高二數(shù)學(xué)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理例題解析人教

高二數(shù)學(xué)中分類計數(shù)原理和步長計數(shù)原理例析首先，本周的教學(xué)內(nèi)容：分類計數(shù)原則和分步計數(shù)原則二。重點和難點焦點：1.分類和計數(shù)的原理有一個作用。有N種方法來完成它。第一種有m1種不同的方法，n種有mn種不同的方法，然后是M1.多種不同的方法來完成它。2.分步計數(shù)原理有一個作用。為了完成它，它需要分成N個步驟。第一步有m1種不同的方法，和mn不同的方法，所以有M1 m2.完成這件事的不同方法。3.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用。困難：1.分類計數(shù)原則與階梯計數(shù)原則的區(qū)別與聯(lián)系兩個基本原則的區(qū)別分類計數(shù)原理(加法)分步計數(shù)原理(乘法)差異一一旦實現(xiàn)了每種類型的一個方法，它就可以獨(dú)立完成，并且每種方法都是最終的結(jié)果。沒有一種方法能獨(dú)立完成這件事。每種方法都獲得中間結(jié)果。只有在每一步完成后，這件事才能完成。差異2各種方法是相互排斥、平行和獨(dú)立的。這些步驟是相互關(guān)聯(lián)的2.分類計數(shù)原理和步進(jìn)計數(shù)原理的應(yīng)用典型例子例1。找出下列集合中的元素數(shù)量。(1)M=(x，y)|x，yN，x+y6 (2)H=x，y|x，yN，1x4，1y5解決方法：(1)分為5類：(1)X=1，Y有5種方法；(ii) x=2，y有4種方法；(iii) x=3，y有3種方法；(iv) x=4，y有2種方法；(v) x=5，y只有一個選擇。所以m有5 4 3 2 1=15個元素。(2)分為兩個步驟：(1)首先選擇X，有4種可能；(ii)y有五種重選的可能性。根據(jù)乘法原理，h有45=20個元素。例2。(1)假設(shè)a=a，B，c，d，e，f，B(x，y，z)，從a到B有多少不同的映射？(2)有多少種方法可以將6個人分成3個車間？(3)有多少不同的計劃讓6個人種3棵樹，每個人種1棵樹？解決方案：(1)它分為6個步驟：首先有3種選擇圖像A的可能性，其次有3種選擇圖像B的可能性，根據(jù)乘法原理，有36=729個不同的映射。(2)將上述(1)中的6人一組作為A，將上述(2)中的3個車間一組作為B。因此，問題被轉(zhuǎn)化為映射問題。如上所述，共有729項計劃。(3)排列第一棵樹有六種可能性，也就是說，六種可能性中的任何一種都可以做到。有5種可能性來安排第二棵樹，4種可能性來安排第三棵樹。仍然有3個人可以參與種植這3棵樹中的任何一棵樹，所以有33種可能性。請求總數(shù)為65433=3240。注意：(一)這個例子表明許多問題可以轉(zhuǎn)化為映射問題。(ii)如果集合a具有n個元素，集合b具有m個元素，則存在從a到b的mn個映射。例3。用六個數(shù)字0，1，2，3，4，5，(1)可以形成多少個不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以形成多少個數(shù)字來允許重復(fù)的三位數(shù)？(3)有多少個數(shù)字可以組成一個不能重復(fù)的三位數(shù)的奇數(shù)？(4)有多少小于1000的自然數(shù)可以不重復(fù)地形成？(5)可以形成多少個大于3000但小于5421的四位數(shù)？解決方案：(1)分為三個步驟：(1)首先選擇100位數(shù)字。由于0不能用作100位數(shù)，因此有五種選擇。(ii)有五種選擇十位數(shù)的方法；(三)選擇單個數(shù)字有四種方法。根據(jù)乘法原理，得到554=100個不同的三位數(shù)。(2)有三個步驟：(1)有五種方法選擇100位數(shù)字；(二)10位數(shù)的6位數(shù)選擇法；(三)選擇單個數(shù)字有六種方法?？偣灿?66=180位數(shù)字。(3)分為三個步驟：(1)先選擇一個數(shù)字，有三種選擇方法；(二)有四種方法可以再次選擇100位數(shù)字；(三)十位數(shù)也是四種選擇。有344=48個三位數(shù)的奇數(shù)。(4)可分為三類：(1)一位數(shù)字，共5位數(shù)字；兩位數(shù)，55=25；(三)三位數(shù)總計554=100。因此，有5 25 100=130個小于1000的自然數(shù)。(5)分為四類：(1)當(dāng)千位數(shù)為3、4之一時，有2543=120；(ii)當(dāng)千位數(shù)為5且百位數(shù)為0，1，2，3，443=48之一時；(iii)當(dāng)千位數(shù)為5，百位數(shù)為4，十位數(shù)為0和1之一時，有23=6；(iv) 5420也是完整條件。因此，有120 48 6 1=175個自然數(shù)。注：排列數(shù)字的問題是最常見的排列和組合問題。應(yīng)該特別注意第一個位置不能是0。例4。(天津，2003)一個城市在中央廣場建了一個花壇，分為六個部分(如圖所示)。目前，將種植4種不同顏色的花。每一部分種植一種花，相鄰部分不能種植相同顏色的花。有多少種不同的種植方法(用數(shù)字回答)。第一步是先涂中間，有4種方法；第二步是畫外圍：要對相關(guān)區(qū)域進(jìn)行分類，最好先畫2號和5號區(qū)域。如果2號和5號顏色相同，則有3種方法涂覆2號和5號區(qū)域，2種方法涂覆6號區(qū)域，2種方法涂覆3號區(qū)域，1種方法涂覆4號區(qū)域，3221=12種方法。如果2號和5號為不同顏色，則有6種方法涂覆2號和5號區(qū)域，1種方法涂覆6號區(qū)域，2種類型涂覆3號區(qū)域：如果3號和5號為相同顏色，則有1種方法涂覆3號區(qū)域，2種方法涂覆4號區(qū)域；如果3號和5號是不同的顏色，則有1種方法涂覆3號區(qū)域和1種方法涂覆4號區(qū)域，此時有61(2111)=18種，總方法為1218=30種。問題解決方案1.分類和計數(shù)的原則，我們應(yīng)該注意以下三點：明確“一件事”是什么意思。也就是說，知道做“一件事”或完成“一件事”在每個問題中都有明確的指示。(2)用加法原理解決“分類”問題。需要分類的事件可以稱為“獨(dú)立事件”，也就是說，完成事件可以獨(dú)立完成，而無需經(jīng)過路線A和路線B。每種方法都可以完成此事。注意各種方法的獨(dú)立性和并列性。否則，如果不獨(dú)立就會有重復(fù)，如果不平行就會有遺漏。(3)在每個問題中，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類也不同。分類的基本要求是，每種方法必須屬于某一個類別(不漏)，任何不同類別的兩種方法都是不同的方法(不重復(fù))。2.分步計數(shù)原則，注意以下三點：(1)明確完成一個事件的含義，即知道在每個問題中完成一個事件需要哪些步驟。(2)“逐步”使用乘法原理，需要分成幾個步驟。每一步都是在事件完成之前完成的。這可以稱為“相關(guān)事件”。注意步驟之間的連續(xù)性。(3)在每個問題上，標(biāo)準(zhǔn)是不同的，一步一步也是不同的。循序漸進(jìn)的基本要求是：首先，要完成一項任務(wù)，必須而且只需要連續(xù)完成幾個步驟，既不能遺漏步驟，也不能重復(fù)步驟；第二，兩步方法是不相關(guān)的，并不斷地相互替代。兩個基本原理的區(qū)別在于前者每次都獲得最終結(jié)果加法原理，而后者每次都獲得中間結(jié)果的乘法原理一、選擇題1.禮堂有四扇門。如果你從一扇門進(jìn)入，然后從另一扇門出去，有不同的方法A.公元前4年7月12日至16年2.產(chǎn)品擴(kuò)展后的項目數(shù)為()A.n m kb.nmkc.2n 2m 2kd.n 10 m 10 k3.將集合1，2，3和1，4，5，6中的每個元素作為點的坐標(biāo)，可以在直角坐標(biāo)系中確定不同點的數(shù)量()。A.公元前24年至23年4.集合A=1，2，3，4，B=A，B，C，D，e，那么從集合A到集合B的映射數(shù)是A.B4 c . 5d . 45.如果-2，-1，0，b 0，1，2，3，c 4，5，則等式(x-a)表明不同的圓有()。A.公元前24年8月16日至36年6.3封信分成4個不同的郵箱，不同的郵件方式有()A.12種，81種，64種，以上均無7.一共有3張卡片，分別寫著1和2，3和5，7和8。將三張卡片A、B和C按順序排列(A在左邊，C在右邊)，可以得到多少不同的3位數(shù)？A.公元前12世紀(jì)36年24世紀(jì)20年代8.如果、和，則有序自然數(shù)對(x，y)有()。A.公元前14年13月12日9.從 1 3，-2，-1，0，1，2，3，取任意3個不同的數(shù)作為拋物方程的系數(shù)。如果拋物線穿過原點，頂點在第一象限，那么就有()這樣的拋物線。A.公元前7年8月9日至10年10.一名電腦用戶計劃購買60元至70元的單片機(jī)軟件和盒裝磁盤，單價不超過500元。根據(jù)需要，將以不同方式購買至少3件軟件和至少2盒磁盤()。A.公元前5年6月7日至8日第二，填空11.五名學(xué)生選擇學(xué)習(xí)英語或俄語，其中四名學(xué)習(xí)英語，三名學(xué)習(xí)俄語，因此選擇一名學(xué)習(xí)英語或俄語的學(xué)生人數(shù)為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12.如果一個人想從一樓走到六樓，眾所周知每層樓都有兩個樓梯，或者他可以乘電梯從一樓到七樓，然后到六樓，那么他有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _種不同的方式。13.可由數(shù)字0，1，2，3，4組成的三位偶數(shù)的個數(shù)是_ _ _ _ _ _ _ _(數(shù)字不能重復(fù))。三?；卮饐栴}14.眾所周知，P=，Q=，如果A，A和B各包含3個元素，那么A和B有多少對？15.假設(shè)A=1，2，3，100，從A中選擇3個不同的數(shù)作為等差數(shù)列，最多可以形成多少個這樣的等差數(shù)列？16.一樓有6本不同的數(shù)學(xué)書，二樓有6本不同的語文書，三樓有5本不同的英語書。(1)從這些書中選擇一本書有多少種不同的方法？(2)從這些書中選擇一本數(shù)學(xué)書、一本語言書和一本英語書有多少種不同的方法？(3)從這些書中拿出3本書，在書架上按順序排列。有多少種不同的安排？17.用0，1，2，3，4，5和6組成四位數(shù)字，不重復(fù)數(shù)字，其中有多少數(shù)字大于2，400？18.整數(shù)75，600有多少個正整數(shù)因子，有多少個奇數(shù)因子？參考答案一、選擇題1.d可以分兩步完成。第一步：是從四扇門中的任何一扇門進(jìn)入，有四種不同的行走方式；在第二步：中，從4扇門中選擇l扇門，有4種不同的行走方式。根據(jù)步數(shù)計算原理，應(yīng)選擇44=16種行走方式。2.B3.d首先用3種方法取出1，2，3中的一個元素，然后用4種方法取出1，4，5，6中的一個元素，用2種方法取出兩個數(shù)作為點的坐標(biāo)，然后(1，1)計算兩次，所以342-1=23種不同的方法可以用來確定23個不同的點。4.根據(jù)映射的定義，元素1有5種圖像，元素2有5種圖像，元素3有5種圖像，元素4有5種圖像。根據(jù)逐步計數(shù)的原理，從A到B的映射數(shù)是n=5555=5。5.由A確定圓的等式可以分為三個步驟：第一步是確定甲有三種不同的選擇方法，第二步是確定乙有四種不同的選擇方法，第三步是確定丙有兩種不同的選擇方法。根據(jù)步數(shù)計算原理，342=24個不同的圓。6.每個字母有4種方法，n=444=64種方法。7.有三種方法來放置卡：ABC。ACB和BAC。當(dāng)根據(jù)ABC放置時，有2種A、2種B和2種C，具有222個222=24個不同的三位數(shù)。8.a當(dāng)x=1，2，3，4，5時，y值分別為5，4，3，2，1。根據(jù)分類和計數(shù)的原則，有5 4 3 2 1=15。9.因為拋物線穿過原點，所以c=o，因此知道c只有一個值。因為拋物線的頂點在第一象限，所以滿足頂點坐標(biāo)，從C=O，a0.b0被代入溶液，所以A -2，-3，-1b 1，2，3，因此所需的拋物線數(shù)量可以由a，b，c :的值確定。在第一步中有三種方法來確定a的值；第二步是確定B值，有3種方法；第三部分確定了C值，并有一種選擇方法?；谥鸩接嫈?shù)的原理，331=9個不同的拋物線。10.方法1:根據(jù)問題的含義，根據(jù)要購買的盒式磁盤的數(shù)量，有三種類型。購買4個磁盤時，只有一種類型。購買3盒磁盤時，有2種軟件：3件或4件。購買2盒磁盤時，你可以購買3、4、5或6件軟件，有4種。因此，有1 2 4=7個不同的選項。方法二：第一，買3個軟件，2盒磁盤，一共320元，還有180元。根據(jù)不再購買磁盤的類別3、另一盒磁盤和另2盒磁盤，模擬方法1顯示了對c的選擇.第二，填空11.512.34.22222+2=34。13.30三?；卮饐栴}14.