多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用

1、第十四章 多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用,141 多元函數(shù)的概念,一 一些基本概念,二 實值函數(shù) 向量值函數(shù),三 二元函數(shù)定義域,四 二元函數(shù)的極限與連續(xù),引言,微積分的研究對象是函數(shù)，我們已對一元函數(shù)作了一定 的研究，但實際問題往往更復(fù)雜，許多量的變化取決于 多個因素。這就需要我們對多元函數(shù)進(jìn)行探討,1、n維空間,點,時間”空間,1維空間R,2維空間R2,3維空間R3,4維空間R4,3維空間R3 時間R,Einstein,n維空間Rn,霍金,點,點,點,一、一些基本概念,距離,在距離的基礎(chǔ)上給出“鄰域”的概念。以下討論R2,平面點集,平面上滿足一定條件的點的集合,用D表示,2、鄰域,是平面上一點,

2、圓形）鄰域,方形）鄰域,3、內(nèi)點,若存在點 P 的某鄰域 U(P) E ,則稱 P 為 E 的內(nèi)點,若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = ,則稱 P 為 E 的外點,若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 E的外點 ,則稱 P 為 E 的邊界點,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E,E 的外點必不屬于 E,E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E,4、外點,5、邊界點,E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E,6、開集,若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集,開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域,1）開集與開區(qū)間有什么關(guān)系,連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域,7、開區(qū)域,E

3、的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E,問題,2）R1中的開集與開區(qū)間是什么,8、閉區(qū)域 閉集,9、有限區(qū)域 無限區(qū)域,例如，在平面上,閉區(qū)域,開區(qū)域,有限區(qū)域,2,1,2,1,開集,非區(qū)域,無限區(qū)域,二 實值函數(shù) 向量值函數(shù),1、二元函數(shù),D是R2上非空點集，R是實數(shù)集,自變量x，y,則稱z是x，y的二元（實值）函數(shù),定義域D,因變量z,與之對應(yīng),二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面,2、n元函數(shù),3、向量值函數(shù),點函數(shù),三 二元函數(shù)定義域,例1 求,解,所求定義域為,的定義域,四 二元函數(shù)極限與連續(xù)性,問題： “二重極限”與“二次極限”相等嗎,比較,1）一元函數(shù)極限,2）二次極限,1、二重極限,例2 求二重極限,解,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0),在點 (0, 0) 的極限,則有,k 值不同極限不同,在 (0,0) 點極限不存在,例3 討論函數(shù),而,例6 討論函數(shù),在(0,0)的極限,解,取,其值隨k的不同而變化,極限不存在,2、連續(xù)性,多元初等函數(shù),常量、具不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算法則和復(fù)合運算過程而構(gòu)成的函數(shù),如,結(jié)論,一切多元初