07 圓的基本性質(zhì)學(xué)生2015暑假 初三數(shù)學(xué)培優(yōu)進(jìn)度二

1、 第七講圓的基本性質(zhì)【圓的基本概念】1 圓的概念：在平面內(nèi)，線段OP 繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)一周，則另一端點(diǎn) P 所形成的封閉曲線叫做圓（circle）.固定的端點(diǎn)O 叫做圓心（center of a circle），線段OP （ = r ）叫做半徑（radius）.以點(diǎn)O 為圓心的圓，記 作“ O ”，讀作“圓O ”.【推廣】 （1） 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O ）的距離都等于定長（半徑r ）.（2） 到定點(diǎn)O 的距離等于定長 r 的所有點(diǎn)都在一個(gè)圓上.2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： （1） 點(diǎn) P 在 O 上 OP = r .（2） 點(diǎn) P 在 O 內(nèi) OP r .3 ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分

2、稱為圓?。╝rc），簡稱弧.用符號(hào)“ ”表示.AB如右圖所示，以 A 、 B 為端點(diǎn)的弧記作 AB ，讀作“弧 AB ”.DCO4 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段，如圖中的 AB 、CD ，叫做弦（chord），經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（diameter）.同圓中：（1）半徑相等；（2）直徑等于半徑的 2 倍.（1） 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.（2） 大于半圓的?。ㄒ话阌萌齻€(gè)字母表示，如圖中的 ACB ）叫做優(yōu)弧.1 / 9 （3） 小于半圓的弧（如圖中的 AB 、 AC 或 BD ）叫做劣弧.（4） 由弦及其所對(duì)弧組成的圖形叫做弓形，如右圖中弦 AB 分 別與 A

3、B 及 ACB 組成的兩個(gè)不同的弓形.5 圓心角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角（central angle）. 如圖AOB.6 圓周角：頂點(diǎn)在圓周上的角叫做圓周角（angle in a circular segment）. 如圖ACB.A7 定理：同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半.（會(huì)證明） B8 弦心距：弦到圓心的距離. 推論：在同（等）圓中，等弦所對(duì)的弦心距相等.O9 同（等）圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧、弦、弦心距都相等.C【思考】同（等）圓中，圓心角、弧、弦、弦心距四組量中，如果某一組相等，是否能得到其余各組量都相等？【答案】能.10圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.【垂徑定理】1

4、定理 1（垂徑定理）：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.C A BOD【思考】如果直徑平分弦，那么“直徑垂直于弦，且直徑平分弦所對(duì)的弧”能否成立？【答案】成立.2 / 9 【例題1】如圖，在 O 中， AB = CD ， AD 、 BC 相交于點(diǎn) E .求證：（1） DABD DCDB ；（2） OE 平分AEC . BDEACO【例題2】如圖， O 是DABC 的外接圓，AE 平分DABC 的外角DAC ，OM AB ，ON AC ， 垂足分別是點(diǎn) M、N ，且OM = ON .求證：（1） AE / /BC ；（2） AO AE .DA ENMOBC【例題3】如圖，已知

5、 AB、CD 是 O 的弦，且 AB = CD ，OM AB ，ON CD ，垂足分別是點(diǎn) M 、 N ， BA 、 DC 的延長線交于點(diǎn) P . 求證： PA = PC .BMAPOCND3 / 9 O 的半徑長為 5，弦 AB 與弦CD 平行， AB = 6,CD = 8 ，求 AB 與CD 之間的距離.【例題4】如圖所示，點(diǎn) P 為 O 弦 AB 的中點(diǎn)，PC OA，垂足為C .求證：PA PB = ACOA .BP【例題5】AOC如圖所示，已知 O 直徑為 10，弦 AB = 6, P 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，求OP 的取值范圍.【例題6】OABP如圖所示，已知以點(diǎn)O 為圓心的兩同心圓，大

6、圓弦 AB 交小圓于C 、 D 兩點(diǎn).【例題7】（1）求證： AC = BD ；（2）若 AB = 8 ， CD = 4 ，求圓環(huán)的面積.BACD【例題8】 DABC 中， AB = AC =10, BC =12 ，求其外接圓半徑.4 / 9 O 的直徑 AB 和弦CD 相交于點(diǎn) E ，已知 AE = 6cm ，EB = 2cm，CEA = 30【例題9】，求CD 的長.【例題10】 ABCD是直角梯形，以斜腰 AB 為直徑作圓，交CD于 E 、 F ，交 BC 于G ，求證：（1） DE = CF ；（2） AE = GF 【例題11】 AB 是 O 的直徑，弦CD 與 AB 相交，過 A

7、、 B 向CD 引垂線，垂足分別為 E 、 F ，求證： CE = DF 【例題12】O 的弦 AB 、 CD 互相垂直于 E ，且 AE = 5cm ， BE =13cm ， O 到 AB 的距離為2 10cm ，求CD 到圓心O 的距離， O 到 E 的距離，及圓的半徑 DGOBAECF5 / 9 【例題13】 已知 AB 為 O 的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦CD AB ，作OCD聯(lián)結(jié) PA 、 PB ，求證： PA = PB .的平分線交 O 于 P 點(diǎn)，COABDP【例題14】O 中， AB 為直徑， CO AB ， D 是CO 的中點(diǎn)， DE / AB ，求證： EC = 2EA.CEDA

8、BO【例題15】 在DABC 中，ACB = 90 ，B = 25 ，以C 為圓心，CA 為半徑的圓交 AB 于 D ，求BAD 的度數(shù).DAC【例題16】 已知 AD 為90 的弧， B 、C 將 AD 三等分，弦 AD 與半徑OB 、OC 相交于 E 、 F .求證： AE = BC = FDOAEFDCB6 / 9 【例題17】 已知 AB 是 O 的直徑， M 、 N 分別是OA 、OB 的中點(diǎn)， CM 垂直于 AB ，DC求證： AC = BD .AMOBN【例題18】 O 是DABC 的外心， BOC =130 ，求A 的度數(shù).AOBCA【例題19】 以 O 的直徑 BC 為邊作等

9、邊DABC ， AB 、 AC 交 O 于 D 、 E .求證： BD = DE = EC .ADECBO如圖，在 O 中，弦 AB 、CD 垂直相交于 E ，求證： BOC + AOD =180 .C【例題20】EABOD在 O 中，半徑OA垂直于OB ，弦 AC 垂直于 BD于 E ，求證： AD / /BC .【例題21】DAEOCB7 / 9 【作業(yè)1】求證：菱形四條邊中點(diǎn)在對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.知梯形 ABCD 內(nèi)接于 O ， AB / /CD ， O 的半徑為4 ， AB = 6 ， CD = 2 ，求梯形【作業(yè)2】ABCD 的面積.DCEF OAB【作業(yè)3】如圖， O 是等腰DABC 的外接圓，AB = AC ，D 是弧 AC 的中點(diǎn)，E 是 BA 延長線上的點(diǎn)， EB / /CD ，已知EAC =144 ，求DAC 的度數(shù)，并證明四邊形 ABCD 是等腰梯形.EADOBC8 / 9 如圖，在 O 的弦 AB 上取 AC = BD ，過C 、D 分別作 AB 的垂線CE 、DF 交O 于【作業(yè)4】E 、 F