高中數(shù)學(xué)必修一-三角恒等變形總結(jié)(采百家之長版)

1、一、三角函數(shù)公式： 兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系S() C() T() 萬能公式sin()=sincos cossin =正余余正符號相同cos()=coscos sinsin =余余正正符號相反 變形公式tan tan tan()(1tan tan ) 積化和差公式和差化積公式sincos=sin(+)+sin(-)cossin=sin(+)-sin(-)coscos=cos(+)+cos(-)sinsin= -cos(+)-cos(-)sin+sin= sin-sin=cos+cos=cos-cos= -tan+ cot=tan- cot= -2cot2概念：下面空格意義 可自己添加內(nèi)容 倍角

2、公式S2C2T2 ： (正用化單角，逆用降次)半角公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2；，=(后面兩個不用判斷符號,更加好用)升冪公式降冪公式1+cos=；1-cos=1sin=()2 1sin 2(sin cos)21sin 2(sin cos )2，1=sin2+ cos2sin=sin2cos2sin2+ cos2=1sincos= 輔助角公式變形公式 其中輔助角與點在同一象限，且 sin cos sin =? 輔助角公式的重要作用:合一變形把形如的函數(shù)轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即：兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的 形式

3、三角形基本公式三倍角公式（1）內(nèi)角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,sin(2A+2B)=? cos(2A+2B)= ? cos=sin, sin=cos （2）面積公式：S=absinC=bcsinA=casinB 以上是三角函數(shù)公式的關(guān)系圖 二、三角恒等變換：一角二名三結(jié)構(gòu)，對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)=化異為同三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點。 常用的數(shù)學(xué)思想方

4、法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如： (1)是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍； 是的二 倍；是的二倍；是的二倍。(2) ；（3）; ()() ()()（4） ；. ； (5)； (6)（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；?、割為弦，變異名為同名。（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有： （4）冪的變換：降

5、冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用升冪化為有理式（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。 三、三角函數(shù)式的化簡運算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手； 基本規(guī)則是：切割化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，和積互化，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。 化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量 使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 四、三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所

6、給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。五、三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。 (3

7、) 證明三角恒等式時，所用方法較多，一般有以下幾種證明方法：從一邊到另一邊，兩邊等于同一個式子，作差法。題型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1已知，求cos。分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1， cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。 。解法二：由得 由得得點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos、 sin、cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促

8、轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)”巧應(yīng)用。例2已知求。分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。解法一：由韋達定理得tan，所以tan解法二：由韋達定理得tan，所以tan ，。點評：(1)本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉題型2：二倍角公式例3化簡下列各式：（1）， （2）。分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（

9、2）由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點。解析：（1）因為，又因， 所以，原式=。（2）原式= =。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。 例4若。分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：由，解法二：， 點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為

10、簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如，題型3：輔助角公式例5已知正實數(shù)a,b滿足。分析：從方程的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。解法一：由題設(shè)得解法二：解法三：點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強；解法三利用了換元法，但實質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。題型4：三角函數(shù)式化簡例6求sin220cos250sin20co

11、s50的值。解析：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70sin70sin70。點評：本題考查三角恒等式和運算能力。例7已知函數(shù). （）求的定義域；（）設(shè)的第四象限的角，且，求的值。解析：（）由得，故在定義域為（）因為，且是第四象限的角, 所以a 故 。函數(shù)y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型5：三角函數(shù)綜合問題例8已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；當(dāng)=1時有最大值,此時，最大值為。點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，

12、特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計算量不大。1(2012重慶高考)設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan ()的值為()A3B1 C1 D3解析：選A由題意可知tan tan 3，tan tan 2，tan()3.2(2012南昌二模)已知cos，則cos xcos的值是()A B C1 D1 解析：選Ccos xcos cos xcos xsin xcos xsin xcos1.3 (2012烏魯木齊診斷性測驗)已知滿足sin ，那么sinsin的值為()A. B C. D 解析：選A依題意得，sinsin

13、sincossincos 2(12sin2).4已知函數(shù)f(x)x3bx的圖象在點A(1，f(1)處的切線的斜率為4，則函數(shù)g(x)sin 2xbcos 2x的最大值和最小正周期為()A1， B2， C.，2 D.，2解析：選B由題意得f(x)3x2b，f(1)3b4，b1.所以g(x)sin 2xbcos 2xsin 2xcos 2x2sin，故函數(shù)的最大值為2，最小正周期為.5 (2012東北三校聯(lián)考)設(shè)、都是銳角，且cos ，sin，則cos ()A. B. C.或 D.或解析：選A依題意得sin ，cos().又、均為銳角，因此0cos()，注意到，所以cos().cos cos()c

14、os()cos sin()sin .6已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2()A B C. D. 解析：選A將sin cos 兩邊平方，可得1sin 2，sin 2，所以(sin cos )21sin 2.因為是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2(sin cos )(cos sin ).7(2012蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)滿足sinsin xcoscos x的銳角x_.答案：解析：由已知可得coscos xsinsin x，即cos，又x是銳角，所以x8化簡_.解析：原式tan(902). 9(2013煙臺模擬)已知角，的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的

15、正半軸重合，(0，)，角的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)是，角的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)是，則cos _.解析：依題設(shè)及三角函數(shù)的定義得：cos ，sin().又0，sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .10已知，tan ，求tan 2和sin的值解：tan ，tan 2，且，即cos 2sin ，又sin2cos21，5sin21，而，sin ，cos .sin 22sin cos 2，cos 2cos2sin2，sinsin 2coscos 2sin.11已知：0，cos. (1)求sin 2的值； (2)求cos的值解：(1)法一：coscoscos s

16、in cos sin ，cos sin ，1sin 2，sin 2.法二：sin 2cos2cos21.(2)0，0，cos()0. cos，sin()，sin，cos().coscoscos()cos.12(2012衡陽模擬) 函數(shù)f(x)cossin，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f()，求tan的值解：(1)f(x)cossinsincossin，故f(x)的最小正周期T4.(2)由f()，得sincos，則22，即1sin ， 解得sin ，又，則cos ，故tan ，所以tan7.1若tan lg(10a)，tan lg，且，則實數(shù)a的值為()A1 B. C1或 D1或

17、10 解析：選Ctan()11lg2alg a0，所以lg a0或lg a1，即a1或.2化簡sin2sin2sin2的結(jié)果是_解析：原式sin21sin21cos 2cossin21. 答案：3已知sin cos ，sin，.(1)求sin 2和tan 2的值；(2)求cos(2)的值解：(1)由題意得(sin cos )2，即1sin 2，sin 2.又2，cos 2，tan 2.(2)，sin， cos，于是sin 22sincos. 又sin 2cos 2，cos 2，又2，sin 2，又cos2，cos ，sin .cos(2)cos cos 2sin sin 2 .1(2012北京西城區(qū)期末)已知函數(shù)f(x)sin2xsin xco