土木工程制圖第三章點(diǎn),直線和平面的投影

.,第3章點(diǎn)、直線和平面的投影,教學(xué)提示：任何形體，不論其復(fù)雜程度如何，都可以看成由空間幾何元素點(diǎn)、線、面所組成。本章主要研究點(diǎn)、各種位置直線、各種位置平面的投影規(guī)律和圖示方法，為正確繪制和閱讀形體的投影圖打基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)要求：掌握點(diǎn)、直線和平面的投影規(guī)律和方法，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中要注意將所學(xué)內(nèi)容與實(shí)際工程結(jié)合起來(lái)，以加強(qiáng)空間想象能力。,.,3.1點(diǎn)的投影,如右圖所示，一個(gè)形體由多個(gè)側(cè)面圍成，各側(cè)面相交于多條側(cè)棱，各側(cè)棱相交于多個(gè)頂點(diǎn)A、B、CJ等。如果畫(huà)出各點(diǎn)的投影，再把各點(diǎn)的投影一一連接，就可以作出一個(gè)形體的投影。點(diǎn)是形體的最基本的元素。點(diǎn)的投影規(guī)律是點(diǎn)、線、面投影的基礎(chǔ)。,.,一、點(diǎn)的單面投影,1）過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。2）點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。,.,二.點(diǎn)的兩面投影,點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：1)點(diǎn)的水平投影和正面投影之間的連系線垂直于OX軸。aaOX。2)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)A到V面的距離aaX=Aa。3)點(diǎn)的正面投影到OX軸的距離等于空間點(diǎn)A到H面的距離aaX=Aa。,.,空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。,三.點(diǎn)在三面投影體系中的投影,.,點(diǎn)的三面投影規(guī)律：(1)投影之間連系線垂直于投影軸，aaOX，aaOZ。(2)點(diǎn)的H面投影a到OX的距離等于點(diǎn)的W面投影a到OZ軸的距離，aaX=aaZ。,(a)空間狀況(b)展開(kāi)圖(c)投影圖,.,例1：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過(guò)作45線使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,.,例2：已知點(diǎn)的兩面投影，求第三投影，如下圖所示。,(a)已知(b)作圖,分析：因?yàn)楦鶕?jù)點(diǎn)的任意兩面投影可以求出第三投影。,.,四、特殊位置的點(diǎn),注意：A點(diǎn)的側(cè)面投影a應(yīng)在OYW軸上，C點(diǎn)的水平投影應(yīng)在OYH軸上。,.,五、點(diǎn)的坐標(biāo),已知點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，可作出該點(diǎn)的三面投影，已知點(diǎn)的三面投影，可以量出該點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)。,.,例3：已知點(diǎn)A(18，15，20)，作點(diǎn)A的三面投影圖和立體圖，如下圖所示。,分析：由于已知點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)，可作出該點(diǎn)的三面投影圖，并且點(diǎn)的空間位置可用坐標(biāo)來(lái)確定。,方法一方法二立體圖,.,六、空間兩點(diǎn)的相對(duì)位置,1.相對(duì)位置的判斷兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左，小的在右。Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前，小的在后。Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上，小的在下。,。,A在B的左、前、下方,.,作圖步驟：,1）在a左方12mm，上方8mm處確定b；2）作bbOX軸，且在a前10mm處確定b；3）按投影關(guān)系求得b。,ay,ay,Z,a,a,ax,az,X,YH,YW,O,a,例4：如圖，已知點(diǎn)A的三投影，另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求點(diǎn)B的三個(gè)投影。,.,空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。,A、C為H面的重影點(diǎn),a,a,c,被擋住的投影加(),(),ac,2.重影點(diǎn),.,H面重影點(diǎn)V面重影點(diǎn)W面重影點(diǎn),重影點(diǎn),.,例5：已知形體的立體圖及投影圖，試在投影圖上標(biāo)記形體上的重影點(diǎn)的投影，如下圖所示。,.,一般情況下，直線的投影仍為直線。兩點(diǎn)確定一條直線，將直線上兩點(diǎn)的同名投影用直線連接起來(lái)，就得到直線的三個(gè)投影。,一、直線的投影,X,Z,YH,YW,o,直線的投影規(guī)定用粗實(shí)線繪制。,1.直線投影的形成,3.2直線的投影,直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性,直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)ab=AB,直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcos,直線與投影面的相對(duì)位置,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統(tǒng)稱特殊位置直線,一、各種位置直線投影,.,1.投影面平行線,(1)投影面平行線是指在空間與一個(gè)投影面平行同時(shí)與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線。(2)投影面平行線分為水平線、正平線、側(cè)平線。水平線與H面平行同時(shí)與V面、W面傾斜。正平線與V面平行同時(shí)與H面、W面傾斜。側(cè)平線與W面平行同時(shí)與H面、V面傾斜。(3)投影面平行線的投影特點(diǎn)為：在它所平行的投影面上的投影反應(yīng)其實(shí)長(zhǎng)并且反映與另外兩個(gè)投影面的傾角。,.,投影面平行線,(a)水平線(b)正平線(c)側(cè)平線,.,Z,YW,水平線,YH,1）在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角。2）另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。,側(cè)平線,正平線,投影特性,與H面的夾角:與V面的夾角:與W面的夾角:,投影面平行線投影特性,.,水平線正平線側(cè)平線,投影面平行線在形體投影圖和立體圖中的位置,.,2.投影面垂直線,(1)投影面垂直線是指在空間與一個(gè)投影面垂直，同時(shí)與另外兩個(gè)投影面平行的直線。(2)投影面垂直線分為鉛垂線、正垂線、側(cè)垂線。鉛垂線與H面垂直同時(shí)與V面、W面平行。正垂線與V面垂直同時(shí)與H面、W面平行。側(cè)垂線與W面垂直同時(shí)與H面、V面平行。(3)投影面垂直線的投影特點(diǎn)為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)，另外兩個(gè)投影垂直于相應(yīng)的投影軸，如圖3.15所示。,.,投影面垂直線,(a)水平線(b)正平線(c)側(cè)平線,.,（1）在其垂直的投影面上，投影有積聚性。（2）另外兩個(gè)投影,反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。,投影特性,投影面垂直線投影特性,.,鉛垂線正垂線側(cè)垂線,投影面垂直線在形體投影圖和立體圖中的位置,投影特性：,三個(gè)投影都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的真實(shí)大小，且與各投影軸都傾斜。,返回,x,yH,yw,z,3.一般位置直線,.,x,z,y,A,B,b,b,a,a,=ab,B0,Za,BB。=Bb-bB。,實(shí)長(zhǎng),=Zb-Za=Z,Za,直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和傾角,.,在直角三角形中,O,X,a,b,a,b,B。,Z,Z,實(shí)長(zhǎng),O,X,a,b,Za,Zb,Z,求直線段AB的實(shí)長(zhǎng)和傾角,.,1）H面投影長(zhǎng)、Z坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)。2）V面投影長(zhǎng)、Y坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)。3）W面投影長(zhǎng)、X坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)。,1、直角三角形法的四要素：投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差、實(shí)長(zhǎng)和傾角,2、應(yīng)用總結(jié)：不同條件的四要素,總結(jié),.,直線對(duì)投影面的傾角、,直角三角形法求直線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角,.,已知作圖,例1：用直角三角形法求、,.,o,a,b,a,x,例2：已知直線AB的投影ab和a及AB=35mm，B點(diǎn)在A點(diǎn)的前方，求b。,分析：由點(diǎn)的投影規(guī)律可知，b必定位于b正下方的H投影面上，只要作出A、B兩點(diǎn)的Y坐標(biāo)差，即可以確定b。,.,o,a,b,a,x,作圖過(guò)程及結(jié)果,.,二、直線上的點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上且符合點(diǎn)的投影規(guī)律。直線上兩線段長(zhǎng)度之比等于它們的同名投影長(zhǎng)度之比，即AC：CB=ac：cb=ac：cb=ac：cb。,.,點(diǎn)C不在直線AB上,點(diǎn)C在直線AB上,返回,x,x,o,o,例3：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,.,Z,a,b,因c不在ab上，故點(diǎn)C不在AB上。,應(yīng)用等比定理,a,b,c,a,b,c,另一判斷法?,X,o,YH,YW,例4：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。,.,例3.8：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上,.,三、兩直線的相對(duì)位置關(guān)系,平行相交交叉垂直,空間兩直線的相對(duì)位置,廠房形體,分為,.,1.平行兩直線,投影特性：,空間兩直線平行則其各同面投影必相互平行；各同名投影的長(zhǎng)度之比相等；各同名投影的指向相同。,ABCD，則abcd、abcd、abcdABCD=abcd=abcd=abcd,.,若兩直線的三組同面投影都平行：則兩直線在空間平行。若兩一般位置直線：任意兩組同面投影平行，則可判斷兩直線在空間平行。若兩直線同時(shí)平行于某一投影面：則需通過(guò)兩直線在該投影面上的投影來(lái)判斷；或者通過(guò)定比性和指向來(lái)判斷。,判斷方法：,.,對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,AB/CD,例5：判斷圖中兩條直線是否平行,.,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。,求出W面投影后可知：AB與CD不平行。,X,o,YH,YW,例6：判斷圖中兩條直線是否平行。,.,投影特點(diǎn)：,若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。,交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn),2.相交兩直線,.,判斷方法：,若兩直線的三組同面投影都相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則兩直線在空間相交；兩一般位置直線，任意兩組同面投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則可判斷兩直線在空間相交；兩直線中其中之一平行于某一投影面，則需作出兩直線在該投影面上的投影來(lái)判斷；或者通過(guò)定比性來(lái)判斷。,.,例7：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。,先作正面投影,o,x,思考：如果給出CD的長(zhǎng)度，解題過(guò)程有何變化？提示：H面投影反映實(shí)長(zhǎng)。,.,分析：因兩直線中CD平行于W投影面，則需作出兩直線在W投影面上的投影來(lái)判斷；或者通過(guò)定比性來(lái)判斷。,例3.10：判斷兩直線AB與CD是否相交。,.,1(2),3(4),兩直線交叉,投影特性：,、是面的重影點(diǎn)，、是H面的重影點(diǎn)。,交叉兩直線既不平行又不相交。其投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。,.,答案：交叉,判斷下列兩直線的位置關(guān)系：,.,直線在H面上投影互相垂直,兩垂直相交直線之一平行于某投影面，另一邊不平行也不垂直于該投影面時(shí)，則在該投影面上的投影是直角。,4.垂直兩直線,.,反之，相交兩直線之一是某投影面的平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則兩直線在空間互相垂直。,.,當(dāng)空間交叉垂直兩直線之一平行于某投影面，另一直線不平行也不垂直于該投影面時(shí)，則這兩直線在該投影面上的投影也垂直。,直線在H面上投影互相垂直,.,反之，交叉兩直線之一是某投影面平行線，且兩直線在該投影面上的同名投影互相垂直，則在空間兩直線互相交叉垂直。,.,c,a,b,d,a,c,b,d,分析：1、點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到垂足的距離的實(shí)長(zhǎng)2、直線AB是水平線,例3.11：求點(diǎn)C到直線AB的距離,.,例3.12補(bǔ)全矩形ABCD的兩面投影。,c,a,c,d,.,一、平面的表示法,不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn),直線及線外一點(diǎn),兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,x,x,x,x,x,o,o,o,o,o,3.4平面的投影,.,實(shí)形性,類似性,積聚性,平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,二、各種位置平面的投影,.,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：,各種位置平面,.,（1)投影面平行面是指在空間與一個(gè)投影面平行同時(shí)與另外兩個(gè)投影面垂直的平面。（2)投影面平行面分為水平面、正平面、側(cè)平面。水平面與H面平行同時(shí)與V面、W面垂直。正平面與V面平行同時(shí)與H面、W面垂直。側(cè)平面與W面平行同時(shí)與H面、V面垂直。（3）投影面平行面的投影特點(diǎn)為：在它所平行的投影面上的投影反應(yīng)其實(shí)形，另外兩個(gè)投影積聚成直線并平行于相應(yīng)的投影軸。,1投影面的平行面,.,1、投影面的平行面,水平面正平面?zhèn)绕矫?.,投影面平行面在形體投影圖和立體圖中的位置,.,2.投影面的垂直面,（1)投影面垂直面是指在空間與一個(gè)投影面垂直同時(shí)與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面。（2)投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面、側(cè)垂面。鉛垂面與H面垂直同時(shí)與V面、W面傾斜。正垂面與V面垂直同時(shí)與H面、W面傾斜。側(cè)垂面與W面垂直同時(shí)與H面、V面傾斜。（3)投影面垂直面的投影特點(diǎn)為：在它所垂直的投影面上的投影積聚為直線且反映平面與另外兩個(gè)投影面的傾角。,.,鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?2.投影面的垂直面,.,投影面垂直面在形體投影圖和立體圖中的位置,.,3.一般位置平面,一般位置平面在空間與三個(gè)投影面都傾斜，它的三面投影都沒(méi)有積聚性，也不反映平面的實(shí)形及與各投影面的傾角的大小。,.,三、平面上的點(diǎn)和直線,1平面上的點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果在一個(gè)平面上，它一定在這個(gè)平面的一根直線上。如右圖所示的E點(diǎn)，由于它在平面SBC的一根直線DC上，所以它必然在平面SBC上。,.,2.平面上的直線,一直線如果通過(guò)平面上兩個(gè)點(diǎn)或者通過(guò)平面上一個(gè)點(diǎn)且平行于平面上的一條直線，則該直線在該平面上。如右圖所示的直線DC通過(guò)平面SBC上的點(diǎn)D、C，則DC在平面SBC上；直線DF通過(guò)平面上點(diǎn)D且平行于平面上的一條直線BC，則DF在平面SBC上。,.,利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解,x,x,例8：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,平面上的點(diǎn),.,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例9：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,有無(wú)數(shù)解。,x,x,o,o,平面上直線,.,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！,o,x,.,3平面上的投影面平行線,平面上的投影面平行線有以下3種。平面上平行于H面的直線稱為平面上的水平線。平面上平行于V面的直線稱為平面上的正平線。平面上平行于W面的直線稱為平面上的側(cè)平線常用的是平面上的水平線和平面上的正平線。平面上的投影面平行線既符合直線在平面上的幾何條件，又具有投影面平行線的投影特點(diǎn)，因此它的投影特性具有二重性。,.,(a)已知(b)在平面上作水平線(c)在平面上作正平線圖3.43在平面上作水平線和正平線,.,【例3.16】過(guò)平面ABC上點(diǎn)C作平面ABC內(nèi)的水平線，如圖3.44所示。,分析：平面上的投影面平行線既符合直線在平面上的幾何條件，又具有投影面平行線的投影特點(diǎn)。,.,4平面上的最大斜度線,平面