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指數(shù)、對數(shù)及其運算知識點:1根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根。的次方根用符號表示式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radical exponent),叫做被開方數(shù)(radicand)負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定: (1)零指數(shù)冪 (2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 (3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(5)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.3有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1);(2);(3)(4) (5) 當(dāng)是奇數(shù)時,當(dāng)是偶數(shù)時,4. 無理指數(shù)冪一般地,無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪5對數(shù)的概念一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)(Logarithm),記作: 底數(shù), 真數(shù), 對數(shù)式兩個重要對數(shù): 常用對數(shù)(common logarithm):以10為底的對數(shù); 自然對數(shù)(natural logarithm):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)6. 對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù) 冪底數(shù)對數(shù) 指數(shù)真數(shù) 冪7. 對數(shù)的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù); (2)1的對數(shù)是零:; (3)底數(shù)的對數(shù)是1:;(4)對數(shù)恒等式:;(5)8. 對數(shù)的運算性質(zhì)如果,且,那么: ; ; 9. 換底公式(,且;,且;)利用換底公式可推導(dǎo)下面的結(jié)論(1)對數(shù)的降冪公式 : ; (2)“六法”比較指數(shù)冪大小對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較這就必須掌握一些特殊方法1轉(zhuǎn)化法例1比較與的大小解:,又,函數(shù)在定義域上是減函數(shù),即評注:在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷圖象法例2比較與的大小解:設(shè)函數(shù)與,則這兩個函數(shù)的圖象關(guān)系如圖當(dāng),且時,;當(dāng),且時,;當(dāng)時,評注:對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確3媒介法例3比較,的大小解:,評注:當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時,選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)(通常以“0”或“1”為媒介),分別與要比較的數(shù)比較,從而可間接地比較出要比較的數(shù)的大小作商法例比較與()的大小解:,又,即評注:當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不同,中間量又不好找時,可采用作商比較法,即對兩值作商,根據(jù)其值與1的大小關(guān)系,從而確定所比值的大小當(dāng)然一般情況下,這兩個值最好都是正數(shù)5作差法例5設(shè),且,試比較與的大小解:(1)當(dāng)時, 又,從而(2)當(dāng)時,即又,故綜上所述,評注:作差比較法是比較兩個數(shù)值大小的最常用的方法,即對兩值作差,看其值是正還是負(fù),從而確定所比值的大小6分類討論法例6比較與(,且)的大小分析:解答此題既要討論冪指數(shù)與的大小關(guān)系,又要討論底數(shù)與的大小關(guān)系解:()令,得,或當(dāng)時,由,從而有;當(dāng)時,(2)令,得,(3)令,得當(dāng)時,由,從而有;當(dāng)時,評注:分
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