排列組合基礎(chǔ)知識及習(xí)題分析

1、排列組合基礎(chǔ)知識及習(xí)題分析在介紹排列組合方法之前我們先來了解一下基本的運算公式！C53（543）/（321）C62（65）/（21）通過這2個例子看出nCmn公式是種子數(shù)M開始與自身連續(xù)的N個自然數(shù)的降序乘積做為分子。以取值N的階層作為分母p53543p66654321通過這2個例子pmn從M開始與自身連續(xù)N個自然數(shù)的降序乘積當(dāng)NM時即M的階層排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個不同的元素中，任取m(mn)個元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”.解答排列、組合問題的思維模式有二：其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”；其二是看問題需要分

2、類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”.分類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟.分步時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算最終完成.兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個與

3、分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理.在解決排列與組合的應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾點：1有限制條件的排列問題常見命題形式：“在”與“不在”“鄰”與“不鄰”在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：“相鄰”問題在解題時常用“合并元素法”，可把兩個以上的元素當(dāng)做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法. “不鄰”問題在解題時最常用的是“插

4、空排列法”. “在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實情求出結(jié)果. 2有限制條件的組合問題，常見的命題形式： “含”與“不含” “至少”與“至多” 在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”. 3 在處理排列、組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法。. * 提供10道習(xí)題供大家練習(xí) 1、三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為（ C ） (A)25個

5、 (B)26個 (C)36個 (D)37個 - 【解析】 根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊 可見最大的邊是11 則兩外兩邊之和不能超過22 因為當(dāng)三邊都為11時 是兩邊之和最大的時候 因此我們以一條邊的長度開始分析 如果為11，則另外一個邊的長度是11，10，9，8，7，6，。1 如果為10 則另外一個邊的長度是10，9，8。2， （不能為1 否則兩者之和會小于11，不能為11，因為第一種情況包含了11，10的組合） 如果為9 則另外一個邊的長度是 9，8，7，。3 （理由同上 ，可見規(guī)律出現(xiàn)） 規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是1197。1（111）6236 2、 （1）將4封信投入

6、3個郵筒，有多少種不同的投法？ - 【解析】 每封信都有3個選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封， 所以分步屬于乘法原則 即333334 （2）3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？ - 【解析】跟上述情況類似 對于每個旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關(guān)系 不夠成分類關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個旅客是4種，再安排第2個旅客是4種選擇。知道最后一個旅客也是4種可能。根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系 即 44443 （3）8本不同的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ - 【解析】分步來

7、做 第一步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取356種 第二步：分配給3個同學(xué)。 P336種 這 里稍微介紹一下為什么是P33 ，我們來看第一個同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個同學(xué)沒有選擇。即321 這是分步選擇符合乘法原則。最常見的例子就是 1，2，3，4四個數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原則。 用P來計算是因為每個步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。 所以該題結(jié)果是566336 3、 七個同學(xué)排成一橫排照相. （1） 某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？ （3600） - 【解析】 這個題目我們分2步

8、完成 第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個位置中的一個 即C5取15 第二步： 剩下的6個人即滿足P原則 P66720 所以 總數(shù)是72053600 （2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？ （1440） - 【解析】 第一步：確定乙在哪個位置 排頭排尾選其一 C2取12 第二步：剩下的6個人滿足P原則 P66720 則總數(shù)是 72021440 （2） 甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的不同排法有多少種？ （3120） - 【解析】特殊情況先安排特殊 第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況 去除3個位置 剩下4個位置供甲選擇 C4取14， 剩下6個位置 先安中間位置 即除了甲乙

9、2人，其他5人都可以 即以5開始，剩下的5個位置滿足P原則 即5P555120600 總數(shù)是46002400 第2種情況：甲不在排頭排尾， 甲排在中間位置 則 剩下的6個位置滿足P66720 因為是分類討論。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和 即 24007203120 （4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ （1440） - 【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個位置變成6個位置，即分步討論 第1： 選位置 C6取16 第2： 選出來的2個位置對甲乙在排 即P222 則安排甲乙符合情況的種數(shù)是2612 剩下的5個人即滿足P55的規(guī)律120 則 最后結(jié)果是 120121440 （5）甲必須在乙的左邊

10、（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520） - 【解析】 這個題目非常好,無論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。 所以我們不考慮左右問題 則總數(shù)是P775040 ,根據(jù)左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數(shù)是504022520 4、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù). （1）能組成多少個四位數(shù)？ （300） - 【解析】 四位數(shù) 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0。 則只有5種可能性 接下來3個位置滿足P53原則54360 即總數(shù)是 605300 （2）能組成多少個自然數(shù)？ （1631） - 【解析】自然數(shù)是從個位數(shù)開始所有情況 分情況 1位數(shù)：

11、C6取16 2位數(shù)： C5取2P22C5取1P1125 3位數(shù)： C5取3P33C5取2P222100 4位數(shù)： C5取4P44C5取3P333300 5位數(shù)： C5取5P55C5取4P444600 6位數(shù)： 5P555120600 總數(shù)是1631 這里解釋一下計算方式 比如說2位數(shù)： C5取2P22C5取1P1125 先從不是0的5個數(shù)字中取2個排列 即C5取2P22 還有一種情況是從不是0的5個數(shù)字中選一個和0搭配成2位數(shù) 即C5取1P11 因為0不能作為最高位 所以最高位只有1種可能 （3）能組成多少個六位奇數(shù)？ （288） - 【解析】高位不能為0 個位為奇數(shù)1，3，5 則 先考慮低位

12、，再考慮高位 即 34P441224288 （3） 能組成多少個能被25整除的四位數(shù)？ （21） - 【解析】 能被25整除的4位數(shù)有2種可能 后2位是25： 339 后2位是50： P424312 共計91221 （5）能組成多少個比201345大的數(shù)？ （479） - 【解析】 從數(shù)字201345 這個6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大 于等于2的6位數(shù)是多少？ 4P554120480 去掉 201345這個數(shù) 即比201345大的有4801479 （6）求所有組成三位數(shù)的總和. （32640） - 【解析】每個位置都來分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+

13、3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 個位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 總和 MM1+M2+M3=32640 5、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進行檢查. （1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？ （152096） 【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的 ，即是從98件合格的取出來的 所以 即C2取2C98取3152096 （2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？ （7224560） 【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個 C2取1C98取47224560 （3）“其中沒有次品”的抽法有多

14、少種？ （67910864） 【解析】則即在98個合格的中抽取5個 C98取567910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的 C100取5C98取57376656 （5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？ （75135424） 【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的 C100取5C98取375135424 6、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（ ） (A)140種 (B)84種 (C)70種 (D)35

15、種 - 【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況 第一種情況：2臺甲1臺乙 即 C4取2C5取16530 第二種情況：1臺甲2臺乙 即 C4取1C5取241040 所以總數(shù)是 304070種 7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_種. - 【解析】至少有3件 則說明是3件或4件 3件：C4取3C46取24140 4件：C4取4C46取146 共計是 4140464186 8、有甲、乙、丙三項任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù), 不同的選法共有（ C ） (A)1260種 (B)2025種 (C)2520種 (D)5040種

16、【解析】分步完成 第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4210 第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2C2取1C1取162112種情況 則根據(jù)分步原則 乘法關(guān)系 210122520 9、12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有_種 C(4,12)C(4,8)C(4,4) 【解析】每個路口都按次序考慮 第一個路口是C12取4 第二個路口是C8取4 第三個路口是C4取4 則結(jié)果是C12取4C8取4C4取4 可能到了這里有人會說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時候，其實將這些分類情況已經(jīng)包含了對不同路的

17、情況的包含。 如果再P33 則是重復(fù)考慮了. 如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因為我們在分配人數(shù)的時候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要P33 10、在一張節(jié)目表中原有8個節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對順序不變，再增加三個節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 990 【解析】 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法 直接解答較為麻煩，故可先用一個節(jié)目去插9個空位，有P(9,1)種方法；再用另一個節(jié)目去插10個空位，有P(10,1)種方法；用最后一個節(jié)目去插11個空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)P(10,

18、1)P(11,1)=990種。 另解：先在11個位置中排上新添的三個節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個位置補上原有的8個節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P3111=990種。 解決排列組合問題的策略 1、 逆向思維法：我們知道排列組合都是對一個元素集合進行篩選排序。我們可以把這個集合看成數(shù)學(xué)上的單位1，那么1ab 就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了， 當(dāng)a不利于我們運算求解的時候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a1b。 例題：7個人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？ 例題：一個正方體有8個頂點 我們?nèi)我膺x出4個，有多少種情況是這4個點可以構(gòu)成四面體的。 例題：用0

19、，2，3，4，5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ） A24個 B30個 C40個 D60個 2、解含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優(yōu)先安排的策略： （1）無關(guān)型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集 例題：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)? （2）包含型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系 例題：用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)? P55P441202496 用0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可組成多少個被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)? 25，75 （3321）2P

20、44362460 （3）影響型：兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。 例題：用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個? 3.解含有約束條件的排列組合問題一采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略 例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有_個。 簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有610=60個 4、解排列組臺混合問題采用先選后排策略 對于排列與

21、組合的混合問題，可采取先選出元素，后進行排列的策略。 例：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有_種。144 5、插板法 插板法的條件構(gòu)成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個 插板法的類型： （1）、10塊奶糖分給4個小朋友，每個小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點評略） （2）、10塊奶糖分給4個小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法： 這個題目對照插板法的3個條件我們發(fā)現(xiàn) 至少滿足1個這個條件沒有， 所以我們必須使其滿足，最好的方法 就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊 ，當(dāng)每個人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題） （

22、3）、10塊奶糖放到編號為1，2，3的3個盒子里，每個盒子的糖數(shù)量不少于其編號數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法： 已然是最后一個條件不滿足，我們該怎么處理呢，應(yīng)該學(xué)會先去安排 使得每個盒子都差1個，這樣就保證每個盒子必須分得1個，從這個思路出發(fā)，跟第二個例題是姊妹題 思路是一樣的 對照條件 想辦法使其和條件吻合?。?（4）、8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為111的盒子里面，每個盒子至少放1個，有多少種方法？（多次插空法 這里不多講，見我排列組合基礎(chǔ)講義） 6、遞歸法（枚舉法） 公考也有這樣的類型， 排錯信封問題，還有一些郵票問題 歸納法： 例如：5封信一一對應(yīng)5個信封，其中有3個封

23、信裝錯信封的情況有多少種？ 枚舉法：例如：10張相同的郵票 分別裝到4個相同的信封里面，每個信封至少1張郵票，有多少種方法？ 枚舉：8 1，1，1，7 1，1，2，6 1，1，3，5 1，1，4，4 1，2，2，5 1，2，3，4 1，3，3，3 2，2，2，4 2，2，3，3 9種方法！ 疑難問題 1、如何驗證重復(fù)問題 2、關(guān)于位置與元素的相同問題， 例如： 6個人平均分配給3個不同的班級，跟 6個學(xué)生平分成3組的區(qū)別 3.關(guān)于排列組合里面，充分運用對稱原理。 例題： 1，2，3，4，5 五個數(shù)字可以組成多少個十位數(shù)小于個位數(shù)的四位數(shù)？ 例題：7個人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情

24、況有多少種？ 注解：分析2種對立情況的概率，即可很容易求解。 當(dāng)對立情況的概率相等，即對稱原理。 4、環(huán)形排列和線性排列問題。（見我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解） 例如：3個女生和4個男生圍坐在一個圓桌旁。 問有多少種方法？ 例如：3對夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？ 注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個位置都是相對的位置，沒有絕對位置，所以需要有一個人坐下來作為參照位置。 5、幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。 例析立體幾何中的排列組合問題 在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實際應(yīng)用的觀點

25、。 1 點 11 共面的點 例題： 四面體的一個頂點為A，從其它頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有（ ） A30種 B33種 C36種 D39種 答案：B 點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點與它對棱上的中點共面的情況計算在內(nèi)。 12 不共面的點 例2： 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（ ） A150種 B147種 C144種 D141種 解析：從10 個點中任取4個點有C（10，4）210 種取法，其中4點共面的情況有三類：第一類，取出的4個點位于四面體的同

26、一個面內(nèi)，有C（6，2）15種；第二類，取任一條棱上的3 9 個點及對棱的中點，這4點共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個頂點共面，有3種。 以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有21041563141 種。 答案：D。 點評：此題難度很大，對空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。 幾何型排列組合問題的求解策略 有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識，而且還要掌握相關(guān)的幾何知識.這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略. 一 分步求解 例1

27、 圓周上有2n個等分點（n1），以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為_ 解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識，應(yīng)分兩步進行：先從2n個點中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再從余下的(2n2)個點中取一點作為直角頂點，有(2n2)種不同取法故總共有n(2n2)2n(n1)個直角三角形故填2n(n1) 例2： 從集合0、1、2、3、5、7、11中任取3個元素分別作為直線方程AxByC0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點原直線共有_條（結(jié)果用數(shù)值來表示）. 解：因為直線過原點，所以C0. 從1、2、3、5、7、11這6個數(shù)中任取2個作為A、B， 兩數(shù)的順序不同，表示的直線也

28、不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）30 二 分類求解 例3 四邊體的一個頂點為A，從其它頂點與各棱的中點中取3點，使它們和A在同一平面上，不同取法有（ ） (A)30種 (B)33種 (C)36種 (D)39種 解：符合條件的取法可分三類： 4個點（含A）在同一側(cè)面上，有3 30種；4個點（含A）在側(cè)棱與對棱中點的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B. 三 排除法求解 例4 從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有（ ） (A) 8種 (B) 12種 (C) 16種 (D) 20種 解：由六個任取3個面共有 C（6，3）20種，排除掉3個面都相鄰的種數(shù)，即8

29、個角上3個平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20812種，故選(B) 例5 正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有（ ）個？ 解：從7個點中任取3個點，共有C（7，3）35 個，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形3點在同一直線上有3個，故符合條件的三角形共有 35332個 四 轉(zhuǎn)化法求解 例6 空間六個點，它們?nèi)魏稳c不共線，任何四點不共面，則過每兩點的直線中有多少對異面直線？ 解：考慮到每一個三棱錐對應(yīng)著3 對異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個三棱錐. 由于這六個點可構(gòu)成C（6，4）15 個三棱錐，故共有315 45對異面直線. 例7 一個圓的圓周上有10個點，每兩個點

30、連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)最多有幾個？ 解：考慮到每個凸四邊形的兩條對角線對應(yīng)一個交點，則問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個數(shù)顯然可構(gòu)成 C（10，4）210個圓內(nèi)接四邊形，故10個點連成的點最多能在圓中交點210個.6、染色問題： 不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。 環(huán)形染色可采用如下公式解決： An（a1）n+(a-1)(-1)n n表示被劃分的個數(shù)，a表示顏色種類 原則：被染色部分編號，并按編號順序進行染色，根據(jù)情況分類 在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理 例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能

31、種同一種作物。則有多少種種植方法？ ABCDE 例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？ ABCDE例題3：將一個四棱錐的五個頂點染色，使同一條棱的2個端點不同色，且只由五個顏色可以使用，有多少種染色方法？ 例題4：一個地區(qū)分為如圖4所示的五個行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么則有多少種染色方法？ 例題5：某城市中心廣場建造了一個花圃，分6個部分（如圖5） 現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？

32、1. 排列組合題（系列之二）一） 1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。 解析 組成3位數(shù) 我們以其中一個位置(百位,十位,個位)為研究對象就會發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個位置固定 比如是1,那么其他的2個位置上有多少種組合? 這個大家都知道 是剩下的3個數(shù)字的全排列 P32 我們研究的位置上每個數(shù)字都會出現(xiàn)P32次 所以每個位置上的數(shù)字之和就可以求出來了 個位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660 （二） 將“PROBABILITY ”11個字母排成一列，排

33、列數(shù)有_種，若保持P, R, O次序，則排列數(shù)有_種。 解析 這個題目就是直線全排列出現(xiàn)相同元素的問題:在我的另外一個帖子里面有介紹:/read-htm-tid-9487547.html (1)我們首先把相同元素找出來,B有2個, I 有2個 我們先看作都是不同的11個元素全排列 這樣就簡單的多是P11,11 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。 (2)第2個小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！2！3?。? 166320種。 （三） 李先生與

34、其太太有一天邀請鄰家四對夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)： （1）男女間隔而坐。 （2）主人夫婦相對而坐。 （3）每對夫婦相對而坐。（4）男女間隔且夫婦相鄰。 （5）夫婦相鄰。 （6）男的坐在一起，女的坐在一起。 解析 (1) 這個問題也在/read-htm-tid-9487547.html介紹過 先簡單介紹一下環(huán)形排列的特征,環(huán)形排列相對于直線排列缺少的就是參照物.第一個坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個位置都是一樣的. 所以從這里我們就可以看出 環(huán)形排列的特征是 第一個人是做參照物,不參與排列. 下面就來解答6個小問題: (1)先

35、讓5個男的或5個女的先坐下來 全排列應(yīng)該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個時候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種 (2)先讓主人夫婦找一組相對座位入座 其排列就是P11(記住不是P22 ),這個時候其他8個人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88 (3)每對夫婦相對而坐,就是捆綁的問題.5組相對位置有一組位置是作為參照位置給第一個入座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*24=384 (4)夫婦相鄰,且間隔而坐. 我們先將每對夫婦捆綁 那么就是5個元素做環(huán)形全排列 即P44

36、 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*24 因為要互換位置,必須5對夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔) (5) 夫婦相鄰 這個問題顯然比第4個問題簡單多了,即看作捆綁 答案就是P44 但是這里卻是每對夫婦呼喚位置都可以算一種方法的. 即 最后答案是P44*25 (6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個元素做環(huán)形全排列.即P1,1 , 剩下的5個男生和5個女生單獨做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55 （四）在一張節(jié)目表中原有8個節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對順序不變，再增加三個節(jié)目，求共有多

37、少種安排方法？ 解析 這個題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國家公務(wù)員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法 直接解答較為麻煩，我們知道8個節(jié)目相對位置不動,前后共計9個間隔,故可先用一個節(jié)目去插9個空位，有C9取1種方法；這樣9個節(jié)目就變成了10個間隔,再用另一個節(jié)目去插10個空位，有C10取1種方法；同理用最后一個節(jié)目去插10個節(jié)目形成的11個間隔中的一個，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。 方法2: 我們先安排11個位置,把8個節(jié)目按照相對順序放進去,在放另外3個節(jié)目,11個位置選3個出來進行全排列 那就是

38、P11,3=11*10*9=990 （五） 0，1，2，3，4，5五個數(shù)字能組成多少個被25整除的四位數(shù)？ 解析 這里考察了一個常識性的問題 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00 方可. 后兩位是25的情況有:千位只有3個數(shù)字可選(0不能) 百位也是3個可選 即3*3=9種 后兩位是50的情況有:剩下的4個數(shù)字進行選2位排列 P4,2=12種 75不可能，因為數(shù)字中沒有7 00也不可能，因為數(shù)字不能重復(fù) 共計 9+12=21種 2. “插板法”的條件模式隱藏運用分析 在說這2 道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個問題： 插板法排列組合

39、是需要什么條件下才可以使用？這個問題清楚了，我們在以后的答題中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個條件。 這個條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個元素。 注意條件是 至少分得1個元素！ 好我們先來看題目， 例題1：某學(xué)校四、五、六三個年級組織了一場文藝演出，共演出18個節(jié)目，如果每個年級至少演出4個節(jié)目，那么這三個年級演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？【解析】 這個題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個相同的節(jié)目 不區(qū)分！ 發(fā)現(xiàn)3個年級都是需要至少4個節(jié)目以上！ 跟插板法的條件有出入， 插板法的條件是至少1個，這個時候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路 ，為什么我們不把18個節(jié)目中分別給這3個年級各分配3個節(jié)目。 這樣這3個班級就都少1個，從而滿足至少1個的情況了 339 還剩下1899個 剩下的9個節(jié)目就可以按照插板法來解答。 9個節(jié)目排成一排共計8個間隔。分別選取其中任意2個間隔就可以分成3份（班級）！ C8取228 練習(xí)題目： 有10個相同的小球。 分別放到編號為1，2，3的盒子里