向量空間及線性方程組的解結構.ppt

1、向量空間及線性方程組的解結構,向量空間的基本概念,定義1. 設V是一個由n維向量構成的一個非空集合，若V對向量的加法運算和數字與向量的乘法運算封閉，則稱V是一個向量空間,所謂V對向量的加法運算和向量與數字的乘法運算封閉是指： 對于V中的任何元素, ，以及任何一個實數， + 和仍然屬于V,若U是V的一個非空子集，且U也是一個向量空間，則稱U是V的子空間,1). 所有的n維向量組成的集合Rn是一個向量空間,2).設 = (a, b, c)是一個非零的三維向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = (a, b, c), R,x, y, z)| (x, y, z) = (a, b,

2、 c) + (1, 2, 3), R,3).設 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3)是兩個線性無關的三維向量,L() = (x, y, z)| (x, y, z) = + , , R,x, y, z)| (x, y, z) = + + (1, 2, 3), , R,1. 向量空間的例子,4). 設1, 2, , m是一組n維向量,2.向量空間的基和維數,設V是一個向量空間，1, 2, , rV若滿足,1) 1, 2, , r線性無關,2) V中的任何一個向量皆可以被1, 2, , r線性表出,則稱1, 2, , r是V的一個基，并稱V是一個r維的向量空間，或稱V的維數是

3、r,若V=0，則稱V的維數是0,例1 設,證明：1, 2, 3是R3的基，并把1, 2用該組基線性表出,證明,對矩陣(1, 2, 3, 1, 2)實施初等行變換,從中可以看到1, 2, 3線性無關，并且,二. 線性方程組的解結構,1. 線性方程齊次組AX=0的解向量組成的集合V = X = (x1, x2, , xn)T| AX = 0構成Rn的一個子空間,2. 線性齊次方程組的基礎解系,設,設A的秩r n，且前r個列向量是它列向量組的一個極大線性無關組,即,令xr+1 = c1, xr+2 = c2, , xn = cn-r,則,簡記為,顯然，J1, J2, , Jn-r是線性無關的，且方程

4、組的任何一個解向量皆可以被它線性表出。 稱X=c1J1+ c2J2 + +cn-rJn-r為該齊次線性方程組的通解。 稱J1, J2, , Jn-r是該線性齊次方程組的基礎解系。 該齊次線性方程組的基礎解系就是向量空間V的基，故V是一個n-r維的向量空間,例2 求齊次線性方程組,的基礎解系,解,從而,令,得該齊次線性方程組的通解,由此可知,是該齊次線性方程組的基礎解系,例3 證明,也是上面齊次線性方程組的基礎解系,證明：驗證向量組1, 2與1, 2相互等價便可,由R(1, 2) = R(1, 2) = R(1, 2, 1, 2), 得知向量組1, 2和1, 2等價,即1, 2也是上面齊次線性方

5、程組的基礎解系,3. 線性非齊次方程組的解結構,1) 若X = 1和X = 2皆是非齊次線性方程組AX=B的解，則X = 1 - 2必然是齊次線性方程組AX=0的解,2) 若X = 是非齊次線性方程組AX=B的解; X = 是對應的齊次線性方程組AX=0的解，則X = + 仍然是非齊次線性方程組的解,3) 非齊次線性方程組的通解等于所對應的齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程組的一個特解,證明,設1, 2, , n-r是所對應的齊次線性方程組AX=0的基礎解系，是非齊次線性方程組AX=B的一個特解,一方面，由2）得知：對于任何一組數c1, c2, , cn-r, X = c11 + c22 + + cn-rn-r + 是非齊次線性方程組AX=B的解,另一方面，若X = 是非齊次線性方程組AX=B的一個解，則由1）得知X = - 是所對應的齊次線性方程組AX=0的一個解,從而存在一組數c1, c2, , cn-r使得 - = c11 + c22 + + cn-rn-r,即： = c11 + c22 + + cn-rn-r +,綜上所述，非齊次線性方程組AX=B的通解為,X = c11 + c22 + + cn-rn-r +,例4.