(0)=f(-0)=-f(0)，從而f(0)=0，因此f(x)在(-，+)上的解析式是 小結(jié)：(1)若x=0在奇函數(shù)的定義域內(nèi)，即其圖像必過原點(diǎn)；(2)由奇偶函數(shù)在原點(diǎn)一側(cè)的解析式，必能求得它在原點(diǎn)另一側(cè)的解析式，基本思想是通過“-x”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；(3)容易漏求當(dāng)x=0時的解析式。例7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)解：觀察函數(shù)，可知f(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，令F(x)=f(x)+8，有F(-x)=-F(x)F(2)=-F(-2)=-f(-x)+8=-(10+8)=-18 F(2)=f(2)+8=-18，f(2)=-26小結(jié)：此題關(guān)鍵在于如何處理f(x)表達(dá)式中“-8”這個“尾巴”，去掉它就可以得到一個奇函數(shù)。因此可構(gòu)造一個新的函數(shù)F(x)=f(x)+8，就能讓這個問題利用奇函數(shù)的性質(zhì)解決。四、自測練習(xí)題1.函數(shù)y=|x-3|-|x+1|的值域是( )(A) (B)-4，4 (C) (D)R2.函數(shù)y=x2-4x+2(1x4)的值域是( )(A)-1,2 (B)-2,2 (C)-3,2 (D)-1,33.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是( )A、 B、 C、f(x)=x3+3x D、f(x)=x2+x+24.設(shè)y=f(x)，xR，為奇函數(shù)的一個充要條件是( )A、f(0)=0 B、對任意xR，f(x)=0都成立C、存在某個x0使得f(x0)+f(-x0)=0 D、對任意xR，f(x)+f(-x)=0都成立5.若f(x)在-5,5上是奇函數(shù)，且f(3)f(1)，則下列各式中一定成立的是( )A、f(-1)f(1) C、f(2)f(3) D、f(-3)f(5)6.奇函數(shù)y=f(x)(xR)的圖象必過點(diǎn)( )A、(a,f(-a) B、(-a,f(a) C、(a,-f(-a) D、 7.已知f(x)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，它在 上遞減，那么一定有( )(A) (B) (C) (D) 8.函數(shù) 的值域是_9.若函數(shù)f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，則f(-5)=_。10.已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-3a)x+a在區(qū)間 上遞增，則a的取值范圍是_11.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，下列函數(shù)(1)y=xf(x2)；(2)y=