小學(xué)奧數(shù)之方陣問(wèn)題—例題習(xí)題及含答案

1、方陣問(wèn)題知識(shí)導(dǎo)航學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)題）。核心公式：一、實(shí)心方陣1方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問(wèn)題的核心）=每邊數(shù)每邊數(shù)2方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)4）13方陣外一層每邊人數(shù)比內(nèi)一層每邊人數(shù)多24去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)215、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）4二、空心方陣1、外邊人數(shù)=總?cè)藬?shù)4層數(shù)+層數(shù)2、總數(shù)=最外層人數(shù)2 - 最內(nèi)層人數(shù)2 =（最外層每邊數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4 =（最外層數(shù)+最內(nèi)層數(shù)）層數(shù)23、 內(nèi)層數(shù)=外層數(shù)-84、每層數(shù)=（每邊數(shù)-1）45

2、、實(shí)心方陣的總?cè)藬?shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，空心方陣的總?cè)藬?shù)是4的倍數(shù)。例1 四年級(jí)同學(xué)參加廣播操比賽，要排列成每行8人，共8行方陣。排列這個(gè)方陣共需要多少名同學(xué)？解題分析 這是一道實(shí)心方陣問(wèn)題，求這個(gè)方陣?yán)镉卸嗌倜瑢W(xué)，就是求實(shí)心方陣中布點(diǎn)的總數(shù)。排列成每行8人點(diǎn)，共8行，就是有8個(gè)8點(diǎn)。求方陣?yán)镉卸嗌倜瑢W(xué)，就是求8個(gè)8人是多少人？ 解：88=64（人） 答：排列這個(gè)方陣，共需要64名同學(xué)。例2 有一堆棋子，剛好可以排成每邊6只的正方形。問(wèn)棋子的總數(shù)是多少？最外層有多少只棋子？解題分析 依題意可以知道：每邊6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的實(shí)心方陣。根據(jù)方陣問(wèn)題應(yīng)用題的解題規(guī)律，求

3、實(shí)心方陣總數(shù)的數(shù)量關(guān)系，總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù)，從而可以求出棋子的總數(shù)是多少只。而最外層棋子數(shù)則等于每邊棋子數(shù)減去1乘以行數(shù)4，即（6-1）4只。解：（1）棋子的總數(shù)是多少？66=36（只）（2）最外層有多少只棋子？（6-1）4=20（只） 答：棋子的總數(shù)是36只，最外層有20只棋子。例3.三年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式,排成一個(gè)方陣,最外層一周的人數(shù)為20人,問(wèn)方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?分析:根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知:每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1,可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù),那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解:(1)方陣最外層每邊的人數(shù):204+1=5+1=

4、6(人)(2)整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù):66=36(人)答:方陣最外層每邊的人數(shù)是6人,這個(gè)方陣共有36人。例4:學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人?解析：方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：604+1=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：1616=256（人）?！眷柟?】某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)

5、=四周人數(shù)4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：6041=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：1616=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人?！眷柟?】晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？解析：方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解法1：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）4=52（個(gè)）第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）4=44（個(gè)）第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-22-

6、1）4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣共用棋子：52+4436132（個(gè)）解法2：還可以這樣想：中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）層數(shù)4進(jìn)行計(jì)算。（14-3）34=132（個(gè)）答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子?！眷柟?】一個(gè)正方形的隊(duì)列橫豎各減少一排共27人，求這個(gè)正方形隊(duì)列原來(lái)有多少人？解析：依據(jù)：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21可知每邊的人數(shù)是：（人）原人數(shù)是：（人）【鞏固4】小紅用棋子擺成一個(gè)正方形實(shí)心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運(yùn)算，100必然是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)因?yàn)椋ㄈ耍⑶沂菍?shí)心的方陣，所以最外層有10人。例5 一堆棋子排成一個(gè)實(shí)心方陣，共

7、有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？還剩下多少只棋子？解題分析 排成方陣的棋子，無(wú)論排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，無(wú)論去掉哪一行和哪一列，總會(huì)有一只棋子被重復(fù)去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原來(lái)方陣中2行的棋子數(shù)少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的總數(shù)，然后減去去掉的棋子數(shù)，就是剩下的棋子數(shù)。 解：（1）去掉多少只棋子？ 82-1=15（只）（2）還剩多少只棋子？88-15=49（只）答：要去掉15只棋子，還剩下49只棋子。例6 育英小學(xué)四年級(jí)的同學(xué)排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下5人，如果橫豎各增加一排，排

8、成一個(gè)稍大的實(shí)心方陣，則缺少26人。育英小學(xué)四年級(jí)有多少人？解題分析 排成一個(gè)實(shí)心方陣隊(duì)列，還剩下5人，說(shuō)明是多出5人，如果橫豎各增加一排后，缺少26人，說(shuō)明橫豎各增加一排所需要的人數(shù)是5人與26人的和，那么（5+26）人相當(dāng)原來(lái)方陣中兩排的人數(shù)多1人，從（5+26）人中減去角上的1人，再除以2，就可求出原來(lái)方陣中一排的人數(shù)。因此，可求出原來(lái)方陣中的人數(shù)，然后加上剩下的5人，就可求出四年級(jí)的總?cè)藬?shù)是多少人。 解：（1）原來(lái)方陣中每排有多少人？ （5+26-1）2=15（人）（2）四年級(jí)共有多少人？1515+5=230（人） 答：育英小學(xué)四年級(jí)有230人。例7：參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員

9、排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？解析：如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式： 去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)21解 ：方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù) 人方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為（人）【鞏固】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，他們排成了一個(gè)七行七列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，請(qǐng)問(wèn)：要去掉多少名學(xué)生？還剩下多少名

10、學(xué)生？解析：如上圖表示的是一個(gè)4行4列的實(shí)心正方形隊(duì)列，從圖中可以看出正方形隊(duì)列的特點(diǎn)：（1）正方形隊(duì)列每行、每列的人數(shù)相等，因此總?cè)藬?shù)每行人數(shù)每列人數(shù)。（2）去掉橫豎各一排時(shí)，有且只有1人是同時(shí)屬于被減去的一行和一列的，如圖中點(diǎn)A所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)21，或去掉的總?cè)藬?shù)減少后每行人數(shù)21。本題中所求，即去掉的人數(shù)72113（人）或去掉的人數(shù)（71）2113（人）還剩的人數(shù)（71）（71）36（人）或還剩的人數(shù)7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名學(xué)生，還剩下36名學(xué)生。例8 同學(xué)們排成一個(gè)三層的空心方陣。已知最內(nèi)層每邊有6人，這個(gè)方陣共有多少人？解題分析 要

11、求出這個(gè)方陣有多少人，就要先示出這個(gè)方陣最外層每邊多少。已知最內(nèi)層每邊有6人，又知道這個(gè)空心方陣有3層，根據(jù)方陣問(wèn)題應(yīng)用題特點(diǎn)，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊有6+（3-1）2人，即10人。又根據(jù)方陣問(wèn)題應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系：空心陣總?cè)藬?shù)=（外邊人數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4，即可求出這個(gè)方陣共有多少人。 解：6+（3-1）2-334=84（人） 答：這個(gè)方陣共有84人。例9.明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個(gè),明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子?分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè),知道最外面一層,每邊放15個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)

12、數(shù),就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2)根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方陣的層數(shù),再乘以層數(shù),再乘以4,計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋子多少個(gè)。解:(1)最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是:(15-2-2-1)4=40(個(gè))(2)這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是:(15-3)34=144(個(gè))答:這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)空心方陣共用144個(gè)棋子。例10：解放軍戰(zhàn)士排成一個(gè)每邊12人的中空方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？解法1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。（1）中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)：1212=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2（4-1）=6（人）（3）空心方陣人數(shù)

13、：（6-2）（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人）答：總?cè)藬?shù)是128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)外邊人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）（內(nèi)邊人數(shù)-2）解法2：這樣想：把中空方陣分成四個(gè)相等的長(zhǎng)方形。（1）每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8（人）（2）每個(gè)長(zhǎng)方形的寬是層數(shù)：4人（3）總?cè)藬?shù)：844=128（人）答：總?cè)藬?shù)是128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）層數(shù)4【鞏固】學(xué)校開(kāi)展聯(lián)歡會(huì)，要在正方形操場(chǎng)四周插彩旗。四個(gè)角上都插一面，每邊插7面。一共要準(zhǔn)備多少面旗子？解析：依據(jù)求外層個(gè)數(shù)的公式：（邊數(shù)-1）4（面） 例11：一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四

14、個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？解析：從已知條件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍.又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為：（棵）。又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花：（棵）。.再看圖中畫(huà)斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.再計(jì)算大三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過(guò)一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（棵）中間畫(huà)斜線小三角形三條邊上栽花：（棵）整個(gè)花壇共栽花：（棵）答：大

15、三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。例12.玲玲家的花園中,有一個(gè)如下圖那樣,由四個(gè)大小相同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵,問(wèn)大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數(shù)就是52-1=9棵了,又由于大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù)的和減去三個(gè)頂

16、點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù),加上大三角形一周種花的棵數(shù),再減去重復(fù)計(jì)算的3棵花(因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上種花的棵數(shù)是:(52-1)3-3=24(棵)(2)小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是:(5-1)3=12(棵)(3)玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。例13.有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和

17、柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù),柳樹(shù)各多少棵?分析:根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù),白點(diǎn)表示柳樹(shù)觀察圖(1)(2)不管是柳樹(shù)種在方陣最外層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的。因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等,即最外層楊,柳樹(shù)分別為(7-1)42=12(棵)。當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí),最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù),即在方陣中,楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵。解:(1)最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為:(7-1)42=12(棵)(2)當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí),楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵:楊樹(shù):(77+1)2=25(棵)

18、柳樹(shù):77-25=24(棵)(3)當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí),柳樹(shù)比楊樹(shù)多1樹(shù)柳樹(shù)(77+1)2=25(棵)楊樹(shù)77-25=24(棵)答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹(shù)12棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)12棵,方陣中總共有楊樹(shù)25棵,柳樹(shù)24棵,或者有楊樹(shù)24棵,柳樹(shù)25棵。例14. 小紅把平時(shí)節(jié)省下來(lái)的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來(lái)又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少？解一設(shè)正方形每邊x枚硬幣，三角形每邊y枚硬幣，一共有N枚硬幣，根據(jù)公式可得方程組：N=4x4N=3y-3N=

19、60y-x=5，因?yàn)槊棵队矌?分，所以總價(jià)值3元。注釋 這里圍成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根據(jù)數(shù)字特性法：硬幣能?chē)烧切斡矌诺膫€(gè)數(shù)是3的倍數(shù)硬幣的價(jià)值可以三等分根據(jù)選項(xiàng)選擇C。 例15. 要在一塊邊長(zhǎng)為48米的正方形地里種樹(shù)苗，已知每橫行相距3米，每豎列相距6米，四角各種一棵樹(shù)，問(wèn)一共可種多少棵樹(shù)苗?（）解析根據(jù)公式：棵數(shù)=總長(zhǎng)間隔+1。邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距3米，共有483+1=17行；邊長(zhǎng)為48米，每橫行相距6米，共有486+1=9列；可得：179=153（棵），一共可種樹(shù)苗153棵。 【鞏固】同學(xué)們做早操，排成一個(gè)正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個(gè)，這個(gè)方陣

20、共有多少人？解析：如圖，實(shí)心圓表示小明的位置，可以知道，這個(gè)隊(duì)列每行都是9人。解：每行每列數(shù)：（人） 共有：（人）練 一 練1.某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣如果最外層每邊有20個(gè)學(xué)生,問(wèn)這個(gè)空心方陣最里邊一周有多少個(gè)學(xué)生?這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生?2.六一兒童節(jié)前夕,在校園雕塑的周?chē)?用204盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆?3.三年級(jí)(1)班的學(xué)生參加體操表演,排成隊(duì)形正好是由每7個(gè)人為一邊的6個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形,求正六邊形一周共有多少名學(xué)生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?4.現(xiàn)有松樹(shù)和柏樹(shù)以隔株相間的種法,種成9行9列的方陣,問(wèn)這個(gè)方陣

21、最外層有松樹(shù)和柏樹(shù)各多少棵?方陣中共有松樹(shù)柏樹(shù)各多少棵?練 一 練 答 案(1)(20-23-1)4=42(個(gè))(20-4044=256(個(gè))(2)最外層每邊人數(shù)=總數(shù)4層數(shù)+層數(shù)20443+3=20(盆)(3)76-6=36(人) 712-62-5=67(人)(4)最外層松柏各是:(9-1)42=16(棵)共有松柏樹(shù)是:(99+1)2=41(棵)81-41=40(棵)答:柏樹(shù)41棵,松樹(shù)40棵,或松樹(shù)41棵,柏樹(shù)40棵。例16：小明用圍棋子擺了一個(gè)五層中空方陣，一共用了200枚棋子，請(qǐng)問(wèn)：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析1：利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8”的特點(diǎn)，可知最外層共有棋子數(shù)：

22、（200+8+82+83+84）556（個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)：564+115（個(gè)）解析2：如練習(xí)中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數(shù)：200450（個(gè)）每一部分每排的棋子數(shù)：50510（個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)：10515（個(gè)）綜合列式為：20045515（個(gè)）答：最外邊一層每邊有15枚棋子。【鞏固】游行隊(duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車(chē)的四周?chē)擅窟吶龑拥姆疥?，最外邊一層每?2人，請(qǐng)問(wèn)：彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員共有多少人？解析1：請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)一個(gè)圖，下圖是一個(gè)三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點(diǎn)：（1）外層每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2；（2）每相鄰兩層之間，點(diǎn)

23、的總數(shù)相差8個(gè)。最外層隊(duì)員的總數(shù)：（人）三層共有隊(duì)員的總數(shù)：=（人）解析2：如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數(shù)：（123）39327（人）三層共有隊(duì)員數(shù)：274108（人）答：彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員共有108人。這個(gè)問(wèn)題還有別的解法，請(qǐng)同學(xué)們自己試著做一下。例17. 有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是（）。A. 296人B. 308人C. 324人D. 348人答案B解一最外層68人，中間一層44人，則最內(nèi)層為4426820人（成等差數(shù)列）。因此一共有：68-20817（層），總?cè)藬?shù)為447308。 解二中間一層共44人，總?cè)藬?shù)是44層

24、數(shù)，是44的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)直接鎖定B。例18. 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層的人數(shù)共48人，最內(nèi)層人數(shù)為24人，則該方陣共有多少人。A. 120B. 144C. 176D. 194答案B解一設(shè)最外層每邊x人，最內(nèi)層每邊y人，根據(jù)公式：4x-4=484y-4=24x=13y=7因此外層每邊13人，內(nèi)部空心部分每邊7-25人，根據(jù)“逆向法思維”：共有132-52=144人。解二總?cè)藬?shù)（48+24）層數(shù)236層數(shù)，是36的倍數(shù)，直接鎖定B。解三根據(jù)公式：相鄰兩圈相差8，因此很容易得到這幾圈分別為48、40、32、24，直接加起來(lái)即可。例19. 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)7行7列的正方

25、形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？ 分析與解：如下圖： 方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為： （人） 剩下的人數(shù)為： （人） 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊(duì)列，即 （人） 去掉的人數(shù)為： （人）例20. 光明小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問(wèn)四年級(jí)原來(lái)準(zhǔn)備多少人參加表演？ 分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn)可知： 原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）2 即：原來(lái)每行人數(shù)是 （人） 原來(lái)準(zhǔn)備參加表演的人數(shù)： （人） 答：四年級(jí)原準(zhǔn)備196人參加表演。例21. 參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)

26、體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人?分析 如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等;最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)2-1 解析：方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33，則去掉的一行(或一列)人數(shù)=(33+1)2=17方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為1717=289(人)例22. 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)7行7列的正方形隊(duì)列，如果去掉

27、一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？ 分析與解：如下圖： 方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為： （人） 剩下的人數(shù)為： （人） 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊(duì)列，即 （人） 去掉的人數(shù)為： （人） 例23. 光明小學(xué)四年級(jí)原準(zhǔn)備排成一個(gè)正方形隊(duì)列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問(wèn)四年級(jí)原來(lái)準(zhǔn)備多少人參加表演？ 分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據(jù)正方形隊(duì)列的特點(diǎn)可知： 原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）2 即：原來(lái)每行人數(shù)是 （人） 原來(lái)準(zhǔn)備參加表演的人數(shù)： （人） 答：四年級(jí)原準(zhǔn)備196人參加表演。例24. 正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果

28、四個(gè)角都裝一盞，且每邊12盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？ 分析與解：如下圖： 方法一：從圖（1）可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為： （盞） 方法二：按圖（2）把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為： （盞） 答：這個(gè)舞廳四周共裝彩燈44盞。例25. 游行隊(duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車(chē)的四周?chē)擅窟吶龑拥姆疥?。最外層每?2人，問(wèn)彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員共有多少人？ 分析與解： 方法一：這是一個(gè)只有3層的中空方陣，最外層每邊有12人，最外層一共有 （人），第二層每邊少2人，即第二層每邊10人，第二層共有 （人），比第一層總數(shù)少8人，同理，第三層總數(shù)是 （人） 三層共有隊(duì)員

29、的總數(shù)： （人） 方法二：如下圖，可把隊(duì)員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)： （人） 三層共有隊(duì)員數(shù)： （人） 方法三：從12行12列的中實(shí)方陣中減去中間的空心方陣，就是隊(duì)員人數(shù)： （人）例26. 小明用圍棋子擺了一個(gè)五層的空心方陣，共用了200個(gè)棋子，問(wèn)最外邊一層每邊有多少個(gè)棋子？ 分析與解： 方法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8的特點(diǎn)。可知最外層共有棋子數(shù)： （個(gè)） 最外層每邊的棋子數(shù)： （個(gè)） 方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為： （個(gè)），每一部分每排的棋子數(shù)為： （個(gè)） 最外層每邊的棋子數(shù)為： （個(gè)） 列綜合算式： （個(gè)） 答：最外層每邊有棋子15個(gè)。

30、練習(xí)題： 1. 運(yùn)動(dòng)員入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？ 2. 學(xué)校為慶祝“十一”，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有36盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？ 3. 一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有12個(gè)圓片，把4個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？ 4. 有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來(lái)，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？ 5. 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？ 【練習(xí)題答案】 1. 運(yùn)動(dòng)員

31、入場(chǎng)式要求排成一個(gè)9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運(yùn)動(dòng)員？ （人） （人） （人） 答：要減少32名運(yùn)動(dòng)員。 2. 學(xué)校為慶祝“十一”，用盆花擺了一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有36盆花。求這個(gè)方陣共有花多少盆？ （盆） （盆） 答：這個(gè)方陣共有花100盆。 3. 一個(gè)由圓片擺成的中實(shí)方陣，最外一層有12個(gè)圓片，把4個(gè)這樣的中實(shí)方陣拼成一個(gè)大的中實(shí)方陣，那么最外層應(yīng)該有多少個(gè)圓片？ （個(gè)） 答：最外層應(yīng)該有28個(gè)圓片。 4. 有一個(gè)用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個(gè)圓片，如果把內(nèi)層的圓片取出來(lái)，在外層再擺一層，變成一個(gè)新的中空方陣，應(yīng)再增加多少圓片？ （個(gè)） （個(gè)） （個(gè)）

32、答：應(yīng)再增加16個(gè)圓片。 5. 解放軍進(jìn)行排隊(duì)表演，組成一個(gè)外層有48人，內(nèi)層有16人的多層中空方陣，這個(gè)方陣有幾層？一共有多少人？ （層） （人） 答：這個(gè)方陣有5層，一共有160人。例27 某小學(xué)四年級(jí)的同學(xué)排成一個(gè)四層空心方陣還多15人，如果在方陣的空心部分再增加一層又少21人。這個(gè)小學(xué)四年級(jí)的學(xué)生一共有多少人？解題分析 排成四層空心方陣多15人，在方陣的空心部分增加一層21人，說(shuō)明增加這一層的人數(shù)就是從外向內(nèi)第五層的人數(shù)是（15+21）人，根據(jù)每相鄰兩層的人數(shù)相差8人，可分別求出每層人數(shù)，然后霜加，再加上多的15人，就可求出四年級(jí)的總?cè)藬?shù)。 解：（1）從外向內(nèi)第五層有多少人？ 15+2

33、1=36（人） （2）從外向內(nèi)第四層有多少人？ 36+8=44（人）（3）從外向內(nèi)第三層有多少人？ 44+8=52（人） （4）從外向內(nèi)第二層有多少人？ 52+8=60（人）（5）最外層有多少人？ 60+8=68（人） （6）四年級(jí)一共有多少人？ 44+52+60+68+15=239（人） 答：四年級(jí)的學(xué)生一共有239人。例28 一些解放軍戰(zhàn)士組成一個(gè)長(zhǎng)方陣，經(jīng)一次隊(duì)列變換后，增加了6行，減少了10列，恰組成一個(gè)方陣，一個(gè)人也不多，一個(gè)人也不少。則原長(zhǎng)方形陣共有（）人。解析設(shè)該正方形陣每邊x人，則原長(zhǎng)方形陣為（x-6）行，（x+10）列。x2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=2

34、25人，選擇B。例29. 有若干人，排成一個(gè)空心的四層方陣?，F(xiàn)在調(diào)整陣形，把最外邊一層每邊人數(shù)減少16人，層數(shù)由原來(lái)的四層變成八層，則共有（）人。A. 160B. 1296C. 640D. 1936答案C解析設(shè)調(diào)整前最外層每邊x人，調(diào)整后每邊y人，根據(jù)“逆向法思維”：x-y=16x2-（x-8）2=y2-（y-16）2x=44y=28因此：442-（44-8）2=640（人）。 課后作業(yè)1、若干名同學(xué)排成中實(shí)方陣則多12人，若要將這個(gè)方陣改擺成縱橫兩個(gè)方向各增加1人的方陣則還差9人排滿(mǎn)，請(qǐng)問(wèn)：原有學(xué)生多少人？解析：由于縱橫兩個(gè)方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差9人，說(shuō)明一橫行與

35、一豎行的人數(shù)總和是12921人。又由于縱橫兩個(gè)方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時(shí)，總被多數(shù)一次，因此可以用21人先加上被重復(fù)數(shù)過(guò)的1人，再除以2，也就得到每邊人數(shù)。列式為（211）211人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設(shè)排滿(mǎn)后的人數(shù)，列式為1111121人，用121人減去差的9人就是原來(lái)人數(shù)，列式為1219112人。也可以根據(jù)原來(lái)的方陣再加上12，請(qǐng)你試一試。答：原有學(xué)生112人。2、 有一隊(duì)士兵排成一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有100人，請(qǐng)問(wèn)：方陣中一共有士兵多少人？解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100人，用10

36、0425人，每邊是不是25人呢？不是的，因?yàn)槠骄殖?份后，還需要再加上1，才正好是每邊上的人數(shù)，列式應(yīng)該為1004126人。因此方陣中一共有2626676人。答：一共有676人。3、 小剛用若干枚棋子擺成一個(gè)中實(shí)方陣，最外層每邊擺6枚，請(qǐng)問(wèn)：要擺成這樣一個(gè)中實(shí)方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？解析：如圖，最外一層每邊擺6枚，根據(jù)方陣每行每列個(gè)數(shù)相等特點(diǎn)，因此一共有6636枚棋子。最外一層每邊有6枚，如果用6424枚，就認(rèn)為是最外一層棋子數(shù)的答案的話(huà)，那就錯(cuò)了。因?yàn)檎叫蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計(jì)算總數(shù)時(shí)就被多數(shù)了一次，這樣的頂點(diǎn)一共有4個(gè)，需要把多數(shù)的減去，

37、才能得到正確的結(jié)果。列式是64420枚。說(shuō)明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時(shí)，可以按上圖先劃分成4個(gè)相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5420枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?、一隊(duì)學(xué)生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？解析1：把去掉4行4列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉，就可用例6的結(jié)論： 去掉一行一列的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)21反復(fù)利用4次這個(gè)公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列式為：去掉4行4列的總?cè)藬?shù)2021+（201）21（202）21+（203）21401=381+361+341144（人）解析2：我們還可以這樣想：

38、原來(lái)是一個(gè)7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個(gè)小正方形方陣，因此去掉4行4列的總?cè)藬?shù)原正方形方陣每邊人數(shù)4，即去掉的總?cè)藬?shù)2020（204）（204）400256144（人）答：去掉4行4列，要減少144人。5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個(gè)角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？解析（1）：自己畫(huà)圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為：124444（2）：還可以把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：（121）444（盞）答：這個(gè)舞廳四周共裝彩燈44盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周?chē)?，?04盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣，請(qǐng)你求出最外

39、面一層每邊有鮮花多少盆?解析：分析思路參見(jiàn)例6，最外層每邊人數(shù)=總數(shù)4層數(shù)+層數(shù)20443+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花20盆7、四年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，請(qǐng)問(wèn)：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人?解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求出來(lái)了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：204+1=5+1=6（人） （2）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：66=36（人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，這個(gè)方陣共有36人。8、明明用圍棋子擺成一個(gè)三層中空方陣，如

40、果最外層每邊有圍棋子15個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少枚棋子？解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，知道最外面一層，每邊放15個(gè)，可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計(jì)算出這個(gè)中空方陣共用棋子多少個(gè)。解：（1）最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是：（15-2-2-1）4=40（個(gè)） （2）這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）34=144（個(gè)）答：這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)中空方陣共用144個(gè)棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個(gè)四層中空方陣，只知道

41、最外一層每邊有12人，請(qǐng)你求出總?cè)藬?shù)。解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進(jìn)行。解：由于最外層每邊有12人，因此最外層一共有（121）444人，又根據(jù)方陣相鄰兩層，外層比內(nèi)層人數(shù)多8的特點(diǎn)，因此第二層有44836人，第三層有36828人，第四層有28820人。因此一共有44+36+28+20128人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個(gè)長(zhǎng)方形有8432人，一共有4個(gè)長(zhǎng)方形，324128人。當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實(shí)方陣，然后再減去補(bǔ)上的小中實(shí)方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實(shí)方陣后，最外一層每邊12人

42、，因此一共有1212144人。又因?yàn)樵诜疥囍邢噜弮蓚€(gè)正方形每邊人數(shù)相差2，因此第二層每邊有12210人，第三層每邊有1028人，第四層每邊有826人，第五層每邊有624人。因此小的中實(shí)方陣有4416人。14416128人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答：一共有128人。10、有若干盆鮮花擺成一個(gè)中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)層共擺24盆，請(qǐng)問(wèn)：共擺了多少盆鮮花？解析：由于方陣中相鄰兩個(gè)正方形每邊相差8，因此第二層應(yīng)擺鮮花48840盆，第三層有花40832盆，第四層有花32824盆。這樣通過(guò)枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了48403224144盆。答：一共擺了144盆。11

43、、有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù)，柳樹(shù)各多少棵?解析：根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種，假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù)，白點(diǎn)表示柳樹(shù)觀察圖（1）（2）不管是柳樹(shù)種在方陣最外層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的。因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等。即最外層楊，柳樹(shù)分別為（7-1）42=12（棵）。當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù)，即在方陣中，楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵。解：（1）最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為：（7-1）42=12（棵） （2）當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí)，楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵：楊樹(shù)：（77+1）2=25（棵）柳樹(shù)：77-25=24（棵） （3）當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí)，柳樹(shù)比楊樹(shù)多1樹(shù)柳樹(shù)（77+1）2=25（棵）楊樹(shù)77-25=24（棵）答：在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹(shù)