二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象與性質(zhì)

1、二次函數(shù) yax2bxc(a0) 的圖像與性質(zhì)要點一、二次函數(shù)yax2bxc(a0) 與 ya( xh)2k (a0) 之間的相互關(guān)系1.頂點式化成一般式將頂點式 ya (xh) 2k 去括號，合并同類項就可化成一般式y(tǒng)ax2bxc 2.一般式化成頂點式b xx2 b x222y ax2bxcax2c abbca xb4ac b2aa2a2a2a4a對照 ya( xh)2k ，可知 hb， k4acb22a4a 拋物線 yax2bxc 的對稱軸是直線xb ，頂點坐標(biāo)是b , 4ac b2 2a2a4a要點詮釋：求拋物線yax2bxc 的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這

2、三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用例 1求拋物線y1 x2 x 4 的對稱軸和頂點坐標(biāo)2【答案與解析】解法 1（配方法）：y1 x2x 41 ( x22x)41 ( x2 2 x1 1)41 (x1)22222頂點坐標(biāo)為1,7，對稱軸為直線x12解法 2（公式法）：a1， b1， c4 ，2b11， 4acb241(4)127 2x12a2(4a412)22頂點坐標(biāo)為1,7，對稱軸為直線x12解法 3（代入法）：a1， b1， c4 ，2b1x1將 x1代入解析式中得，y12a22頂點坐標(biāo)為1,7，對稱軸為直線x1 2141(x 1)27 222112147 22.【總結(jié)升華】

3、所給二次函數(shù)關(guān)系是一般式，求此類拋物線的頂點有三種方法：（ 1）利用配方法將一般式化成頂點式；（ 2）用頂點公式b4ac b2直接代入求解； （ 3）利用公式先求頂點的橫坐標(biāo)，然2a,4a后代入解析式求出縱坐標(biāo)這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用舉一反三：【變式 】把一般式y(tǒng)2x2 8x 6 化為頂點式（ 1）寫出其開口方向、對稱軸和頂點D的坐標(biāo)；（ 2）分別求出它與 y 軸的交點 C，與 x 軸的交點 A、B 的坐標(biāo) .要點二、二次函數(shù) y ax2bx c(a 0) 的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法 .其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出

4、頂點坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸(2)求拋物線 y ax2bx c 與坐標(biāo)軸的交點，當(dāng)拋物線與 x 軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、 B 及拋物線與 y 軸的交點 C，再找到點 C 關(guān)于對稱軸的對稱點 D，將 A、 B、 C、 D 及 M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來要點詮釋：當(dāng)拋物線與 x 軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y 軸的交點 C及對稱點 D，由 C、 M、 D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、 B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，.要點三、二次函數(shù)yax2bxc(a

5、0) 的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)yax2bxc(a0) 圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù) yax2bxc （a、 b、 c 為常數(shù)， a 0）a0a0圖象開口方向向上向下對稱軸直線 xb直線 xb2a2a頂點坐標(biāo)b , 4ac2b4acb 2b2a,2a4a4a在對稱軸的左側(cè)， 即當(dāng)xb 時， y 隨 x 的增大在對稱軸的左側(cè)， 即當(dāng)b時，y 隨 x2ax2a增減性最大 ( 小 ) 值2.二次函數(shù)y而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)xb 時， y的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)2axb 時，y 隨 x 的增大而減小 簡記：隨 x 的增大而增大簡記：左減右增2a左增右減拋物線有最低點，當(dāng)xb時， y有最小值，拋

6、物線有最高點，當(dāng)xb 時， y有最2a2ay最小值4acb24acb24a大值， y最大值4aax2bxc(a0) 圖象的特征與2的符號之間的關(guān)系a、 b、 c 及 b -4ac項目字母的符號圖象的特征字母aa 0開口向上a 0開口向下ab 0(a ， b 同號 )對稱軸在 y 軸左側(cè)bab 0(a ， b 異號 )對稱軸在 y 軸右側(cè)c=0圖象過原點cc 0與 y 軸正半軸相交c 0與 y 軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與 x 軸有唯一交點b2-4ac 0與 x 軸有兩個交點.b2-4ac 0與 x 軸沒有交點要點四、求二次函數(shù)yax 2bxc(a0) 的最大（?。┲档姆椒ㄈ绻宰?/p>

7、量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當(dāng)4ac b2y最值4a例 2求二次函數(shù) y1 x23x1的最小值 .22【答案與解析】解法 1( 配方法 ) ：y1 ( x26x)11 ( x26x329)122221 ( x 3)24 ，2 當(dāng) x -3 時， y最小4 解法 2( 公式法 ) ：a10， b3， c122b3當(dāng) x3時，2a1224acb2411321 9y最小224 4a1242解法 3( 判別式法 ) ：y1 x23x1，x26x(12y) 0 22 x是實數(shù)， 62-4(1-2y)0， y -4 y有最小值 -4 ，此時 x26x90 ，即 x -3

8、 x b 時，2a【總結(jié)升華】在求二次函數(shù)最值時，可以從配方法、公式法、判別式法三個角度考慮，根據(jù)個人熟練程度靈活去選擇舉一反三：【變式 】用總長 60m的籬笆圍成矩形場地矩形面積S 隨矩形一邊長L 的變化而變化當(dāng)L 是多少時，矩形場地的面積S最大？.一、選擇題1. 將二次函數(shù) yx22x3 化為 y ( xh) 2k 的形式，結(jié)果為（）A y (x 1)24 B y (x 1)24 C y (x 1)22 D y (x 1)222已知二次函數(shù)yax2bx c 的圖象，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A a 0B c 0C b24ac0 D a b c03若二次函數(shù) yx2bx5 配方后為 y

9、( x2) 2k ，則 b、k 的值分別為 （）A 0， 5 B 0，1C -4 ， 5D -4 ， 14拋物線 yx2bxc 的圖象向右平移2 個單位長度，再向下平移3 個單位長度，所得圖象的解析式為 y x22x3 ，則 b、 c 的值為（）A. b=2， c=2B. b=2 ， c=0C. b= -2 ， c= -1 D . b= -3， c=22)5已知拋物線 y=ax +bx+c 的對稱軸為 x=2，且經(jīng)過點 (3 ， 0) ，則 a+b+c 的值 (A. 等于 0B. 等于 1C.等于 -1D. 不能確定6二次函數(shù) y=ax2+bx+c 與一次函數(shù)y=ax+c ，它們在同一直角坐標(biāo)

10、系中的圖象大致是()二、填空題7二次函數(shù) y2x24x1的最小值是 _8已知二次函數(shù)yax 22ax c ，當(dāng) x-1時，函數(shù) y 的值為 4，那么當(dāng) x 3 時，函數(shù) y 的值為 _9二次函數(shù) yx2bxc 的圖象經(jīng)過 A(-1， 0) 、 B(3 ，0) 兩點，其頂點坐標(biāo)是_10二次函數(shù) yx2mx3 的圖象與 x 軸的交點如圖所示根據(jù)圖中信息可得到m的值是 _.第 10題第 11 題11如圖二次函數(shù)y=ax 2+bx+c 的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(-1 ， 2) 和 (1 ， 0) 且與 y 軸交于負(fù)半軸第問：給出四個結(jié)論：a0； b0； c0； a+b+c=0 其中正確的結(jié)論的序號是 _；第問：給出四個結(jié)論：abc0； a+c=1； a1，其中正確的結(jié)論的序號是_ _.12已知二次函數(shù) y=x2-2x-3的圖象與 x 軸交于點 A、 B 兩點，在 x 軸上方的拋物線上有一點C，且 ABC的面積等于 10，則 C 點的坐標(biāo)為 _.三、解答題13（ 1）用配方法把二次函數(shù)y x24x3變成 y ( x h)2k 的形式；（ 2）若 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 是函數(shù)