標(biāo)準(zhǔn)與熱點(diǎn)：復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)

高考熱點(diǎn)高考標(biāo)準(zhǔn)與高考標(biāo)準(zhǔn)1.了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義；2掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算；3了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想高考熱點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運(yùn)算.知識點(diǎn)梳理1.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示注意虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)，即的系數(shù)，而不是虛數(shù)部分【詳釋】虛數(shù)單位的理解：的平方等于，即；實(shí)數(shù)可以與進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；與1的關(guān)系：是1的一個(gè)平方根，即是方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；的周期性：, 2.復(fù)數(shù)的分類：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)，是實(shí)數(shù)當(dāng) 時(shí)，是虛數(shù)當(dāng) 時(shí)，是純虛數(shù)當(dāng) 時(shí)，是非純虛數(shù)復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)分類系統(tǒng)表：復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：3.復(fù)數(shù)相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說，如果，那么 ，積為即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只需把運(yùn)算的結(jié)果中的換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù).商為（）方程思想：設(shè)復(fù)數(shù) (、)，除以 (，)，其商為（、)，即 ，由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個(gè)方程組，得于是有: （）分母實(shí)數(shù)化：.( 運(yùn)算律： 加法運(yùn)算滿足交換律: 加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: 乘法滿足運(yùn)算律： 10.常用結(jié)論： ，； ，； 設(shè)為1的立方虛根，即，則 ， ， 例1 題型1 復(fù)數(shù)的概念(2008福建理1) 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A1B2C1或2D-1解析 得或,且，得，選B點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，注意純虛數(shù)一定要使實(shí)部為0且虛部不為0練習(xí) （全國理2）設(shè)是實(shí)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則（） （課本）復(fù)數(shù)與的積是為實(shí)數(shù)的充要條件是（ ） （課本）如果為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（）A1B2 C D1或 題型2 復(fù)數(shù)相等例2（ 2006浙江理2）已知其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則 ( )A1+2i B 1-2i C2+i D2-解析 由已知，得，則，解得，故選C點(diǎn)評在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件中，注意前提條件是、，即當(dāng)、w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 用心 愛心 專心特別地： 【警示】 兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)時(shí)，不能比較它們的大小4.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)，即zabi與abi互為共軛復(fù)數(shù).5.復(fù)平面：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).【警示】 虛軸上的點(diǎn)不都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)關(guān)系的.復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)6復(fù)數(shù)的模： 復(fù)數(shù)zabi的模：z 復(fù)數(shù)模的幾何意義： ，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離7.復(fù)數(shù)的三種表示： 代數(shù)形式； 幾何形式復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，向量復(fù)數(shù)； 三角形式，其中為復(fù)數(shù)的模；當(dāng)時(shí)，叫做復(fù)數(shù)的復(fù)角復(fù)數(shù)0的復(fù)角是任意的8.數(shù)系的擴(kuò)充： 在復(fù)數(shù)集中，方程，當(dāng)時(shí)的根為 .復(fù)數(shù)的運(yùn)算： 設(shè)，(、)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和、差為 、時(shí)， ，但忽略條件后，則不能成立因此解決復(fù)數(shù)相等問題，先將復(fù)數(shù)變形為（）的形式，也就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分離出來，再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題練習(xí) （2005廣東理2）若，其中，為虛數(shù)單位，則 ( )A0 B2 C D5 （2006湖北理11）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則 4 題型 開方運(yùn)算例3的平方根是 解析設(shè)，其中，所以解得或，故的平方根是練習(xí)的平方根是 題型 復(fù)數(shù)中的方程思想例4（2007全國理）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）AB CD解析，選C點(diǎn)評視為未知數(shù)，解關(guān)于的方程是好招練習(xí) (2004遼寧理4)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,則1+z= ( )A 0 B1 C D 2 （2006上海理5）若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足2，（為虛數(shù)單位），則 題型5 復(fù)數(shù)方程例5(2008上海文7) 若是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根，且，則 解析設(shè)（），則方程的另一個(gè)根為,且若關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的根不是實(shí)數(shù)，則兩個(gè)虛根互為共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)這一特點(diǎn)可以簡化運(yùn)算。，由韋達(dá)定理，得：所以 變式點(diǎn)評本題考查一元二次方程根的意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識（2007上海理12）已知，且（是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值分別是（） 例6設(shè)關(guān)于的方程有實(shí)根，求銳角及這個(gè)實(shí)根解析設(shè)實(shí)數(shù)根為，則，即，引入實(shí)根，進(jìn)入方程，利用復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)問題化實(shí)數(shù)問題求解。且，又變式點(diǎn)評這種解法是解這類方程的基本方法，利用復(fù)數(shù)相等實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想已知關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)滿足（） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 題型6 復(fù)數(shù)的待定系數(shù)法例7（2009陜西理2）已知z是純虛數(shù),是實(shí)數(shù),那么z等于 （ ）A 2i Bi C-i D-2i 解析 設(shè)（）,代入 由于其為實(shí)數(shù)，b= -2, 故選D. . 練習(xí)（2004廣東14）已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z = 2i . 題型7 復(fù)數(shù)的幾何意義例8(2003上海春) 復(fù)數(shù)(,為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析，因?yàn)?，所以不可能為正?shù)，同時(shí)為負(fù)數(shù)，即不可能，同時(shí)，故對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限，選A點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)運(yùn)算的知識，每一個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都有一個(gè)點(diǎn)與之對應(yīng)先將復(fù)數(shù)變形為（）的形式，再根據(jù)所在的位置求解練習(xí) （2007遼寧理5）若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2006北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 ( )A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 題型8 復(fù)數(shù)的運(yùn)算利用復(fù)數(shù)的三角形式例9（2002新理）復(fù)數(shù)的值是 ( )A-i Bi C -1 D1解析抓結(jié)構(gòu)特征，巧妙求解例10(2004重慶)設(shè)復(fù)數(shù)，則z2-2z=( )A -3 B3 C-3i D3i解析， z2-2z=練習(xí)（2006廣東）若復(fù)數(shù)滿足方程，則（ ）A. B. C. D. (1993全國)當(dāng)時(shí), 的值等于( )A1 B-1 C D例11利用常用結(jié)論，巧妙求解(2004湖南)復(fù)數(shù)的值是 ( )A. B. - C. 4 D. -4解析練習(xí) （湖南）復(fù)數(shù)等于( ) (2005重慶) 復(fù)數(shù)的值是 ( )Ai B -i C22005 D-22005 (2005湖南)復(fù)數(shù)的值是 ( )A-1 B0 C1 D （2005山東理1）（ ）A B C D（2005湖北理3）= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 題型9 與復(fù)數(shù)有關(guān)的小綜合問題例12 (2009湖北理)投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為（ ）A B C D . 【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，故，則可以取1、26，共6種可能，所以.練習(xí)復(fù)數(shù)z+i在映射f下的象為i,則-1+2i的原象為( )A2 B2-i C-2+i D-1+3i若函數(shù)的反函數(shù)為，則（ ）A B C D若，化簡： 定義運(yùn)算，若復(fù)數(shù)滿足，則 1. （2009重慶理2）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為2，則=（ ）A B C D 2. （2009遼寧理2）已知復(fù)數(shù)，那么=（ ）A B C D3. (2009海南、寧夏理2) 復(fù)數(shù)（ ）A0 B2 C-2i D2i4. （2009江西理1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A B C D或 8.（2009廣東理2）設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對虛數(shù)單位，（ ）A5. （2009安徽理1）i是虛數(shù)單位，若（a、bR），則乘積ab的值是（ ）A-15 B-3 C3 156. （2009天津理1）i是虛數(shù)單位，=（ ）A1+2i B-1-2i C1-2i D-1+2i7. （2009四川理3）復(fù)數(shù)的值是（ ） 8. （2009北京理1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限9. （2009陜西理2）已知z是純虛數(shù),是實(shí)數(shù),那么z等于 （ ）A 2i Bi C-i D-2i 10. （2009浙江理3）設(shè)z=1+i（i是虛數(shù)單位），則 （ ）A-1-i B-1+ i C1- i D1+i11. （2009山東理2）復(fù)數(shù)等于（ ） A B C D 12. （2009全國理1）（ ）A B C D 13. （2009全國理2）已知=2+i,則復(fù)數(shù)z=（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A-1+3i B1-3i C3+i D3-