圓錐曲線間的三個統(tǒng)一統(tǒng)一定義、統(tǒng)一公式、統(tǒng)一方程.doc

1、圓錐曲線間的三個統(tǒng)一內蒙古巴彥淖爾市奮斗中學0504班 高卓瑋 指導老師：薛紅梅世界之美在于和諧，圓錐曲線間也有其內在的和諧與統(tǒng)一，通過對圓錐曲線圖形和已知公式的變換，我們可以得出以下結論。一、四種圓錐曲線的統(tǒng)一定義動點P到定點F的距離到定直線L的距離之比等于常數(shù)e，則當時，動點P的軌跡是橢圓：當時，動點P的軌跡是拋物線；當時，動點P的軌跡是雙曲線；若，我們規(guī)定直線L在無窮遠處且P與F的距離為定值（非零），則此時動點P的軌跡是圓，同時我們稱e為圓錐曲線的離心率，F(xiàn)為焦點，L為準線。二、四種圓錐曲線的統(tǒng)一方程從第1點我們可以知道離心率影響著圓錐曲線的形狀。為了實現(xiàn)統(tǒng)一我們把橢圓、雙曲線進行平移，

2、使橢圓、雙曲線的右頂點與坐標原點重合，記它們的半通徑為，則。如圖1，將橢圓按向量（）平移得到 橢圓的半通徑，橢圓的方程可寫成 類似的，如圖2，將雙曲線按向量平移得到 雙曲線的半通徑，雙曲線方程可寫成對于拋物線P為半通徑，離心率，它也可寫成對于圓心在（P，0），半徑為P的圓，其方程為，它也可寫成于是在同一坐標下，四種圓錐曲線有統(tǒng)一的方程，其中P是曲線的半通徑長，當，時分別表示圓、橢圓、拋物線、雙曲線。三、四種圓錐曲線的統(tǒng)一焦點坐標、準線方程和焦半徑公式在同一坐標系下，作出方程所表示的四種圓錐曲線，如圖3，設P、B、A、C分別是圓的圓心，橢圓的左焦點、拋物線的焦點、雙曲線的右焦點統(tǒng)一記為的焦點F則

3、有，即方程所表示的四種圓錐曲線的一個焦點為，設焦點F相應的準線為，則有。準線L為，對于圓表示準線L在無限遠處，設點為曲線上在y軸右側的動點，則點M對焦點F的焦半徑。圓錐曲線的內在統(tǒng)一，使我們可以將圓、橢圓、雙曲線和拋物線有機地聯(lián)系起來，從而更好地理解圓錐曲線的含義，更好地運用圓錐曲線解決實際問題。圓錐曲線中的數(shù)學思想方法內蒙古巴彥淖爾市奮斗中學0504班 高卓瑋 指導老師：薛紅梅在解決圓錐曲線的有關問題時，數(shù)學思想方法尤為重要，通過對我們平時所遇到的例題及習題的歸納、總結，可以得出以下一些關于圓錐曲線問題中的數(shù)學思想方法，幫助我們解決問題。思想方法一：分類討論思想例1. 給定拋物線設，P是拋物

4、線上的一點，且，試求d的最小值。解：設，則又，（1）當時，此時有 （2）當時，此時有 評注：引起分類討論的情況有：參數(shù)的取值范圍、去絕對值符號、大小關系不等式等，在討論中要思維全面，謹慎，做到不懂不漏。思想方法二：轉化思想例2 已知過點A（2，4）且斜率為1的直線L交拋物線于B、C兩點，若|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列，求拋物線方程。解：直線L的方程為設B（），由 得 |AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列 過A作直線軸，設B、C在上的射影分別是，則 即得 化簡為解得滿足或（舍去）故所求的拋物線方程為評注：如何將“|AB|、|BC|、|CA|成等比數(shù)列”這一條件轉化為A、B、C三點坐標

5、間的關系是解題的關鍵，本題巧妙運用了“投影”方法將這一條件轉化為在水平線上的三線段之間的比例關系，從而達到轉化的目的。思想方法三：化歸思想例3 直線L：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。（1）求實數(shù)k的取值范圍。（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點。解：（1）將直線L的方程代入雙曲線C的方程，得 依題意直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點2）設A、B兩點的坐標分別為則由可得 ， 假設存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c，0）則由FAFB得整理得： 把式及代入式化簡得：或（舍去）使得以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F。評注：解決數(shù)學問

6、題的過程，實質就是在不斷轉化與化歸的過程。應在解題時注意思維調控，恰當轉化解題途徑，使解題更加便捷。思想方法四：數(shù)形結合思想例4 函數(shù)的最大值是_。分析：原式=，其幾何模型是定曲線上的動點到兩定點A（3，2），B（0，1）的距離之差，要求其最大值。 評注：利用問題模型的幾何意義，借助圖形性質來解決問題，可使抽象問題具體化，復雜問題簡單化。思想方法五：函數(shù)與方程思想例5 斜率為2的直線與等軸雙曲線相交于兩點，求線段中點的軌跡方程。解：設直線方程為代入雙曲線方程得直線與雙曲線相交于 或設的坐標為 ，線段中點為則且或 代入直線方程得：所求軌跡方程為 （或）思想方法六：構造思想例6 已知滿足，求的取值

7、范圍。解：令=b，則原問題轉化為：在橢圓相切時，有最大截距與最小截距由 消去得由 得的取值范圍為13，13評注：應用構造思想解題的關鍵有要有明確方向，即為何構造要弄清條件的本質特點，以便進行邏輯組合。思想方法七：對稱思想例7 在直線L：上任取一點過且以橢圓的焦點為焦點作橢圓。問在何處時，所作的橢圓長軸最短，并求出其方程。解：的兩焦點，是關于L的對稱點又的直線方程為與聯(lián)立，求得，這時的方程為 得 這時橢圓方程為評注：用對稱思想解題，不僅可以利用對稱的性質，溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決。思想方法八：參數(shù)思想例8 在橢圓上，求使取得最大值和最小值的點P的坐標。解：將已知方程轉化為設橢圓上動點P為=當，即點P坐標為或時，當，即點P坐標為（4，0）時，評注：參數(shù)法是很重要的一種方法，特別是求最值問題、不等式問題，引入?yún)?shù)往往能減