方程的根與函數(shù)的零點

1、方程的根與函數(shù)的零點 一、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教課書數(shù)學(xué)I必修本（A版）第94-95頁的第三章第一課時3.1.1方程的根與函數(shù)的的零點。函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶。在現(xiàn)實生活注重理論與實踐相結(jié)合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應(yīng)用，再加上函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一，因此函數(shù)與方程在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位。就本章而言，本節(jié)通過對二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)

2、的情形它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對函數(shù)知識的總結(jié)拓展。之后將函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應(yīng)用，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系滲透“方程與函數(shù)” 思想。總之，本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學(xué)思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”的思想，教好本節(jié)課可以為學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)打下一個良好基礎(chǔ)，因此教好本節(jié)是至關(guān)重要的。二 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析地理位置：學(xué)生大多來自市區(qū)，學(xué)生接觸面較廣，個性較活躍，所以開始可采用競賽的形式調(diào)動學(xué)生積極性；學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異不大，但進一步

3、鉆研的精神相差較大，所以可適當(dāng)對知識點進行拓展。程度差異性：中低等程度的學(xué)生占大多數(shù)，程度較高與程度很差的學(xué)生占少數(shù)。知識、心理、能力儲備：學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會畫簡單函數(shù)的圖象，也會通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學(xué)生理解函數(shù)的零點提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識也足以讓學(xué)生直觀理解函數(shù)零點的存在性，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對于它根的個數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉，學(xué)生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎(chǔ)。但是學(xué)生對其他

4、函數(shù)的圖象與性質(zhì)認識不深（比如三次函數(shù)），對于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學(xué)中應(yīng)加強師生互動，盡多的給學(xué)生動手的機會，讓學(xué)生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。三 設(shè)計思想教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會嚴密思考，并從中找到樂趣教學(xué)原則：注重各個層面的學(xué)生教學(xué)方法：啟發(fā)誘導(dǎo)式四、教學(xué)目標(biāo)以二次函數(shù)的圖象與對應(yīng)的一元二次方程的

5、關(guān)系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法；學(xué)會在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法。讓學(xué)生在探究過程中體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。五、教學(xué)重點難點重點：函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法。難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。六、教學(xué)程序設(shè)計1 方程的根與函數(shù)的零點以及零點存在性的探索1.1方程的根與函數(shù)的零點問題1：解方程（比賽）：6x1=0 ；3x26x1=0 。再比賽解3x36x1=

6、0 設(shè)計意圖：問題1（產(chǎn)生疑問，引起興趣，引出課題）比賽模式引入，調(diào)動積極性，可根據(jù)學(xué)分評定中進行過程性評定加分獎勵，充分調(diào)動學(xué)生積極性和主動性。第三題學(xué)生無法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運算，乘方與開方等運算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x56x1=0 緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法），伽羅瓦（法國）的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀(jì)的中國，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學(xué)生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題。問題

7、2：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖7-11方程與函數(shù)2方程與函數(shù)3方程與函數(shù) 師生互動師：教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點概念。零點概念：對于函數(shù)yf（x）（xD），把使f（x）0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf（x）（xD）的。師：填表格函數(shù)函數(shù)的零點方程的根生：經(jīng)過獨立思考，填完表格師提示：根據(jù)零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？生：經(jīng)過觀察表格，得出第一個結(jié)論師再問：根據(jù)概念，函數(shù)yf（x）的零點與函數(shù)yf（x）的圖象與x軸交點有什么關(guān)系生：經(jīng)過觀察圖像與x軸交點完成解

8、答，得出第二個結(jié)論師：概括總結(jié)前兩個結(jié)論（請學(xué)生總結(jié)）。1）概念：函數(shù)的零點并不是“點”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn),而是實數(shù)。例如函數(shù)的零點為x=-1,32）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)3）方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。師：引導(dǎo)學(xué)生仔細體會上述結(jié)論。再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？生：可以解方程而得到（代數(shù)法）；可以利用函數(shù)的圖象找出零點（幾何法）問題2一方面讓學(xué)生理解函數(shù)零點的含義，另一方面通過對比讓學(xué)生再次加深對二者關(guān)系的認識，使函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。通過對比教學(xué)揭示知識點之間的

9、密切關(guān)系。問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點？師：僅提出問題，不須做任何提示。生：根據(jù)函數(shù)零點的意義探索研究二次函數(shù)的零點情況，并進行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論二次函數(shù)的零點：看），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點），方程有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點第一階段設(shè)計意圖本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點情況，給學(xué)生一個清晰的解題思路。進而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。1.2零點存在性的探索師生互動師：要求生

10、用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖4 A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學(xué)生上臺板書： 生：兩個學(xué)生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交。師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數(shù)曲線交點必在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)。生：觀察下面函數(shù)f（x）0的圖象（如圖5）并回答圖5區(qū)間a，b上_(有/無)零點；f（a）f（b）_0（或）。區(qū)間b，c上_(有/無)零點；f（b）f（c）_0（或）。區(qū)間c，d上_(有/無)零點；f（c）f（d）_0（或）。師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值

11、的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關(guān)系。生：根據(jù)函數(shù)零點的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析總結(jié)概括形成結(jié)論）一般地，我們有：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）f（b）0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點嗎?探求2：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但是否只一個零點？探求3：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）f（b）0 ？探求4：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象不是

12、一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有f（a）f（b）0 ？圖5（反例） 師：總結(jié)兩個條件：1）函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線2）在區(qū)間a，b上有f（a）f（b）0一個結(jié)論：函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點補充：什么時候只有一個零點？（觀察得出）函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)時只有一個零點例2求函數(shù)的零點個數(shù)問題：1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？第三階段設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點存在定理，分析其中各條件的作用,應(yīng)用例1，例2加深對定

13、理的理解3、練習(xí)嘗試(可根據(jù)時間和學(xué)生對知識的接受程度適當(dāng)調(diào)整)1求函數(shù)，并畫出它的大致圖象2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（1）；（2）；3利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：（1）；（2）；師生互動師：多媒體演示；結(jié)合圖象考察零點所在的大致區(qū)間與個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明零點的個數(shù)；讓學(xué)生認識到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點中的重要作用生：建議學(xué)生使用計算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備。第四階段設(shè)計意圖：利用練習(xí)鞏固新知識，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備4、探索研究(可根據(jù)時間和學(xué)生對知識的接受程度適當(dāng)調(diào)整)討論：請大家給方程的一個解的大約范圍，看誰找得范圍更??？師生互動師：把學(xué)生分成小組共同探究，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時間，讓學(xué)生充分研究，發(fā)揮其主觀能動性。也可以讓各組把這幾個題做為小課題來研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的