《高中競賽教程》教案第31講__數(shù)列的遞推

1、第12講 數(shù)列的遞推本節(jié)主要內(nèi)容兩個基本遞推：an1and，anqan；線性遞推，二階或高階遞推的特征方程與特征根；其他遞推1基本概念：遞歸式：一個數(shù)列中的第項與它前面若干項，（）的關(guān)系式稱為遞歸式遞歸數(shù)列：由遞歸式和初始值確定的數(shù)列成為遞歸數(shù)列2常用方法：累加法，迭代法，代換法，代入法等3思想策略：構(gòu)造新數(shù)列的思想4常見類型： 類型：（一階遞歸）其特例為：（1） （2） （3）解題方法：利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列形如的遞歸式,其通項公式求法為：來源:形如的遞歸式,其通項公式求法為： 形如的遞推式,兩邊同除以得,令則句可轉(zhuǎn)化為來處理.類型：（二

2、階遞歸）解題方法：利用特征方程，求其根、，構(gòu)造，代入初始值求得若p+q=1時，有可知是等比數(shù)列，先求得，再求出.若p+ql，則存在，滿足整理得從而+=p， =q，可解出、，這樣可先求出的通項表達式，再求出.注意、實質(zhì)是二次方程的兩個根，將方程叫做遞歸式的特征方程在數(shù)列中，給出a1, a2，且 ，它的特征方程的兩根為與如果，則；如果=則，其中A與B是常數(shù)，可由初始值a1,a2 求出類型. 如果遞歸數(shù)列an滿足 an+1,其中c0,adbc0,以及初始值a0f(a1),則稱此數(shù)列為分式線性遞歸數(shù)列.我們稱方程的根為該數(shù)列的不動點.若該數(shù)列有兩個相異的不動點p、q，則 為等比數(shù)列；若該數(shù)列僅有惟一的

3、不動點p，則是等差數(shù)列5.求遞歸數(shù)列通項的常用方法有：換元法、特征根法、數(shù)學歸納法等 A類例題例1 一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是( )(2005年遼寧卷)11yxO11yxO11yxO11yxO（A）（）（）（）分析 利用遞推式意義及數(shù)形結(jié)合,分析清楚函數(shù)值與自變量的關(guān)系，即可判斷解 由，得，即，故選A 例2已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式 (2004年全國高考題)分析 由于給出兩個遞推關(guān)系與奇數(shù)項、偶數(shù)項有關(guān),因此因從奇數(shù)項或偶數(shù)項之間

4、的關(guān)系入手.解（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13 (II) a2k+1=a2k+3k= a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1) 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通項公式為： 當

5、n為奇數(shù)時，an=當n為偶數(shù)時， 說明 這種給出遞推關(guān)系,求通項公式問題,一般是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,或者通過觀察、歸納,或者通過順次迭代,以求通項公式.情景再現(xiàn)1已知數(shù)列an滿足a11，an2an1n2(n2)，求通項an. (2004年四川省高中數(shù)學聯(lián)賽)來源:2設(shè)（為常數(shù)），若，且只有唯一實數(shù)根（1）求的解析式（2）令求數(shù)列的通項公式.B類例題例3 (1)一次競賽在n(n1)輪中共發(fā)了m枚獎章第一輪發(fā)了1枚及余下的m 1枚的，第2輪發(fā)了2枚及余下的，直至第n輪正好發(fā)了n枚而沒有余下獎章這個競賽共包括幾輪?一共發(fā)了多少枚獎章? (第9屆國際數(shù)學奧林匹克)

6、 (2)把一個圓分成n個不同的扇形(n2)，依次記為S1，S2，, Sn，每個扇形都可以用紅、藍、白三種顏色中任一種涂色，要求相鄰的扇形顏色互不相同，問有多少種涂法? 分析 第(1)題，每一輪發(fā)的獎章數(shù)具有一定規(guī)律，因而可以建立每一輪發(fā)的獎章數(shù)的關(guān)系或每一輪余下的獎章數(shù)的關(guān)系第(2)題，設(shè)法建立涂法總數(shù)的遞推關(guān)系和求得初始值，進而求得涂法總數(shù)解 (1)設(shè)競賽進行了k輪后，余下ak枚獎章因為第k輪發(fā)出獎章數(shù)k+(an1 k )具有akak1 k+(ak1 k )即ak a k1 k且a0=m, an=0.進一步變形為ak+6k36= a k1+6(k1)36從而an+6n36= (a 036)=

7、 (m36)即an= (m36)(6n36),又因為an=0,故(m36)=(n6)而n66n1,且7n與6n1互質(zhì),m,nN+,故n=6,m=36.因此,這個競賽共包括6輪,一共發(fā)了36枚獎章.(2)設(shè)涂法總數(shù)為an(n2)當n=2時,先對S1涂法色,有3種涂法,繼而得S2只有兩種涂法,因而a2=6.當時n3, S1有3種涂法, S2有2種涂法, S3有2種涂法, Sn1有2種涂法, Sn仍有2種涂法.(不論是否S1與同色),這樣共有32n1種涂法,但這32n1種涂法分為兩類：一類是Sn 與S1同色,認為Sn 與S1合為一個扇形,此時涂法有an1種涂法；另一類是Sn 與S1不同色,此時涂法有

8、an種涂法.因而有an+ an1=32n1(n3)令pn= , 則2pn +pn1=3 (n3)于是有= , (n3) p2=從而有= 于是得an=2npn=2n+(1)n2 (n3)但當n=2時也適合上式,故得an=2n+(1)n2 (n2)故共有種an=2n+(1)n2 (n2)涂法說明 這類試題經(jīng)常在全國高中數(shù)學聯(lián)賽及國際數(shù)學奧林匹克中出現(xiàn)這兩個問題都是用遞推方法解決計數(shù)問題，希望讀者對這類問題能夠進行較為深入的鉆研例4 數(shù)列an定義如下：a1=1，an+1 =(1+4 an +)，求它的通項公式分析 帶根號的部分不好處理，平方會導致較繁的關(guān)系式,容易想到作代換：令解 設(shè),則,于是原遞推

9、式可化為+即(2bn+1)2=(bn+3)2,由于bn、bn+1非負,所以2bn+1=bn+3.故bn+13=(bn3).所以bn+13= (bn3)()n2即所以= 說明 這是1981年IMO的預選題，解題的關(guān)鍵是換元、轉(zhuǎn)化例5設(shè)xn、yn為如下定義的兩個數(shù)列：x0=1，x1=1,xn+1=xn+2 xn1，y0=1，y1=7,yn+1=2yn+3yn1，(n=1,2,3)，于是這兩個數(shù)列的前n項為xn：1,1,3,5,11,21, yn：1,7,17,55,161,487,.證明：除了“1”這項外,不存在那樣的項,它同時出現(xiàn)在兩個數(shù)列之中. (第二屆美國中學生數(shù)學競賽試題)分析 本題題均屬

10、于線性遞歸數(shù)列問題，可用特征根的方法來解決解 數(shù)列xn的通項公式形如,其中是數(shù)列的特征方程x2=x+2的兩根,即,故.由x0=1,x1=1得C1=,C2=,來源:所以 2n+(1)n= 2n+1+(1)n同理可得數(shù)列的yn通項公式為 yn=23n(1)n.用反證法證明兩個數(shù)列無其它公共項.假設(shè) xm=yn,即 2m+1+(1)m= 23n(1)n,則 2(3n+12m)=(1)m+3(1)n 若奇偶性相同,則式右邊為4或4.左邊=2(奇偶)=2奇數(shù),故左邊不是4的倍數(shù),因此左邊不等于右邊.同理若m、n奇偶性不相同時左邊也不等于右邊.說明 在求得特征方程的根以后，

11、要依據(jù)根的重數(shù)正確寫出數(shù)列通項的一般表達式，再根據(jù)初始值求得待定系數(shù)的值 鏈接 菲波納契數(shù)列(Fibonacci)數(shù)列的由來: Fibonacci數(shù)列的提出，當時是和兔子的繁殖問題有關(guān)的，它是一個很重要的數(shù)學模型。這個問題是：有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔，而所生小兔亦在第二個月成年，第三個月生產(chǎn)另一對小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對，假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對？對于n=1，2，令Fn表示第n個月開始時兔子的總對數(shù)，Bn、An分別是未成年和成年的兔子（簡稱小兔和大兔）的對數(shù),則Fn= An+Bn根據(jù)題設(shè)，有 月份n1

12、23456An112358Bn111235Fn11235813顯然，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，而且從第三個月開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個月的兔子總數(shù)之和，于是按此規(guī)律我們得到一個帶有初值的遞推關(guān)系式：若我們規(guī)定F0=1，則上式可變?yōu)檫@就是Fibonacci數(shù)列的通常定義，也就是數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，這串數(shù)列的特點是：其中任一個數(shù)都是前兩數(shù)之和. 它的通項是Fn=()n+1()n+1，由法國數(shù)學家比內(nèi)（Binet）求出的.證： 菲波納契數(shù)列是一個2階的線性齊次遞推關(guān)系，它的遞推方程是x2x1=0，特征根是通解是Fn=C1()n+C2()n代入初值來確定C1

13、、C2，得方程組解這個方程組得 C1=, C2=原遞推關(guān)系的解是Fn=()n+1()n+1例6 數(shù)列an滿足a0=1，證明：(1)對于任意，a為整數(shù)；(2)對于任意，為完全平方數(shù). (2005年高中數(shù)學聯(lián)賽)證明：(1)由題設(shè)得a1=5,且數(shù)列an嚴格單調(diào)遞增,將條件變形得,兩邊平方法整理得 得 , , 由及a0=1, a1=5可得an為正整數(shù).(2)將兩邊配方得=因為是整數(shù),故為整數(shù),故右邊是整數(shù)的平方.即為為完全平方數(shù). 所以對于任意，為完全平方數(shù). 情景再現(xiàn)3小偉和小明來到咖啡店,他們買了一杯咖啡和一杯牛奶各150ml,每個杯子的容積為200ml,甲杯盛牛奶,乙杯盛咖啡,想將二者混合,兌

14、換成近乎相同的奶咖啡,沒有其它的容器,只得利用二個杯子中的剩余空間倒來倒去,使其混合.規(guī)定將乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛滿飲料,充分攪勻,再將甲杯里的飲料倒入乙杯中，使甲、乙杯中的飲料相等.這叫做一次操作.請你回答下列四個問題：、一次操作后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比為多少？、求第n次操作后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比的數(shù)學表達式. 至少幾次操作后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比不超過51？、你能否設(shè)計新操作,得到更優(yōu)的方案以減少操作次數(shù)？ (2003年北京應用知識競賽題) 4 已知a1=1，a2=3，an+2=（n+3）an+1（n+2）an，若當mn，am的值都能被9整除，求n的最小

15、值(湖南省2002年高中數(shù)學競賽)C類例題例7 數(shù)列an按如下法則定義：a1=1， 證明：對n1，均為正整數(shù)(1991年全蘇數(shù)學冬令營)分析 因為結(jié)論中涉及到根號及a項，因而令，并對已給遞推關(guān)系兩邊平方就容易找到解題思路 解 令, 則,因此+, 因為于是 = ()+即 所以=. ,由及b2 、b3N*, 知道對n1，均為正整數(shù).說明 這道試題，通過換元，將關(guān)于如的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于bn的問題，得到式后,再用代入可證明是一個完全平方數(shù)的關(guān)鍵一步,通過這一步代入可使問題得到順利解決例8. 設(shè)a1=1，a2=3，對一切正整數(shù)n有 an+2=(n+3)an+1(n+2)an,求所有被11整除的如的值分析

16、先根據(jù)給定的遞推關(guān)系，通過換元，把問題轉(zhuǎn)化，最后求得an的通項公式，進而完成本題解 由已知條件得(an+2an+1)= (n+2)(an+1an)設(shè)bn+1=an+1an(n1),則由條件有bn+1=(n+1)(anan1)=(n+1) bn(n2),故bn= nbn1=n(n1) bn2= n(n1)(n2)3 b2 =n！(n2)所以an =(anan1 )+(an1an2)+ +(a2a1)+a1=bn+ bn1 +b2+1=！ 由此可以算出a4=！=33=113, a8=！=46233=114203,a10=！=11.當n11時,注意到！能被11整除,因而an=！+！也能被11整除.故

17、當n=4,n=8或當n10時, an均被11整除.說明 這是1990年巴爾干地區(qū)的數(shù)學奧林匹克試題，本題中換元起了重要的作用.這是阿貝爾求和法. 情景再現(xiàn)53個數(shù)列an、 bn、 cn存在下列關(guān)系：a1=1, b1=,bn=an+1an, cn=bn+1bn=(n=1,2,3)這里的p為正常數(shù).(1)求an；(2)證明：若cn 0,則cn+10；(3)若數(shù)列bn的最小項為b4,求p取值范圍.6數(shù)列an、 bn滿足0a1b1, (n=1,2,3)證明下列命題：(1) a2b2b1；(2) 對任何正整數(shù)n有bn an+1；(3) 對任何整數(shù)n2,有bnb1.習題12A類習題1. 已知數(shù)列an滿足a

18、11，an+1ann2(n2)，求通項an. 2.（2003年全國高考題）已知數(shù)列 （）求（）證明3（2001上海春季高考）某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.(1)設(shè)ak(1kn)為第k位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明akak+1(k=1,2,n1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn

19、(b),對常數(shù)b，當n變化時，求Pn(b).4已知點的序列An(xn，0),nN*,其中x1=0,x2=a(a0),A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，An是線段An2An1的中點，(1)寫出xn與xn1、xn2之間關(guān)系式(n3);(2)設(shè)an=xn+1xn，計算a1,a2,a3，由此推測數(shù)列an的通項公式，并加以證明；(3) 求xn5.已知求數(shù)列an的通項公式.6.已知求數(shù)列an的通項公式.B類習題7.已知求數(shù)列an的通項公式.8.已知求數(shù)列an的通項公式.來源:9.有一條n級樓梯，如果每步只能跨上一級或兩級，問欲登上去，共有幾種走法？10.(

20、1)是否存在正整數(shù)的無窮數(shù)列an,使得對任意正憨整數(shù)n都有a2n+12 an an+2.(2)是否存在正無理數(shù)的無窮數(shù)列an,使得對任意正憨整數(shù)n都有a2n+12 an an+2.(首屆中國東南地區(qū)數(shù)學奧林匹克試題)C類習題11設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對于任何正整數(shù)n，都有 (湖南省2004年高中數(shù)學競賽)12求所有aR,使得由an+1=2n3an(nN)所確定的數(shù)列a0, a1, a2,是遞增數(shù)列.(1980年英國中學生數(shù)學競賽試題)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1解：由已知可得：ann2(an1n1)(n2) 令bnann，則b1a112，且bn2bn1(n2) 于是bn22n12n，即ann

21、2n 故an2nn(n2)，因為a11也適合上述式子，所以an2nn(n1)2解：（1），又令得當時得方程的實數(shù)根和 于是, 當時方程有唯一實數(shù)根或（2）當時，令則，當時， 為等比數(shù)列，或3解：.設(shè) p=150 , . 設(shè)n次操作前、后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比分別為,則n次操作前、后乙杯里的飲料中牛奶的體積百分比分別為,=, 法 法 . n6. 規(guī)定將乙杯里的部分倒入甲杯中,使甲杯盛滿飲料,充分攪勻,再將甲杯里的飲料倒入乙杯中，使乙杯盛滿飲料,充分攪勻.這叫做一次操作.設(shè)n次操作后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比分別為,乙杯里的飲料中牛奶的體積百分比為. , . 第n次操作后甲杯里的飲料,

22、乙杯里的飲料.=, , n4. 至少4操作后甲杯里的飲料中牛奶的體積百分比不超過51.4解：由=！故=1+2！+3！+n！(n1),由于,此時153被9整除.當m5時！而k6時6！被9整除.于是當m5時an 被9整除，故所求的n的最小值為5 5 (1)因為cn=bn+1bn=3n1np,故bn=b1+ (b2b1)+ (b3b2)+ +(bnbn1) = +(1+3+3n2)1+2+3+(n1)p= 3n1n(n1)p, 即bn=an+1an= 3n1n(n1)p故an=a1+ (a2a1)+ (a3a2)+ +(anan1)= n(n1)(n2)(2)若cn=bn+1bn=3n1np0, 則

23、3n1np,cn+1=bn+2bn+1=3n(n+1)p3np(n+1)p=(2n1)p0.(3)因為bn = 3n1n(n1)pb4,故應有c3=b4b30,c4=b5b40,即c3=93p0, c4=274p0,故3p.利用(2)的結(jié)論驗算可知,當3p時,對一切正整數(shù)n,均有bnb4.故p的取值范圍是3,6(1) 因為由可知皆正.得,所以n=1時但若,這與矛盾,故只可能有又由可得,即 ,因此.(2)由(1)可知即,由得=0,故,即所以.(3)由(2)知故bn卓單調(diào)遞減,從而,因此. 本節(jié)“習題12”解答：1.an+1ann2,an+1an=n2, 故an =(anan1 )+(an1an2

24、)+ +(a2a1)+a1=1+n(n-1)(2n-1)= (n3-3n2+n-6)2.（）a1=1 . a2=3+1=4, a3=32+4=13 .來源: （）證明：由已知anan1=3n1,故所以證得.3(1)第1位職工的獎金a1=，第2位職工的獎金a2=(1)b，第3位職工的獎金a3=(1)2b，第k位職工的獎金ak= (1)k1b; (2)akak+1=(1)k1b0，此獎金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.(3)設(shè)fk(b)表示獎金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故.4(1)當n3時，xn=;, 由此推測an=()n1a(nN 證：因為a1=a0,且 (n2)所以an=()n1a(3)當n3時，有xn=(xnxn1)+(xn1xn2)+(x2x1)+x1=an1+an2+a1,由(2)知an是公比為的等比數(shù)列，所以a 5.特征方程x2=2x2有兩個相異實根x1=1+i,x2=1i.則數(shù)列an的通項公式為：,代入前兩項的值,得解此方程組得：C1=1i,C2=1+i, 故.6.特征方程x3=2x2+x2有三個相異實根x1=1,x2=1, x2=2,則數(shù)列a