高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)等差與等比數(shù)列綜合問題人教知識(shí)精講

用心 愛心 專心 高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí) 等差與等比數(shù)列綜合問題等差與等比數(shù)列綜合問題人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 期末復(fù)習(xí)等差與等比數(shù)列綜合問題 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 本節(jié)重點(diǎn)是等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)。 【典型例題典型例題】 例 1 在等比數(shù)列中，又知 n a 10 1 ,1000 1 qa ，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的最大值。)lg . lg(lg 1 21nn aaa n b n b 解法解法 1：由已知 nn n qaa 41 1 10 ，則na n n 410lglg 4 )lg . lg(lg 1 21nn aaa n b )4( . )24() 14( 1 n n 2 7 2 ) 1(1 4 n nn n 2 1 , 3 11 nn bbb 即數(shù)列是以 3 為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列。 n b 2 1 令，即 得0 n b0 2 7 n 7n 故的前 6 項(xiàng)均為正值，且 n b0 7 b 所以，的前 n 項(xiàng)和的最大值為 n b 2 21 2 15 36) 2 1 ( 2 56 36 76 SS 解法 2 同解法 1 得是以 3 為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故： n b 2 1 d nn nbSn 2 ) 1( 1 4 ) 1( 3 nn n 16 169 ) 2 13 ( 4 1 4 13 4 2 2 nn n 由，利用二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或*Nn 16 169 ) 2 13 ( 4 1 )( 2 xxf6n 時(shí)，有最大值。7n n S 。 2 21 6 4 13 6 4 1 2 76 SS 用心 愛心 專心 注：注： （1）若是等比數(shù)列且，則數(shù)列（或）是等差數(shù)列， n a0 n alog nk a0k1k 若是等差數(shù)列，那么是等比數(shù)列。 n a n a c)0( c （2）等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)存在最大值；當(dāng)時(shí) n S0, 0 1 da0, 0 1 da 有最小值，這是由于 2121 ) 2 1 ( 2 ) 2 1 ( 2d ad d a n d Sn 當(dāng)最小時(shí)，取最值。| ) 2 1 (| 1 d a n n S 例 2 已知是等差數(shù)列，設(shè)且，求數(shù)列的通 n b n b n a 2 8 1 , 8 5 43253 aaaaa n b 項(xiàng)公式。 解法解法 1：設(shè)的公差為 d，由 n b n b n a 2 則*)(22 2 2 1 1 1 Nn a a dbb b b n n nn n n 故數(shù)列公比為的等比數(shù)列。由已知 n a d q 2 2 1 2 1 8 1 8 5 )1 ( 8 1 8 5 3 3 3 2 3 432 53 a q a qa aaa aa 又由，故，則02 n b n a0q 2 1 q 故 233 3 ) 2 1 () 2 1 ( 2 1 nnn n qaa 又由，即，則 n b n a 2 2 ) 2 1 (2 nbn *)(2Nnnbn 解法解法 2：由已知 8 1 ) 2 1 ( 8 5 ) 2 1 () 2 1 ( 8 1 222 8 5 22 432 53 432 53 bbb bb bbb bb 由為等差數(shù)列，則，上式即 n b 423 2bbb 8 1 ) 2 1 ( 8 5 ) 2 1 () 2 1 ( 3 33 3 2 b dbb 1 1 3 b d 故 dnbbn)3( 3 1)3(1nbn2 nbn 所以的通項(xiàng) n b2 nbn 例 3 三個(gè)數(shù)的乘積為，這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排列后可成為等比數(shù)列，也可以排成等差數(shù)列，8 求這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列。 用心 愛心 專心 解法解法 1：設(shè)排成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)為：aqa q a , 由已知，得8aqa q a 2a 則這三個(gè)數(shù)分別為q q 2, 2, 2 （1）若是和的等差中項(xiàng)，由，化簡(jiǎn)得2 q 2 q242 2 q q ，則0) 1( 2 q1q 故等差數(shù)列為2, 2, 2 （2）若是和的等差中項(xiàng)，由，化簡(jiǎn)得： q 2 2q2 q q 4 22 ，即02 2 qq0) 1)(2(qq 則或2q1q 故等差數(shù)列為或，或。4, 1, 22, 1, 42, 2, 2 （3）若是和的等差中項(xiàng)。q22 q 2 由化簡(jiǎn)得q q 4 2 2 即012 2 qq0) 1)(12(qq 則或 2 1 q1q 故等差數(shù)列為，若或。4, 1, 22, 1, 42, 2, 2 綜上，這三個(gè)數(shù)排成的等差數(shù)列有三種或或。2, 2, 24, 1, 22, 1, 4 解法解法 2：設(shè)排成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為daada, （1）若是和的等比中項(xiàng)，則ada da 即 8)( )( 2 dadaa adada 8)( 0 22 2 daa d 解得 2 0 a d 故等差數(shù)列為。2, 2, 2 （2）若是和的等比中項(xiàng)，則da ada 即 8)( )()( 2 dadaa dadaa 8)( 3 22 2 daa dad 解得或 2 0 a d 1 3 a d 故等差數(shù)列為或。2, 2, 24, 1, 2 （3）若是和的等比中項(xiàng)，則da ada 即 8)( )()( 2 dadaa dadaa 8)( 3 22 2 daa dad 用心 愛心 專心 解得或 2 0 a d 1 3 a d 故等差數(shù)列為或2, 2, 22, 1, 4 綜上，所求等差數(shù)列為或或。2, 2, 24, 1, 22, 1, 4 【模擬試題模擬試題】 一. 選擇題： 1. 等差數(shù)列的第 3，7，10 項(xiàng)成等比數(shù)列，那么公比 q 等于（ ） n a A. B. C. 或 1D. 或 1 4 3 3 4 4 3 3 4 2. 如果正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，其第 3，5，6 項(xiàng)成差數(shù)列，其公比 q 為（ ）1q A. B. C. 2D. 不確定 2 15 2 15 3. 設(shè) ，則)0, 10, 10, 0(, 32 dqqmmppqmpqmpqm dcdbda 且且 a、b、c 是（ ） A. 等差非等比數(shù)列B. 等比非等差數(shù)列 C. 既是等差又是等比數(shù)列D. 既非等差又非等比數(shù)列 4. 設(shè)數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且， n a n b 11 ba ，則（ ） 1212 nn ba A. B. C. D. 11 nn ba 11 nn ba 11 nn ba 11 nn ba 二. 填空題： 1. 互不相等的三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則公cba,bca abc log,log,log 差 d 的值為 。 2. 在這五個(gè)數(shù)中，與都成等比數(shù)列，且成等25, 1cbaba, 125, cbcba, 差數(shù)列，則 。cba: 3. 設(shè)是等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，已知與的等比中項(xiàng)是與 n S n a 3 3 1 S 4 4 1 S 35 3 1 , 5 1 SS 的等差中項(xiàng)為 1，則等差數(shù)列的通項(xiàng) 。 4 4 1 S n a n a 三. 解答題： 1. 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，另三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和分別為 85，76，84，等差數(shù)列三項(xiàng)之和為 126，求這兩個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)。 2. 等差數(shù)列第 1 項(xiàng)是 1，公差是 3；等比數(shù)列第 1 項(xiàng)是 1，公比是，構(gòu)造 n a n b2 新數(shù)列：（照此，在中 n c 487365243121 ,baabaabaabaa n a 每隔兩項(xiàng)依次插入中的一項(xiàng)），設(shè)，求 k 的值及數(shù)列前 k 項(xiàng)和。 n b64 k c n c 用心 愛心 專心 【試題答案試題答案】 一. 選擇題： 1. C 2. B 3. A 4. B 二. 填空題： 1. 2. 或 2 3 d)5( : )2( :15:3:1 3. 或nan 5 12 5 32 1 n a 三. 解答題： 1. 解：由等差數(shù)列三項(xiàng)之和為 126，知中間一項(xiàng)為，三項(xiàng)依次是，42 3 126 42,42d 。d42 等比數(shù)列三項(xiàng)依次是，dd43)42(85 dd42)42(84,344276 又由，化為 2 34)42)(43(dd 0650 2 dd 故或25d26d 當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列三項(xiàng)是 17，42，67，等比數(shù)列三項(xiàng)是 68，34，17；25d 當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列三項(xiàng)是 68，42，16，等比數(shù)列三項(xiàng)是 17，34，68。26d 2. 解：在中， n a3) 1(1) 1( 1 ndnaan 即23 nan 在中，即 n b 1 )2(1 n n b 1 )2( n n b 令，由，得。64 m c6423m22m 由，得64)2( 1 m 7m 當(dāng)中