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函數(shù)的奇偶性1、 函數(shù)奇偶性的基本概念1 偶函數(shù):一般地,如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有,那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。2. 奇函數(shù):一般地,如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任一個(gè),都有,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。 注意:(1)判斷函數(shù)的奇偶性,首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是非奇非偶函數(shù),若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,再判斷 之一是否成立。(2)在判斷與的關(guān)系時(shí),只需驗(yàn)證及=是否成立即可來(lái)確定函數(shù)的奇偶性。題型一 判斷下列函數(shù)的奇偶性。,(2) (3)(4) (5) (6) (7) ,(8)提示:上述函數(shù)是用函數(shù)奇偶性的定義和一些性質(zhì)來(lái)判斷(1)判斷上述函數(shù)的奇偶性的方法就是用定義。 (2)常見(jiàn)的奇函數(shù)有:,(3)常見(jiàn)的奇函數(shù)有:, (4)若、都是偶函數(shù),那么在與的公共定義域上,+為偶函數(shù),為偶函數(shù)。當(dāng)時(shí),為偶函數(shù)。(5)若,都是奇函數(shù),那么在與的公共定義域上,+是奇函數(shù),是奇函數(shù),是偶函數(shù),當(dāng)0時(shí),是偶函數(shù)。 (6)常函數(shù)是偶函數(shù),0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)。(7)在公共定義域內(nèi)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(8)對(duì)于復(fù)合函數(shù);若為偶函數(shù), 為奇(偶)函數(shù),則都為偶函數(shù);若為奇函數(shù),為奇函數(shù),則為奇函數(shù);若為奇函數(shù),為偶函數(shù),則為偶函數(shù). 題型二 三次函數(shù)奇偶性的判斷已知函數(shù),證明:(1)當(dāng)時(shí),是偶函數(shù)(2)當(dāng)時(shí),是奇函數(shù)提示:通過(guò)定義來(lái)確定三次函數(shù)奇偶性中的常見(jiàn)題型,如,當(dāng),是偶函數(shù);當(dāng),是奇函數(shù)。題型三 利用函數(shù)奇偶性的定義來(lái)確定函數(shù)中的參數(shù)值1函數(shù)是偶函數(shù),定義域?yàn)?,則 2設(shè)是定義在上的偶函數(shù),則的值域是 3 已知是奇函數(shù),則的值為 14已知是偶函數(shù),則的值為 1提示:(1)上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義,。(2) 因?yàn)槭翘羁疹},所以還可以用。(3) 還可以用奇偶性的性質(zhì),如奇函數(shù)乘以奇函數(shù)是偶函數(shù),奇函數(shù)乘以偶函數(shù)是奇函數(shù)等。題型四 利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是( B )A B C D2下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是A A B C D3下列函數(shù)中,為偶函數(shù)的是( C )A B C D4函數(shù)的圖像關(guān)于( C )A軸對(duì)稱 B 直線對(duì)稱 C 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D 直線對(duì)稱5已知函數(shù)是上的奇函數(shù),且,則=-46已知函數(shù)是上的偶函數(shù),則,則=-3提示:(1)上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義,。(2) 奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱。(3) 在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)必有。(4) 已知函數(shù)是上的奇函數(shù),則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。(5)已知是偶函數(shù),則關(guān)于直線對(duì)稱。題型五 奇偶函數(shù)中的分段問(wèn)題1設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),則-3 2已知是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),求時(shí),的表達(dá)式。3已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),則=-454已知是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),求 5設(shè)偶函數(shù)滿足,則=提示:(1)已知奇函數(shù),當(dāng),則當(dāng)時(shí),。(2)已知偶函數(shù),當(dāng),則當(dāng)時(shí),。類型六 奇函數(shù)的特殊和性質(zhì)1已知函數(shù),求的和為42已知,且,則=03已知,=_-26_4已知函數(shù),若,則()提示:已知滿足,其中是奇函數(shù),則有。題型七 函數(shù)奇偶性的結(jié)合性質(zhì)1設(shè)、是上的函數(shù),且是奇函數(shù),是偶函數(shù),則結(jié)論正確的是.是偶函數(shù) .|是奇函數(shù).|是奇函數(shù) .|是奇函數(shù)2設(shè)函數(shù)和分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是 A是偶函 B是奇函數(shù)C|是偶函數(shù) D|是奇函數(shù)3設(shè)函數(shù)與的定義域是且,是偶函數(shù), 是奇函數(shù),且,求和的解析式, ,。 提示:(1)已知是奇函數(shù),則是偶函數(shù)。(2)已知是上的函數(shù),且也是上的偶函數(shù)和也是上的奇函數(shù),滿足,則有,。題型八 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( )A B C D2下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為(A),xR (B),xR且x0(C),xR (D),xR3設(shè),則( B )A既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C有零點(diǎn)的減函數(shù)D沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)4設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為( )5已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減,若,則的取值范圍是.6已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加,則滿足的取值范圍是提示:(1)已知是奇函數(shù),且在上是增(減)函數(shù),則在上也是增(減)函數(shù)。(2) 已知是偶函數(shù),且在上是增(減)函數(shù),則在上也是減(增)函數(shù)。(3) 已知是偶函數(shù),必有。題型九 函數(shù)的奇偶性的綜合問(wèn)題1已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒,且,又(1)求證:是奇函數(shù);(2)求證:在R上是減函數(shù);(3)求在區(qū)間上的最值。最大值1,最小值-3。2設(shè),且有,求的取值范圍。練習(xí)題一、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) (2) (3) (4) (5)(5)(6)(7) (8)(9),(10),(11),(12) (13) ,(14),(15),(16),(17)二、利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值1若函數(shù)是偶函數(shù),求的值。02若函數(shù)是奇函數(shù),求的值。43函數(shù)是奇函數(shù),定義域?yàn)椋瑒t的值是 9 4若是奇函數(shù),則 5若函數(shù)為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)_0_.6設(shè)函數(shù)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)_-1_7若函數(shù)是奇函數(shù),則a= .8若為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)_-2_.9若函數(shù)為偶函數(shù),則 1 10若是偶函數(shù),則_.三、 函數(shù)奇偶性定義的應(yīng)用1函數(shù)y=的圖像A(A)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 (B)關(guān)于直線對(duì)稱(C)關(guān)于軸對(duì)稱(D)關(guān)于直線對(duì)稱2已知函數(shù),則 (B ) A. B.為偶函數(shù) C. D.不是偶函數(shù)3若是偶函數(shù),則(為常數(shù)) ( A ) A.是偶函數(shù) B.不是偶函數(shù) C.是常數(shù)函數(shù) D.無(wú)法確定是不是偶函數(shù)4函數(shù)=則為 ( B ) A.偶函數(shù) B.奇函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5已知為奇函數(shù),則為 ( A ) A奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6已知點(diǎn)是偶函數(shù)圖像上一點(diǎn),則等(B )A.-3 B.3 C.1 D.-17若點(diǎn)在奇函數(shù)的圖象上,則等于(D)A.0 B.-1 C.3 D.-38已知是奇函數(shù),且.若,則_-1_ .9設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù),則函數(shù),在上一定是( A )A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)10設(shè)是上的奇函數(shù),且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則011已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則_3_.12設(shè)函數(shù)對(duì)于任意都有,求證:是奇函數(shù)。13已知,函數(shù)為奇函數(shù),則 -1 , -7 14已知奇函數(shù)的,且方程僅有三個(gè)根,則的值 015 設(shè)函數(shù)是上為奇函數(shù),且,在的值16已知偶函數(shù),求的個(gè)數(shù)717 已知偶函數(shù),求的個(gè)數(shù)9四、 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)1已知是偶函數(shù),且,則的值為12已知,則的值43已知其中為常數(shù),若,則的值等于( -10 )4已知,則的值 -45已知,則的值 -46已知,則的值 67已知函數(shù),則( )8已知函數(shù)9已知函數(shù),則10設(shè)函數(shù)的最大值為,最小值為,則=_2_11已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),則 11在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(0,且).若,則= 12若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足,則有( D )AB C D13若函數(shù)為上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),則 3 14函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則的值是0 15函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則的值是0 16若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為_(kāi).17設(shè)是上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí)_18已知定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),那么時(shí), .19函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,則 4 20奇函數(shù)的定義域?yàn)?,若為偶函?shù),且,則( 1 )21設(shè)定義在上的奇函數(shù),滿足,那么的值022已知函數(shù)是上的偶函數(shù),當(dāng),都有,且當(dāng)時(shí),則有的值 1五、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用1已知函數(shù)是偶函數(shù),則的遞減區(qū)間是 2設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為( )3已知函數(shù),則(A)是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)(B)是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)(C)是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)(D)是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)4已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若,則的大小關(guān)系為5已知是定義在R上的偶函數(shù),且.若當(dāng) 時(shí),則 .6已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減,若,則的取值范圍是.7已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加,則滿足的取值范圍是8若偶函數(shù)在上是增函數(shù),則下列關(guān)系式中成立的是( D )A BC D9設(shè)偶函數(shù)滿足,則 10已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,若,則的取值范圍是_11已知是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增,若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是( )12已知定義在 上的函數(shù) ( 為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記 ,則 的大小關(guān)系為13是定義在上的偶函數(shù),在上是減函數(shù),且,則使得的的取值范圍是14已知函數(shù)是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,則的單調(diào)遞增區(qū)間是15 已知函數(shù)是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,則的單調(diào)遞減區(qū)間為16已知都是奇函數(shù),如果的解集是,的解集為,則的解集為17 已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),令,則的大小,18已知函數(shù)是上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),則滿足的解集,19設(shè)是奇函數(shù),且在內(nèi)是增函數(shù),又,則的解集是( )20設(shè)是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 21函數(shù)是R上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則下列各式成立的是( B)A BC D22 R上的偶函數(shù)滿足:對(duì)任意的,有.則A.(A) (B) (C) (D) 23設(shè)函數(shù),則是( A )A奇函數(shù),且在上是增函數(shù) B奇函數(shù),且在上是減函數(shù)C偶函數(shù),且在上是增函數(shù) D偶函數(shù),且在上是減函數(shù)24已知函數(shù),則A在(0,2)單調(diào)遞增B在(0,2)單調(diào)遞減Cy=的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱Dy=的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱25函數(shù)在單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)若,則滿足的的取值范圍是26函數(shù)是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí)是增函數(shù),若,求不等式的解集。 27已知是奇函數(shù)并且是上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)的最小值是(5 )28已知定義在上的奇函數(shù),滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則-829 已知函數(shù),求的解集 30已知上的奇函數(shù),求的解集為六、函數(shù)奇偶性綜合應(yīng)用1已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),。若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為2已知函數(shù) 是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增()求的值,并確定的解析式; (),求的定義域和值域 答案:(),;()3已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且同時(shí)滿足下列條件:(1)是奇函數(shù);(2)在定義域上單調(diào)遞減;(3)求的取值范圍。4已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且?duì)任意,都有,且當(dāng)時(shí),恒成立,證明:(1)函數(shù)是上的減函數(shù);(2)函數(shù)是奇函數(shù)。5已知定義在上的奇函數(shù)滿足(1)求的值;0 (2)求證:函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱;(3)若在區(qū)間0,2上是增函數(shù),試比較的大小6已知函數(shù)是奇函數(shù),是偶函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè),若對(duì)任意恒成立 ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.7已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域; (2)判斷函數(shù)的奇偶性;(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.8已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求,的值;,(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.9已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)判斷在上的單調(diào)性
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