多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用

1、第十四章 多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用,141 多元函數(shù)的概念,一 一些基本概念,二 實(shí)值函數(shù) 向量值函數(shù),三 二元函數(shù)定義域,四 二元函數(shù)的極限與連續(xù),引言,微積分的研究對(duì)象是函數(shù)，我們已對(duì)一元函數(shù)作了一定 的研究，但實(shí)際問(wèn)題往往更復(fù)雜，許多量的變化取決于 多個(gè)因素。這就需要我們對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行探討,1、n維空間,點(diǎn),時(shí)間”空間,1維空間R,2維空間R2,3維空間R3,4維空間R4,3維空間R3 時(shí)間R,Einstein,n維空間Rn,霍金,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),一、一些基本概念,距離,在距離的基礎(chǔ)上給出“鄰域”的概念。以下討論R2,平面點(diǎn)集,平面上滿(mǎn)足一定條件的點(diǎn)的集合,用D表示,2、鄰域,是平面上一點(diǎn),

2、圓形）鄰域,方形）鄰域,3、內(nèi)點(diǎn),若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E ,則稱(chēng) P 為 E 的內(nèi)點(diǎn),若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = ,則稱(chēng) P 為 E 的外點(diǎn),若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E的外點(diǎn) ,則稱(chēng) P 為 E 的邊界點(diǎn),顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E,E 的外點(diǎn)必不屬于 E,E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E,4、外點(diǎn),5、邊界點(diǎn),E 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 E 的邊界, 記作E,6、開(kāi)集,若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) E 為開(kāi)集,開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域,1）開(kāi)集與開(kāi)區(qū)間有什么關(guān)系,連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域,7、開(kāi)區(qū)域,E

3、的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 E 的邊界, 記作E,問(wèn)題,2）R1中的開(kāi)集與開(kāi)區(qū)間是什么,8、閉區(qū)域 閉集,9、有限區(qū)域 無(wú)限區(qū)域,例如，在平面上,閉區(qū)域,開(kāi)區(qū)域,有限區(qū)域,2,1,2,1,開(kāi)集,非區(qū)域,無(wú)限區(qū)域,二 實(shí)值函數(shù) 向量值函數(shù),1、二元函數(shù),D是R2上非空點(diǎn)集，R是實(shí)數(shù)集,自變量x，y,則稱(chēng)z是x，y的二元（實(shí)值）函數(shù),定義域D,因變量z,與之對(duì)應(yīng),二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面,2、n元函數(shù),3、向量值函數(shù),點(diǎn)函數(shù),三 二元函數(shù)定義域,例1 求,解,所求定義域?yàn)?的定義域,四 二元函數(shù)極限與連續(xù)性,問(wèn)題： “二重極限”與“二次極限”相等嗎,比較,1）一元函數(shù)極限,2）二次極限,1、二重極限,例2 求二重極限,解,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線(xiàn) y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0),在點(diǎn) (0, 0) 的極限,則有,k 值不同極限不同,在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在,例3 討論函數(shù),而,例6 討論函數(shù),在(0,0)的極限,解,取,其值隨k的不同而變化,極限不存在,2、連續(xù)性,多元初等函數(shù),常量、具不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算法則和復(fù)合運(yùn)算過(guò)程而構(gòu)成的函數(shù),如,結(jié)論,一切多元初