高三數(shù)學(xué)集合大小定義的基本要求

集合大小定義的基本要求作為集合大小的定義，應(yīng)該滿足什么樣的基本要求?我們當(dāng)然要盡可能地使它符合一般的關(guān)于“大小”的常識和直覺，其中有許多是要比“整體大于部分”更加要緊的。首先，一個集合的大小只應(yīng)該取決于這個集合本身。我們知道一個集合可以用多種方法來構(gòu)造和表示，比如說，A=小于等于2的正整數(shù)B=1, 2C=x2-3x+2=0的根其實都是同一個集合，D=n | n為自然數(shù)，且方程xn+yn=zn有xyz0的整數(shù)解又怎么樣呢?1996年英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一個集合，它里面有兩個元素1和2。我們記得，一個集合由它所含的元素唯一決定，所以它的大小也不能取決于它被表示的方法，或者被構(gòu)造的途徑，它只應(yīng)該取決于它本身。一個集合得和自己一樣大，這個沒有什么好說的;其次，如果集合A不小于(也就是說或者大于，或者一樣大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它們就必須是一樣大的;第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必須不小于集合C。在數(shù)學(xué)上，我們稱滿足這三個條件的關(guān)系為“偏序關(guān)系”(注：嚴格地說，這個偏序關(guān)系并不定義在集合之間，而是定義在集合按“一樣大”這個等價關(guān)系定義出的等價類之間，關(guān)于偏序關(guān)系的嚴格定義的敘述和上面所說的也有區(qū)別，但這些問題在這里并不要緊，你如果看不懂這個注在講什么也不要緊)。如果一個關(guān)于集合大小的定義違反了上面所說的三條之一，這個定義的怪異程度一定會超過上面使用一一對應(yīng)原則的定義!舉個例子，比如說我對某位科幻小說作家的喜愛程度就是一個偏序關(guān)系。如果我喜歡阿西莫夫勝于喜歡凡爾納，而喜歡凡爾納又勝于喜歡克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜歡阿西莫夫。不過一個偏序關(guān)系并不要求任意兩個對象都能相互比較。比如說劉慈欣的水平當(dāng)然不能和克拉克這樣的世界級科幻大師比，但是“喜歡”是一種很個人的事情，作為一個中國人，我對中國的科幻創(chuàng)作更感興趣所以似乎不能說我更喜歡克拉克，但也不能說我更喜歡劉慈欣，而且也不能說同樣喜歡，因為喜歡的地方不一樣所以更確切地也許應(yīng)該說，他們倆之間不能比較。但偏序關(guān)系中存在這樣的可能性，有一個對象可以和兩個不能相互比較的對象中的每一個相比較，比方說我喜歡阿西莫夫勝過劉慈欣和克拉克中的任一個。不過作為集合大小的定義，我們希望能夠比較任意兩個集合的大小。所以，對于任何給定的兩個集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一樣大，這三種情況必須有一種正確而且只能有一種正確。這樣的偏序關(guān)系被稱為“全序關(guān)系”。最后，新的定義必須保持原來有限集合間的大小關(guān)系。有限集合間的大小關(guān)系是很清楚的，所謂的“大”，也就是集合中的元素更多，有五個元素的集合要比有四個元素的集合大，在新的擴充了的集合定義中也必須如此。這個要求是理所當(dāng)然的，否則我們沒有理由將新的定義作為老定義的擴充。 “整體大于部分”原則的困難和一一對應(yīng)原則的優(yōu)點 滿足上面幾條要求的定義，最簡單的就是認為無限就只有一種，所有的無限集合都一樣大，而它們都大于有限集合。這其實是康托爾創(chuàng)立集合論以前數(shù)學(xué)家的看法，所以康托爾把無限分成許多類的革命性做法使得數(shù)學(xué)家們大吃了一驚。但是這樣的定義未免太粗糙了一點，只不過是把“無限集合比有限集合大”換了種方法說罷了，我們看不出這有什么用處。沒有用的定義不要也罷再說在這種定義中，自然數(shù)和正偶數(shù)也一樣多，因為所對應(yīng)的集合都是無限集合。如果我們在上面幾條要求中，再加上“整體大于部分”這條要求會怎么樣呢?我們想像平面上有條射線，射線的一端是原點，然后在上面我們每隔一厘米畫一個點，并在每個點旁邊標(biāo)上1、2、3等，這樣就有無窮個點。那么這個點集和自然數(shù)集合比較大小的結(jié)果應(yīng)該如何?按照我們前面的要求，任何兩個集合都應(yīng)該可以比較大小的。我們很容易想像到，這其實是一條數(shù)軸的正半軸，上面的點就是代表自然數(shù)的那些點，所以這些點的個數(shù)應(yīng)該和自然數(shù)的個數(shù)相同。而且，按照“整體大于部分”的規(guī)定，那些標(biāo)有10、20、30的點的集合比所有點的集合要小。但是“一厘米”實在是非常人為的規(guī)定，如果我們一開始就每隔一分米畫一個點，順著上面的思路，這些點的個數(shù)也該和自然數(shù)一樣多，但是這恰好是按一厘米間隔畫點時標(biāo)有10、20、30的點啊!那些點始終是一樣的，所以它們的個數(shù)不應(yīng)該取決于在它們的旁邊標(biāo)記的是“1、2、3”還是“10、20、30”。再舉一個例子。假設(shè)我給你一個大口袋，里面有無限多個小口袋，上面按照自然數(shù)標(biāo)了號1、2、3。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，依次類推?，F(xiàn)在我當(dāng)著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數(shù)和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點，應(yīng)該是少了，少一條。但是如果我當(dāng)初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數(shù)量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標(biāo)號不應(yīng)該改變口袋的數(shù)量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小只應(yīng)該取決于集合本身，而不應(yīng)該取決于集合的表示方法或構(gòu)造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應(yīng)該知道里面小口袋的數(shù)量，而不用知道我是否做過手腳。這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現(xiàn)，如果堅持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數(shù)和正偶數(shù)的個數(shù)時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說，x=x+1這樣一個數(shù)軸上的坐標(biāo)平移，會將坐標(biāo)上的點集1,2,3變?yōu)?,3,4，一個坐標(biāo)平移居然可以變動點集中元素的個數(shù)!“元素可以一一對應(yīng)的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應(yīng)的方法來比較自然數(shù)和數(shù)軸上(0,1)區(qū)間中點的個數(shù)?在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因為這恰好就是無限集合的特征。如果使用一一對應(yīng)的比較方法，我們發(fā)現(xiàn)它滿足所有第二節(jié)中提出的關(guān)于集合大小定義的要求。而且除了“整體大于部分”這個我們已經(jīng)解釋過的不適用的原則外，不違反其他的直覺和常識。事實上用一一對應(yīng)的方法來比較兩個集合的大小，也是非常符合直觀的。如果有兩盒火柴，我們想比較哪盒中的火柴數(shù)量更多，我們大可不必去數(shù)出每盒中火柴的數(shù)量，那樣很容易出錯。其實只要從不斷地從兩盒火柴中拿掉相同數(shù)量的火柴，最后如果同時兩盒都不剩下火柴，那么就說明數(shù)量一樣多，否則就是還剩有火柴的那盒比較多。而更重要的是，這樣的定義非常有用?？低袪栐谔岢鏊P(guān)于集合的基數(shù)理論后，非常簡潔地證明了“幾乎所有實數(shù)都是超越數(shù)”，而那個時候數(shù)學(xué)家連一個超越數(shù)的實例都還沒有找到!引起第三次數(shù)學(xué)革命的羅素悖論也是從基數(shù)理論中產(chǎn)生出來的。雖然集合的基數(shù)理論現(xiàn)在已經(jīng)為一般的數(shù)學(xué)系學(xué)生和許多數(shù)學(xué)愛好者所熟悉，數(shù)學(xué)家們還是能從中找到非常有趣和深奧的課題，比如說“超大集合理論”，這是關(guān)于一些基數(shù)大得匪夷所思的集合的理論。我們知道對于任何一個集合A，它的冪集P(A)(也就是它所有子集構(gòu)成的集合)一定比它本身大，所以我們可以構(gòu)造一系列的集合A，P(A)，P(P(A)一個比一個大，所以沒有最大的集合。而“超大集合理論”聲稱，存在一個集合B，比前面這一系列集合中的每個都要大!所以說，使用一一對應(yīng)原則來定義集合大小，是數(shù)學(xué)家迫不得已和最佳的選擇。 直覺的合理性和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 在文章的最前面我們提到過，從直覺上說來，自然數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是正偶數(shù)的兩倍，這里難道沒有一點合理的因素在內(nèi)嗎?有時我們會聽到數(shù)學(xué)家說：“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)?！比绻凑找灰粚?yīng)的原則，素數(shù)和自然數(shù)是一樣多的(第一個素數(shù)2對應(yīng)1，第二個素數(shù)3對應(yīng)2，第三個素數(shù)5對應(yīng)3，第n個素數(shù)對應(yīng)n，)，這不矛盾嗎?數(shù)學(xué)并不依賴于直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含著合理的因素。受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人對數(shù)學(xué)的直覺一般來說要比其他人更有合理性，數(shù)學(xué)大師能夠用直覺把握住很深刻的數(shù)學(xué)理論，他們有時會說：“雖然我還沒有一個嚴格證明，但是我知道它是對的?！睌?shù)學(xué)大師的直覺當(dāng)然不是每個人能模仿的，但是我們的確可以改變對一些數(shù)學(xué)物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。當(dāng)我們談到集合的大小，這里所談?wù)摰募蠎?yīng)該是沒有附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的。當(dāng)所比較的集合都是自然數(shù)的子集時，直覺往往會偷偷地把自然數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加在上面。什么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?讓我們先從最一般的集合說起。當(dāng)我們談?wù)摷蠒r，我們只應(yīng)該把它看做一個裝著元素的大袋子，里面的元素之間沒有任何聯(lián)系，比如說自然數(shù)集合，我們應(yīng)該想像那是一個裝了標(biāo)了號的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之間并沒有什么聯(lián)系，10并不一定非得在100的前面出現(xiàn)，如果你把口袋使勁抖抖，里面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這并不改變這個集合這仍然是自然數(shù)集合。所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實是結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個條件，而且每兩個自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個全序關(guān)系，這個關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數(shù)集合，可能會把它想成數(shù)軸上離原點越來越遠的一串點，或者1、2、3、這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個數(shù)的一半，因為每隔一個數(shù)就有一個是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實實地和奇數(shù)球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個”的。 在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了?？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個子集，令p(n)為A中小于n的元素的個數(shù)，我們稱limnp(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。 如果沒有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應(yīng)的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個點，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個點，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點)。除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國著名的布爾巴基學(xué)派就認為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對象，比如說實數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運算(加和乘，減和除是它們的逆運算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點必須在另一些點的“附近”)定義的拓撲結(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的數(shù)學(xué)原理。結(jié)構(gòu)主義的觀點大致來說，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數(shù)學(xué)對象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實也是同一個數(shù)學(xué)對象。在數(shù)學(xué)中我們有時會碰到“同構(gòu)”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。舉一個簡單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個復(fù)數(shù)都可以對應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個點，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對數(shù)，還是平面上的一個點(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對數(shù)和一個點是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實數(shù)對集合和平面點集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱作是復(fù)數(shù)，是同一個數(shù)學(xué)對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=(a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點仍舊是那些，但是因為在上面所定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對象了。 象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價值百萬美金:-)就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓撲結(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓撲結(jié)構(gòu)?另外，證明兩個原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個數(shù)學(xué)對象其實是同一種東西，對于其中一個數(shù)學(xué)對象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對象。本文開頭說到英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費爾馬大定理，他證明的其實是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。 最后舉個搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個是機器人，一個是藍貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個不光彩的“同構(gòu)”例子吧?！耙粋€平面上