北師大版選修45 一般形式的柯西不等式 課件（30張）.pptx

1 2一般形式的柯西不等式 第二章 1柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解并掌握三維形式的柯西不等式 2 了解柯西不等式的一般形式 體會(huì)從特殊到一般的思維過程 3 會(huì)用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問題 問題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 題型探究 內(nèi)容索引 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一三維形式的柯西不等式 思考1類比平面向量 在空間向量中 如何用 推導(dǎo)三維形式的柯西不等式 答案設(shè) a1 a2 a3 b1 b2 b3 思考2三維形式的柯西不等式中 等號(hào)成立的條件是什么 答案當(dāng)且僅當(dāng) 共線時(shí) 即 0或存在實(shí)數(shù)k 使a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3時(shí) 等號(hào)成立 梳理三維形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 a3b3 2 知識(shí)點(diǎn)二一般形式的柯西不等式 1 一般形式的柯西不等式 a1b1 a2b2 anbn 2 2 柯西不等式等號(hào)成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)bi 0 i 1 2 n 或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k 使得 i 1 2 n 時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)向量 a1 a2 an 與向量 b1 b2 bn 共線時(shí) 等號(hào)成立 ai kbi 題型探究 類型一利用柯西不等式證明不等式 命題角度1三維形式的柯西不等式的應(yīng)用例1設(shè)a b c為正數(shù) 且不全相等 證明 因?yàn)轭}設(shè)中a b c不全相等 故 中等號(hào)不成立 反思與感悟有些問題一般不具備直接應(yīng)用柯西不等式的條件 可以通過 1 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以巧拆常數(shù) 2 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以重新安排各項(xiàng)的次序 3 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以改變式子的結(jié)構(gòu) 從而達(dá)到使用柯西不等式的目的 4 構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件 可以添項(xiàng) 證明由柯西不等式知 證明 原不等式成立 命題角度2一般形式的柯西不等式的應(yīng)用 證明 反思與感悟一般形式的柯西不等式看著往往感覺比較復(fù)雜 這時(shí)一定要注意式子的結(jié)構(gòu)特征 一邊一定要出現(xiàn) 方 和 積 的形式 跟蹤訓(xùn)練2已知a1 a2 an r 且a1 a2 an 1 求證 證明 a1 a2 an 2 1 類型二利用柯西不等式求函數(shù)的最值 例3 1 若實(shí)數(shù)x y z滿足x 2y 3z a a為常數(shù) 則x2 y2 z2的最小值為 答案 解析 即14 x2 y2 z2 a2 解 x y z 1 解答 1 2 3 2 36 反思與感悟利用柯西不等式求最值時(shí) 關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊 以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果 同時(shí) 要注意等號(hào)成立的條件 跟蹤訓(xùn)練3已知a 0 b 0 c 0 函數(shù)f x x a x b c的最小值為4 1 求a b c的值 解答 解因?yàn)閒 x x a x b c x a x b c a b c 當(dāng)且僅當(dāng) a x b時(shí) 等號(hào)成立 又a 0 b 0 所以 a b a b 所以f x 的最小值為a b c 又已知f x 的最小值為4 所以a b c 4 解由 1 知a b c 4 由柯西不等式 得 解答 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1 2 4 3 答案 解析 1 2 4 3 a 2b 3c的最小值為9 答案 解析 1 2 4 3 答案 解析 16 當(dāng)且僅當(dāng)a b c d時(shí)取等號(hào) 1 2 4 3 證明 規(guī)律與方法 2 要求ax by z的最大值 利用柯西不等式 ax by z 2 a2 b2 12 x2 y2 z2 的形式 再結(jié)合已知條件進(jìn)行