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文檔簡介

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了平面向量一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后,學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?,F(xiàn)歸納總結(jié)如下:一 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1)O是的重心;若O是的重心,則故;為的重心.2)O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心,則故3)O是的外心(或)若O是的外心則故4)O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量,使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為,則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成: O是內(nèi)心的充要條件也可以是若O是的內(nèi)心,則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線);二 范例ACBCCP(一)將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1O

2、是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則P點(diǎn)的軌跡一定通過的( )(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心解析:因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為, 又,則原式可化為,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分,那么在中,AP平分,則知選B.點(diǎn)評(píng):這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”,首先是什么?沒見過!想想,一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量? 此題所用的都必須是簡單的基本知識(shí),如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等,若十分熟悉,又能迅速地將它們遷移到一起,解這道題一點(diǎn)問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2 H是AB

3、C所在平面內(nèi)任一點(diǎn),點(diǎn)H是ABC的垂心.由,同理,.故H是ABC的垂心. (反之亦然(證略)例3.(湖南)P是ABC所在平面上一點(diǎn),若,則P是ABC的(D)A外心B內(nèi)心C重心D垂心解析:由. 即則所以P為的垂心. 故選D.點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算,及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí).將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4 G是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=0點(diǎn)G是ABC的重心.證明 作圖如右,圖中連結(jié)BE和CE,則CE=GB,BE=GCBGCE為平行四邊形

4、D是BC的中點(diǎn),AD為BC邊上的中線.將代入=0,得=0,故G是ABC的重心.(反之亦然(證略)例5 P是ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是ABC的重心.證明 G是ABC的重心=0=0,即由此可得.(反之亦然(證略)例6若 為內(nèi)一點(diǎn), ,則 是 的( )A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析:由得,如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形,則,由平行四邊形性質(zhì)知,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì),所以是重心,選D。點(diǎn)評(píng):本題需要扎實(shí)的平面幾何知識(shí),平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性質(zhì):重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn),所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線互相平分及三角形重心性

5、質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(四)將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若 為內(nèi)一點(diǎn),則 是 的( )A內(nèi)心 B外心 C垂心 D重心解析:由向量模的定義知到的三頂點(diǎn)距離相等。故 是 的外心,選B。點(diǎn)評(píng):本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8已知向量,滿足條件+=0,|=|=|=1,求證 P1P2P3是正三角形.(數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下),復(fù)習(xí)參考題五B組第6題)證明 由已知+=-,兩邊平方得=, 同理 =, |=|=|=,從而P1P2P3是正三角形.反之,若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心,則顯然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)

6、,+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中,已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證:Q、G、H三點(diǎn)共線,且QG:GH=1:2。【證明】:以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn),則有:AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設(shè)可設(shè),即,故Q、G、H三點(diǎn)共線,且QG:GH=1:2【注】:本例如果用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理,都相當(dāng)麻煩,而借用向量的坐標(biāo)形式,將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起,從而

7、,很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明,都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證 .證明 若ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD,CD.,.又垂心為H,AHCD,CHAD,四邊形AHCD為平行四邊形,故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關(guān)系:(1)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線“歐拉線”;(2)三角形的重心在“歐拉線”上,且為外垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn),即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?!皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單,可簡化成如下的向量問題.例11 設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外

8、心、重心、垂心.求證 證明 按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 由此可得 .補(bǔ)充練習(xí)1已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),O是三角形ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿足= (+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的 ( B )A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)1. B取AB邊的中點(diǎn)M,則,由= (+2)可得3,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn),且點(diǎn)P不過重心,故選B.2在同一個(gè)平面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式: ,則為的 (D) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:,則P為的 (C) 外心 內(nèi)心 C 重心 D

9、 垂心3已知O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P 滿足:,則P的軌跡一定通過ABC的 (C) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4已知ABC,P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn)P滿足:,則P點(diǎn)為三角形的 (D ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5已知ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn)P滿足:,則P點(diǎn)為三角形的 (B) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6在三角形ABC中,動(dòng)點(diǎn)P滿足:,則P點(diǎn)軌跡一定通過ABC的: ( B ) 外心 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則ABC為( )A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D.等邊三角形解析:非零向量與滿足()=0,即角A的平分線垂直于BC, AB=AC,又= ,A=,所以ABC為等邊三角形,選D8.的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,則實(shí)數(shù)m = 19.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,則點(diǎn)O是的(B)(A)三個(gè)內(nèi)角的角平

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