現(xiàn)代控制理論課后習(xí)題答案

1、.緒 論 為了幫助大家在期末復(fù)習(xí)中能更全面地掌握書中知識(shí)點(diǎn)，并且在以后參加考研考博考試直到工作中，為大家提供一個(gè)理論參考依據(jù)，我們11級(jí)自動(dòng)化二班的同學(xué)們?cè)谕跽L(fēng)教授的帶領(lǐng)下合力編寫了這本現(xiàn)代控制理論習(xí)題集（劉豹第三版），希望大家好好利用這本輔助工具。根據(jù)老師要求，本次任務(wù)分組化，責(zé)任到個(gè)人。我們班整體分為五大組，每組負(fù)責(zé)整理一章習(xí)題，每個(gè)人的任務(wù)由組長具體分配，一個(gè)人大概分12道題，每個(gè)人任務(wù)雖然不算多，但也給同學(xué)們提出了要求：1.寫清題號(hào)，抄題，畫圖（用CAD或word畫）。2.題解詳略得當(dāng)，老師要求的步驟必須寫上。3.遇到一題多解，要盡量寫出多種方法。本習(xí)題集貫穿全書，為大家展示了控制理

2、論的基礎(chǔ)、性質(zhì)和控制一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的四個(gè)基本步驟，即建模、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)處理、綜合控制輸入。我們緊貼原課本，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用統(tǒng)一、聯(lián)系的方法分析處理每一道題，將各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)都有機(jī)地整合在一起，力爭做到了對(duì)控制理論概念闡述明確，給每道題的解析賦予了較強(qiáng)的物理概念及工程背景。在課后題中出現(xiàn)的本章節(jié)重難點(diǎn)部分，我們加上了必要的文字和圖例說明，讓讀者感覺每一題都思路清晰，簡單明了，由于我們給習(xí)題配以多種解法，更有助于發(fā)散大家的思維，做到舉一反三！這本書是由11級(jí)自動(dòng)化二班現(xiàn)代控制理論授課老師王整風(fēng)教授全程監(jiān)管，魏琳琳同學(xué)負(fù)責(zé)分組和發(fā)布任務(wù)書，由五個(gè)小組組組長李卓鈺、程俊輝、林玉松、王亞楠、張寶峰負(fù)責(zé)自己章節(jié)的

3、初步審核，然后匯總到胡玉皓同學(xué)那里，并由他做最后的總審核工作，緒論是段培龍同學(xué)和付博同學(xué)共同編寫的。本書耗時(shí)兩周，在同學(xué)的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的結(jié)晶，望大家能夠合理使用，如發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤請(qǐng)及時(shí)通知，歡迎大家的批評(píng)指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1-1 試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：令，則所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令

4、，輸出量有電路原理可知： 既得 寫成矢量矩陣形式為：1-3 有機(jī)械系統(tǒng)如圖1.29所示,M1和M2分別受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的運(yùn)動(dòng)速度為輸出的狀態(tài)空間表達(dá)式.K1K2B2f1(t)M1 M2B1y2 c2 y1 c1 f2(t) 解:以彈簧的伸長度y1，y2 質(zhì)量塊M1， M2的速率c1，c2作為狀態(tài)變量即 x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2根據(jù)牛頓定律，對(duì)M1有：M1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)對(duì)M2有：M2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2將x1,x2,x3,x4代入上面兩個(gè)式子，得 M1=f1-k1(x1-x2

5、)-B1(x3-x4)M2=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4整理得 =x3 =x4 =f1-x1+x2-x3+x4 =f2+x1-x2+x3-x4輸出狀態(tài)空間表達(dá)式為 y1=c1=x3 y2=c2=x41-4 兩輸入，兩輸出，的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的的模擬結(jié)構(gòu)圖。(1) 解:由微分方程得：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W（s）=則狀態(tài)空間表達(dá)式為：相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：x1X2U72513y(2) 解：由微分方程得：系

6、統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W（s）=則狀態(tài)空間表達(dá)式為：相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下： 1-6 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)(1)(2),試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖解：(1)由 可得到系統(tǒng)表達(dá)式為 X1X2X3 (2) yX1X2X3X4u 1-7 給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式 （1） 畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖（2） 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解： (2) 1-8 求下列矩陣的特征矢量：（1） A=解：A的特征方程：=0解之得：=-2+j，=-2-j;當(dāng)=-2+j時(shí)，=（-2+j)解得：=-j,令=1，得=； 當(dāng)=-2-j時(shí)，=（-2-j)解得：=-j,令=1，得=（2）A=解：A的特征方程：=0解之得：=-2，=-3;

7、當(dāng)=-2時(shí)，=-2解得：=-2,令=1，得=； 當(dāng)=-3時(shí)，=-3解得：=-3,令=1，得=（3）解：A的特征方程 解之得：當(dāng)時(shí)，解得： 令 得 （或令，得）當(dāng)時(shí)， 解得： 令 得 （或令，得）當(dāng)時(shí)，解得： 令 得 （4）解：A的特征方程 解之得：當(dāng)時(shí)，解得： 令 得 當(dāng)時(shí)， 解得： 令 得 當(dāng)時(shí)，解得： 令 得 1-9.試將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型。 （1） =+u y=x解：A的特征方程=0解得=-1或=-3當(dāng)=-1時(shí)，=-解之得P11=P21,令P11=1，得P1=當(dāng)=-3時(shí)=-3解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=故T=,=,則=,=,CT=,故約旦標(biāo)準(zhǔn)型為=Z ，

8、y=Z（2） =+u=解：A的特征方程=0解得=3 ， =1當(dāng)=3時(shí)特征向量：=3解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=當(dāng)2=3時(shí)的廣義特征向量，=3+解之得P12=P22+1， P22=P32， 令P12=1，得P2=當(dāng)=1時(shí) =解之得P13=0，P23=2P33， 令P33=1，的P3=故T=， = AT= B= CT=故約旦標(biāo)準(zhǔn)型為=X+uY=X110.已知兩子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣和分別為：= =試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)連接時(shí)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并討論所得結(jié)果。解：兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)=,得W(s)=兩子系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)=+,得W(s)=+=

9、 串聯(lián)聯(lián)接時(shí)，由于前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入，串聯(lián)后等效非線性環(huán)節(jié)特性與兩環(huán)節(jié)的先后次序有關(guān)，故改變向后次序等效特性會(huì)發(fā)生改變。 并聯(lián)聯(lián)接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為兩系統(tǒng)單獨(dú)作用后的疊加。1-11 已知如圖1-22（見教材47頁）所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣。解：1-12 已知差分方程為：試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b(即控制列陣)為 解：由差分方程得傳遞函數(shù)化為并聯(lián)型： 化為能控標(biāo)準(zhǔn)型： 第二章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解2-1 試證明同維方陣A和B，當(dāng)AB=BA時(shí)，=，而當(dāng)ABBA時(shí)，。證明：由矩陣指數(shù)函數(shù)=可得：= = =

10、 = 將以上兩個(gè)式子相減，得：-=顯然，只有當(dāng)時(shí)，才有-=0，即=；否則。2-2 試證本章2.2節(jié)中幾個(gè)特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)式（2.17），式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。證明：（1）式（2.17）由矩陣指數(shù)函數(shù)=可得： = =即得證。（2）式（2.18）由矩陣指數(shù)函數(shù)=可知，若存在非奇異變換陣，使得，則，且是特征根可知=即得證。（3）式（2.19）若為約旦矩陣，= 由矩陣指數(shù)函數(shù)= ，則= ，=，將以上所求得的、代入式，令=，則第塊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：=，即得證。（4）式（2.20）拉式反變換法證明：由，得：，=則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：= 由歐拉公式得：= 即得證。2-3 已知矩

11、陣A=試用拉氏反變換法求。（與例2-3、例2-7的結(jié)果驗(yàn)證）解：由=轉(zhuǎn)化成部分分式為： = 又由拉氏反變換得：=2-4 用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)。（1）A=（2）A=解：（1）方法一：約旦標(biāo)準(zhǔn)型由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，由可得當(dāng)時(shí)，設(shè)=由，得，解得即當(dāng)時(shí)，設(shè)=由，得，解得即變換矩陣,則，矩陣指數(shù)函數(shù)= =方法二定義法由已知 得 方法三：凱萊-哈密頓定理由A=，令=0， 即 ，得，解得：特征根= ，則= = = 則，矩陣指數(shù)函數(shù)= + =（2）方法一：約旦標(biāo)準(zhǔn)型由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，由可得當(dāng)時(shí)，設(shè)=由，得，解得即當(dāng)時(shí)，設(shè)=由，得，解得即變換矩陣,則，矩陣指數(shù)函數(shù)

12、= =方法二：拉式反變換法由=，得：=則，矩陣指數(shù)函數(shù)=方法三：凱萊-哈密頓定理由A=，令=0， 即 ，得，解得= ，則= = = 則，矩陣指數(shù)函數(shù)= + =2-5 下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)的A陣。（1）=（2）=（3）= （4）解：(1)因?yàn)椋栽摼仃嚥粷M足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件（2）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則（3）因?yàn)?，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則（4）因?yàn)椋栽摼仃嚌M足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則2-6 求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：= 初始狀態(tài)，輸出是單位階躍函數(shù)。解：系統(tǒng)矩陣: 特征多項(xiàng)式為:因?yàn)?，所以 2-7 試證明本章2.3節(jié)，在特定

13、控制作用下，狀態(tài)方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。證明：（1）采用類似標(biāo)量微分方程求解的方法，則有： 等式兩邊同乘，得： 即 對(duì)上式在,t上積分，有： 整理后可得式： （2）脈沖響應(yīng)：=K，時(shí)，由狀態(tài)方程解為： 把帶入，有帶入，有（考慮到函數(shù)的特點(diǎn)）（3）階躍響應(yīng)：由狀態(tài)方程解為： 把帶入，有 ，積分，由上式得:=（4）斜坡響應(yīng)：由狀態(tài)方程解為： 把，代入，有 =2-8 計(jì)算下列線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和。 = =解：由題意知：=即：和是可以交換的由： 得：=+=由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：=，得：=而=即：和是可以交換的由： 得：=+= 由題意知：=

14、即：和是可以交換的由： 得：=+=由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)：=，得：=而 =即：和是可以交換的由： 得：=+=2-9 有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為=0.1s和1s,而和為分段常數(shù)。 解： 圖2.2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列寫狀態(tài)方程為： 可表示為： 則離散化的時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為：由和得：系統(tǒng)的個(gè)矩陣為： 當(dāng)T=0.1s時(shí)，有 當(dāng)T=1s時(shí)，有 2-10 有離散時(shí)間系統(tǒng)如下，求=，輸入是斜坡函數(shù)采樣而來，是從同步采樣而來。解：由題易得 將G變換為對(duì)角型 令：可得：即 ： 特征方程 解得 分別令 可得 特征矢量 即轉(zhuǎn)移矩陣為 則 則 設(shè) 則 可得

15、 則 運(yùn)用遞推法 2-11 某離散時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2.3所示。零階保持器 1 (s+1)(s+2)r(t)+-圖2.3 離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程。 當(dāng)采樣周期=0.1s時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 輸入為單位階躍函數(shù)，初始條件為零的離散輸出。 =0.25s時(shí)刻的輸出值。解：(1) 系統(tǒng)中連續(xù)時(shí)間被控對(duì)象的時(shí)間函數(shù)為：=連續(xù)時(shí)間被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式為：即： =+輸出方程為：= =則，被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程為：=+(2) 由(1)得 當(dāng)T=0.1s時(shí)=(3) 由題意知 =1，T=0.1s=+初始條件為零，即：，當(dāng)k=0時(shí)，=當(dāng)k=1時(shí)，=+=當(dāng)k=2時(shí)，=+=系統(tǒng)的離散化輸出為：=

16、=(4) 當(dāng)t=0.25s時(shí)，=第三章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能觀性3-1 判別下列系統(tǒng)的能控性與能觀性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值與能控性能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)其取值條件如何? （1）由解：由圖可得：狀態(tài)空間表達(dá)式為：由于、與無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。此可知系統(tǒng)中的a,b,c,d的取值對(duì)系統(tǒng)的能控性和能觀性沒有影響（2）由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以知道其狀態(tài)空間表達(dá)式為則由此可知若系統(tǒng)可控則同理可知若系統(tǒng)能觀則（3）系統(tǒng)如下式: 解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型，要使系統(tǒng)能控，控制系統(tǒng)b中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0

17、,故有,。要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0，故有，。3-2 時(shí)不變系統(tǒng)： =x+ y=試用兩種方法判別其能控性與能觀性。解：一、(1)變換為約旦型=-1=+8=0 當(dāng)時(shí)由 得 令 則 得當(dāng)時(shí)由 得令則得則 其逆矩陣則 因?yàn)橛幸恍性貫榱闼韵到y(tǒng)不能控。(2)由已知轉(zhuǎn)換矩陣則因?yàn)镃T沒有全為0的列 所以系統(tǒng)是能觀的。二、(1)能控性判別 由能控判別陣M=（b ,Ab） 因?yàn)椋?所以所以M所有二階式全為0且rankM2 則系統(tǒng)不能控（2）能觀性判別 由能觀判別陣因?yàn)?所以因?yàn)镹的所有二階式全不為0 且rankN=2 則滿秩所以系統(tǒng)是能觀的。3-3確定是下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀

18、態(tài)完全能觀的系統(tǒng)。解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則，即構(gòu)造能觀陣：要使觀，則，即， ，解：由題知得：構(gòu)建能控判別陣：構(gòu)建能觀判別陣：由于該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀。所以：所以滿足題意的取值為：，解：由題知得：構(gòu)建能控判別陣：構(gòu)建能觀判別陣：由于該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀。所以：所以滿足題意的取值為：3-4 線性系統(tǒng)傳遞函為： (1) 試確定的值，是系統(tǒng)為不能控不能觀的。(2) 在上述的取值下，求使系統(tǒng)為能控能狀態(tài)空間表達(dá)式。(3) 在上述的取值下，求使系統(tǒng)為能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。解. （1）系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不

19、能控或不能觀。 （2）當(dāng)a=1或a=3或a=6時(shí)，將系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型： （3） 根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=1或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為： 3-5試證明對(duì)于單輸入的離散時(shí)間定常系統(tǒng)r=（G，h），只要它是完全能控的，那么對(duì)于任意給定的非零初始狀態(tài)x0，都可以在不超過n個(gè)采樣周期的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)。證明：離散時(shí)間定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 初始狀態(tài)為x0，則方程的解： 當(dāng)k=0時(shí) 當(dāng)k=2時(shí) 當(dāng)k=n時(shí) 因?yàn)橄到y(tǒng)能控 所以能控判別陣M滿秩 則有解 即 因?yàn)樗詘(n)=0則該系統(tǒng)在不超過n個(gè)采樣周期內(nèi)，由任意給定的非零初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到了狀態(tài)空間原點(diǎn)。3-6 已知系統(tǒng)的微分方程為：

20、試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。 解：有微分方程可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程， 可求得其對(duì)偶系統(tǒng)，所以其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，及其傳遞函數(shù)，3-7 已知能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程A，b陣為：，試將該狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。解：易得，即系統(tǒng)是能控的再由，求得，,所以，變換矩陣為：，可求得，所以能控標(biāo)準(zhǔn)型為：3-8 已知能觀系統(tǒng)的A，b,c陣為：，試將該狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。解：易得,即系統(tǒng)能觀。再由可求得，所以，變換陣為可求得，所以，能觀標(biāo)準(zhǔn)型為：3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。解：可得系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為又因?yàn)橄到y(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)I型與能觀標(biāo)準(zhǔn)II型對(duì)偶得能觀標(biāo)準(zhǔn)

21、II型為3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。解：311 試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1）A，b，c（2）A，b，c解：（1）構(gòu)造能控判別矩陣Mb，Ab，A2b，易知rank（M）23，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1bR2AbR3其中R3任意的，只需滿足Rc滿秩即Rc，則有R，可得RA RcRb，故系統(tǒng)分解為兩部分 二維能控子系統(tǒng) 一維不能控子系統(tǒng)（2）構(gòu)造能控判別矩陣Mb，Ab，A2b，易知rank（M）23，故系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1，R2，R3，則Rc，R，可得Rbc Rc故系統(tǒng)分解為兩部分 二維能控子系統(tǒng) 一維不能控子系統(tǒng)3

22、-12 試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。 （1）解：（1）由已知得則有能能觀性判別陣rank N=23，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣，有則（2） ，解：系統(tǒng)的能觀性判別矩陣，rankN=23，系統(tǒng)不完全能觀存在非奇異變換陣：，所以，存在二維能觀子系統(tǒng)：一維不能觀子系統(tǒng)：3-13 試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。 （1）解：由已知得 rank M=3，則系統(tǒng)能控 rank N=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng) 取，則 則，（2），解：系統(tǒng)的能控性判別陣M:rankM=24，系統(tǒng)不完全能控存在非奇異變換陣：，所以，按能控性可分解為，能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：1） 對(duì)能控子系

23、統(tǒng)進(jìn)行能觀分解，能觀判別陣：rank=12,系統(tǒng)不完全能觀，存在非奇異變換陣：，所以，能控能觀子系統(tǒng)：能控不能觀子系統(tǒng)：2） 對(duì)不能控子系統(tǒng)進(jìn)行能觀分解：，能觀判別陣：rank=12，系統(tǒng)不完全能觀，存在非奇異變換陣:，所以，不能控能觀子系統(tǒng)：不能控不能觀子系統(tǒng)：3-14、求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)：解：（1）.W（s）的各元Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式，其實(shí)現(xiàn)具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫成按s降冪排列的格式： 可得：a0=1，可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣：，該能控標(biāo)準(zhǔn)型的能觀性判別矩陣N為：，rankN=1則該能控標(biāo)準(zhǔn)型不完全能觀，即該

24、能控標(biāo)準(zhǔn)型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀性分解：取，則有， 則，W（s)的最小實(shí)現(xiàn)為：， ， （2).W（s）的各元Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式，其實(shí)現(xiàn)具有（A,B,C）的形式，則有：C（sI-A）-1B=W(s)將C（sI-A）-1B寫成按s降冪排列的格式： 可得：a0=a1=a2=0，,可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣：，該能控標(biāo)準(zhǔn)型的能觀性判別矩陣N為：，rankN= 36,則該能控標(biāo)準(zhǔn)型不完全能觀，即該能控標(biāo)準(zhǔn)型不是最小系統(tǒng)。構(gòu)造變換陣R0-1，將系統(tǒng)按能觀性分解：取，則有， 則，W（s)的最小實(shí)現(xiàn)為：， ， 3-15設(shè)和是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)（1）試分析由和所組成的串聯(lián)系統(tǒng)

25、的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)；（2）試分析由和所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。解：（1）和串聯(lián)當(dāng)?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r(shí)，則rank M=23，所以系統(tǒng)不完全能控。當(dāng)?shù)幂敵鍪堑妮斎霑r(shí)，因?yàn)?rank M=3 則系統(tǒng)能控 因?yàn)?rank N=23 則系統(tǒng)不能觀（2）和并聯(lián)，因?yàn)閞ank M=3，所以系統(tǒng)完全能控3-16 從傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象出發(fā)，說明圖3.18中閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性是一致的。 圖3.18 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：設(shè)W0(s)= (mn)若系統(tǒng)不能控或（和）不能觀，則W0(s)有零極點(diǎn)相消，即與有公因子。若系統(tǒng)能控且能觀，而無零極點(diǎn)

26、對(duì)消，閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 Wf(s)=顯然Wf(s)和W0(s)能相消的零極點(diǎn)是相同的。所以圖中開環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀性一致。第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4-1 判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：（1） Q（x）= -x12-3x22-11x32+2x1x2-x2x3-2x1x3（2） Q（x）= x12+4x22+x32-2x1x2-6x2x3-2x1x3解：（1） Q（x）=xT Q（x）=xTx=xTPx，由于P的2階主子行列式都大于零，而1、3階主子行列式小于零，故為負(fù)定函數(shù)。 （2） Q（x）=xTx=xTPx，由于P的1、2階主子行列式都大于零，而3階主子行列式小于零，故為非定

27、號(hào)性函數(shù)。4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：有解，且解具有負(fù)實(shí)部。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)于。取，令，則帶入，得到若 ，則此方程組有唯一解。即其中要求正定，則要求因此，且4-3以李雅普諾夫第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。（1）（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則 =0即x1x2的范圍內(nèi)，xe=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的。(2) 解題步驟 a：假設(shè)V(x)的梯度. b:計(jì)算V(x)的導(dǎo)數(shù). c:選擇參數(shù),

28、得：. d:根據(jù)選擇參數(shù)，重新寫出. e:根據(jù)公式得出. f:判斷是否正定，進(jìn)而判斷穩(wěn)定性.第五章 線性定常系統(tǒng)的綜合5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為-1，-2，-3。解：依題意有： ，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為 -1，-2，-3期望的特征多項(xiàng)式為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：23，-50，-9即狀態(tài)反饋陣為：K=23 -50 -95-2已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為：-10，。解：依題意有：,=，rankM=3，系統(tǒng)能控。加狀態(tài)反饋陣，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：-10，期望的特征多項(xiàng)式

29、為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：-4，-1.2，-0.1即狀態(tài)反饋陣為：K=-4 -1.2 -0.15-3有系統(tǒng)：（1） 畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。（2） 若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？（3） 若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。 對(duì)于系統(tǒng)有： ，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可通過狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。故系統(tǒng)完全能觀，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可通過輸出反饋任意配置極點(diǎn)。（3） 加狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：-3，-3期望的特征多項(xiàng)式為：對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：-1,-3即狀態(tài)反饋陣為

30、：K=-1 -35-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解： 由于傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為=由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為-2，-2，-3，得期望特征多項(xiàng)式為:比較與的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：5-5使判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。(1) 解：系統(tǒng)的能控陣為： 系統(tǒng)能控，可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在根平面的左側(cè)，使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。（2）解：系統(tǒng)可以分解為以下兩個(gè)子系統(tǒng)： ，以上兩個(gè)子系統(tǒng)最后一行對(duì)應(yīng)的b陣全為0，故兩子系統(tǒng)均