【提升練習(xí)】 《正方形的性質(zhì)和判定》 （數(shù)學(xué)北師大九上）.docx

正方形的性質(zhì)提升練習(xí)合肥市第三十八中學(xué) 徐晶一選擇題（共2小題）1如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是正方形外一動點(diǎn)，AED=45，P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)E運(yùn)動時，線段PE的最大值為（）A43B32C2+23D2+222將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）cm2A14Bn4Cn-14D14n二解答題（共3小題）3邊長為a的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAE交射線CB于點(diǎn)F，連結(jié)CE（1）若點(diǎn)F在邊BC上（如圖）；求證：CE=EF；若BC=2BF，求DE的長（2）若點(diǎn)F在CB延長線上，BC=2BF，請直接寫出DE的長4（1）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M和N分別是邊BC，CD上兩點(diǎn)，且BM=CN，連AM和BN，交于點(diǎn)P猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動，連接AM和BN，交于點(diǎn)P求APB周長的最大值5已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AHMN于點(diǎn)H（1）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系： ；（2）如圖，當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖，已知MAN=45，AHMN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，求AH的長（可利用（2）得到的結(jié)論）參考答案一選擇題（共2小題）1【解答】解：如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，EO，AED=45，ACD=45，A，C，E，D四點(diǎn)共圓，正方形ABCD的邊長為4，OE=OD=12BD=22，P為AB的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，OP=12AD=2，PEOP+OE=2+22，當(dāng)點(diǎn)O在線段PE上時，PE=OP+OE=2+22，即線段PE的最大值為2+22，故選：D2【解答】解：圖中的正方形，過ABCD的中心O作OMCD于M，作ONBC于N，則易證OEMOFN，則四邊形OECF的面積就等于正方形OMCN的面積，如正方形ABCD的邊長是1，則OMCN的面積是14，因而本題的圖形中的每個陰影部分的面積都相等，都是14，有n個正方形，則重合部分由n1個，則總面積是n-14故選：C二解答題（共3小題）3【解答】解：（1）證明：正方形ABCD關(guān)于BD對稱，ABECBE，BAE=BCE又ABC=AEF=90，BAE=EFC，BCE=EFC，CE=EF過點(diǎn)E作MNBC，垂直為N，交AD于MCE=EF，N是CF的中點(diǎn)BC=2BF，CNBN=14又四邊形CDMN是矩形，DME為等腰直角三角形，CN=DM=ME，ED=2DM=2CN=24a（2）如圖所示：過點(diǎn)E作MNBC，垂直為N，交AD于M正方形ABCD關(guān)于BD對稱，ABECBE，BAE=BCE又ABF=AEF=90，BAE=EFC，BCE=EFC，CE=EFFN=CN又BC=2BF，F(xiàn)C=32a，CN=34a，EN=BN=14a，DE=324a4【解答】解：（1）結(jié)論：AMBN理由：如圖中，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90，BM=CN，ABMBCN，BAM=CBN，CBN+ABN=90，ABN+BAM=90，APB=90，AMBN（2）如圖中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AEB，AEB=90，作EFPA于E，作EGPB于G，連接EPEFP=FPG=G=90，四邊形EFPG是矩形，F(xiàn)EG=AEB=90，AEF=BEG，EA=EB，EFA=G=90，AEFBEG，EF=EG，AF=BG，四邊形EFPG是正方形，PA+PB=PF+AF+PGBG=2PF=2EF，EFAE，EF的最大值=AE=22，APB周長的最大值=4+425【解答】解：（1）如圖AH=AB（2）數(shù)量關(guān)系成立如圖，延長CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，&AB=AD&ABE=ADN&BE=DN，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，DAN+BAN=45，EAB+BAN=45，EAN=45，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，&AE=AN&EAM=NAM&AM=AM，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM和ANM對應(yīng)邊上的高，AB=AH（3）如圖分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD設(shè)AH=x，則MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6分）解得x1=6，x2=1（不符合題意，舍去）AH=6正方形的判定 提升練習(xí)合肥市第三十八中學(xué) 徐晶一選擇題（共2小題）1如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）A2B3C22D232如圖，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成（）A22.5角B30角C45角D60角二解答題（共3小題）3已知：如圖，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的一動點(diǎn)，PECM，PFBM，垂足分別為E、F（）當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長與寬滿足什么條件？試說明理由（）在（）中當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，矩形PEMF變?yōu)檎叫?？為什么?兩個長為2cm，寬為1cm的長方形，擺放在直線l上（如圖），CE=2cm，將長方形ABCD繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)角，將長方形EFGH繞著點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)相同的角度（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D、H重合時，連接AG（如圖），求點(diǎn)D到AG的距離；（2）當(dāng)=45時（如圖），求證：四邊形MHND為正方形5閱讀材料，解決問題小聰在探索三角形中位線性質(zhì)定理證明的過程中，得到了如下啟示：一條線段經(jīng)過另一線段的中點(diǎn)，則延長前者，并且長度相等，就能構(gòu)造全等三角形如圖，D是ABC的AC邊的中點(diǎn)，E為AB上任一點(diǎn)，延長ED至F，使DF=DE，連接CF，則可得CFDAED，從而把ABC剪拼成面積相等的四邊形BCFE你能從小聰?shù)姆此贾械玫絾⑹締?？?）如圖1，已知ABC，試著剪一刀，使得到的兩塊圖形能拼成平行四邊形把剪切線和拼成的平行四邊形畫在圖1上，并指出剪切線應(yīng)符合的條件思考并回答：要使上述剪拼得到的平行四邊形成為矩形，ABC的邊或角應(yīng)符合什么條件？菱形呢？正方形呢？（直接寫出用符號表示的條件）（2）如圖2，已知銳角ABC，試著剪兩刀，使得到的三塊圖形能拼成矩形，把剪切線和拼成的矩形畫在圖2上，并指出剪切線應(yīng)符合的條件參考答案一選擇題（共2小題）1【解答】解：過B點(diǎn)作BFCD，與DC的延長線交于F點(diǎn)，則有BCFBAE（ASA），則BE=BF，S四邊形ABCD=S正方形BEDF=8，BE=8=22故選：C2【解答】解：一張長方形紙片對折兩次后，剪下一個角，是菱形，而出現(xiàn)的四邊形的兩條對角線分別是兩組對角的平分線，所以當(dāng)剪口線與折痕成45角，菱形就變成了正方形故選：C二解答題（共3小題）3【解答】（）法1：答：當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍證明：四邊形ABCD是矩形，A=D=90，AB=DC，又AM=DM，AMBDMC（SAS）AMB=DMC四邊形PEMF為矩形，BMC=90，AMB=DMC=45AM=DM=DC，即AD=2DC當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍；法2：四邊形PEMF為矩形，M為直角，B、C、M三點(diǎn)共圓，BC為直徑，又M為AD的中點(diǎn)，BC=2CD，當(dāng)四邊形PEMF為矩形時，矩形ABCD的長是寬的2倍（）答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BC中點(diǎn)時，四邊形PEMF變?yōu)檎叫蜛MBDMC，MB=MC四邊形PEMF為矩形，PEMB，PFMC又點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，PE=PF=12MC四邊形PEMF為正方形4【解答】（1）解：如圖，作DKAG于點(diǎn)K，CD=CE=DE=2cm，CDE是等邊三角形，CDE=60，（1分）ADG=36029060=120AD=DG=1cm，DAG=DGA=30，（2分）DK=12DG=12cm，點(diǎn)D到AG的距離為12cm（4分）（2）證明：=45，BCEH，NCE=NEC=45，CN=NE，CNE=90，（5分）DNH=90，D=H=90，四邊形MHND是矩形，（6分）CN=NE，DN=NH，（7分）矩形MHND是正方形（8分）5【解答】解：（1）如圖：剪切線EF，E、F分別AB、AC的中點(diǎn)如圖，ABC的邊或角應(yīng)符合的條件：拼成矩形：B=90：拼成菱形：AB=2BC：拼成正方形：B=90且AB=2BC（2）如圖（答案不唯一）剪切線應(yīng)符合的條件：剪切線EF是中位線正方形的性質(zhì)與判定提升練習(xí)合肥市第三十八中學(xué) 徐晶一填空題（共2小題）1如圖，在正方形ABCD中，過B作一直線與CD相交于點(diǎn)E，過A作AF垂直BE于點(diǎn)F，過C作CG垂直BE于點(diǎn)G，在FA上截取FH=FB，再過H作HP垂直AF交AB于P若CG=3則CGE與四邊形BFHP的面積之和為 2如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，B=90，ADC=ACB+45，BC=AB+3，若AC=CD，則邊AD的長為 二解答題（共3小題）3在RtAEB中，AEB=90，以斜邊AB為邊向RtAEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O（如圖1）（1）求證：EO平分AEB（2）試猜想線段OE與EB，EA之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明（3）過點(diǎn)C作CFEB于F，過點(diǎn)D作DHEA于H，CF和DH的反向延長線交于點(diǎn)G（如圖2），求證：四邊形EFGH為正方形4如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA=EB=FC=GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形若正方形ABCD的邊長為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為 cm25如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，畫PAHD，PBEA，PCFB，PDGC，請證明：以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形參考答案一填空題（共2小題）1【解答】解：四邊形ABCD為正方形，AB=BC，ABC=90，即CBG+ABF=90，又CGBE，即BGC=90，BCG+CBG=90，ABF=BCG，又AFBG，AFB=BGC=90，ABFBCG，AF=BG，BF=CG=FH=3，又FH=BF，AH=FG，設(shè)AH=FG=x，PHAF，BFAF，AHP=AFB=90，又PAH為公共角，APHABF，PHBF=AHAF，即PH=3xx+3，PHBF，BP不平行FH，四邊形BFHP為梯形，其面積為3(3xx+3+3)2=9x2(x+3)+92；又BCG+ECG=90，ECG+BEC=90，BCG=BEC，又BGC=CGE=90，BCGCEG，BGCG=CGGE，即GE=9x+3，故RtCGE的面積為1239x+3，則CGE與四邊形BFHP的面積之和為9x2(x+3)+92+272(x+3)=9(x+3)2(x+3)+92=9故答案為：92【解答】解：作DCH=ACB，并過D作DHCH于H，延長HD交BA延長線于K，如圖所示：設(shè)DCH=ACB=x，AC=CD，DAC=ADC=x+45，ACD=1802（x+45）=902x，BCH=90，在ABC和DHC中，ACB=DCHB=DHC=90AC=DC，ABCDHC（AAS），BC=HC，AB=DH，四邊形BCKH是正方形，K=90，BK=HK，AK=DK=BCAB=3，ADK是等腰直角三角形，AD=AK2+DK2=6故答案為：6二解答題（共3小題）3【解答】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABC=BAD=90，ACBD，ABO=BAO=45，AOB=90，AEB+AOB=90+90=180，A、O、B、E四點(diǎn)共圓，OA=OB，OEB=OEA，即EO平分AEB；（2）解：AE+BE=2OE理由：如圖1，延長EA至點(diǎn)F，使AF=BE，連接OF，由（1）知，OBE+OAE=180，OAE+OAF=180，OBE=OAE，在OBE與OAF中，&OB=OA&OBE=OAF&BE=AF，OBEOAF（SAS），OE=OF，BOE=AOFBOE+AOE=90，AOF+AOE=90，EOF=90，EOF是等腰直角三角形，2OE2=EF2，即2OE2=（AE+BE）2，AE+BE=2OE（3）證明：如圖2所示，ABCD是正方形，E=H=90，AB=ADEAB+DAH=90，EAB+ABE=90，ADH+DAH=90，EAB=HAD，ABE=DAH在ABE與ADH中，&EAB=HAD&AB=AD&ABE=DAH，ABEADH（ASA）同理可得，ABEADH，ADHDCG，DCGCBF，CG+FC=BF+BE=AE