必修5數列知識點總結及題型歸納

1、名師推薦精心整理學習必備數列、數列的概念(1) 數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；(2) 通項公式的定義：如果數列 an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式。例如：1，2，3，4，5 ，:(3) 數列的函數特征與圖象表示:序號：123456(4) 數列分類：按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；按數列項與項之間的大小關 系分：單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動數列。例：下列的數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0,

2、 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,(5)數列 an的前n項和Sn與通項an的關系:盧 (n = 1)飛 - Sn二(n2)例：已知數列an的前n項和sn =2n2 3，求數列an的通項公式等差數列d表示。用遞推公式表示為題型一、等差數列定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母an -and =d(n 一2)或寺 -a. =d(n 1)。例：等差數歹U an = 2n -1 , an - an二題型二、等差數列的通項公式：a a1 (n - 1)d ；等差數列(通?？煞Q

3、為 AP數列)的單調性：d 0為遞增數列，d = 0為常數列，d : 0為遞減數列。 例：1.已知等差數列an :沖，a7 a9 =16, a4=1,則a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項a1 =1,公差d = 3的等差數列，如果a. =2005,則序號n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670題型三、等差中項的概念：o + b定義：如果a，A，b成等差數列，那么 A叫做a與b的等差中項。其中 A=皂上2a + ba，A，b 成等差數列=A=2-即: 2an 廠 On On .2( 2an =寺 an.m)例：1設.an /是公

4、差為正數的等差數列，若aHa2 + a 15 , a1a2a80，貝U an+a+au ()A. 120B . 105C. 90D . 752. 設數列an是單調遞增的等差數列，前三項的和為12,前三項的積為48,則它的首項是()A. 1B.2C.4D.8題型四、等差數列的性質：(1) 在等差數列a中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；(2) 在等差數列a中，相隔等距離的項組成的數列是等差數列；(3) 在等差數列 g中，對任意 m , n N ., a* = am (n - m)d , d =色一(m = n)；n m(4) 在等差數列 aj 中，若 m, n , p , q N .且

5、 m n 二 p q，則 am 耳二 ap 爲； 題型五、等差數列的前n和的求和公式：sn m01=n印二丄n2 ( a1d) n。2 2 2 2(Sn二An2 Bn (A, B為常數)=玄是等差數列)遞推公式：S =佝+an)n =(Om 7心川2 2例：1.如果等差數列中，a3 a4 a 12，那么a1 a2 . a7 =(A) 14(B) 21(C) 28( D) 352. 設Sn是等差數列 0 1的前n項和，已知a3 , 06 =11，則S7等于()A. 13 B . 35 C . 49 D . 633. 設等差數列:a/f的前n項和為Sn，若S =72,則a2 a4 ag =4. 若

6、一個等差數列前 3項的和為34,最后3項的和為146，且所有項的和為390,則這個數列有()A.13 項B.12 項C.11 項D.10 項5. 設等差數列 玄*的前n項和為S*，若比=5a3則色=S56.已知Bn 數列:是等差數列，ai0=10 ,其前211A.B. -一C.-D.33310項的和Si0 =70，則其公差d等于()23S7.設 an為等差數列，S為數列 an的前n項和，已知 3 = 7, S5= 75, Tn為數列 的前nn項和，求Tn。題型六.對與一個等差數列，Sn , S2n - Sn , Ssn - S?n仍成等差數列。例：1.等差數列an的前m項和為30,前2m項和為

7、100,則它的前3m項和為（）A.130B.170C.210D.2602. 一個等差數列前 n項的和為48,前2 n項的和為60，則前3 n項的和為3. 設Sn為等差數列 a 的前n項和，S14, Sw - S7二30,則S =4. （ 06全國II ）設$是等差數列an的前n項和，若色=-，則S63S6B.-D.310題型七判斷或證明一個數列是等差數列的方法:定義法：an勺-an =d（常數）（n N J = gn 是等差數列例：1.已知一個數列an的前n項和Sn二2n2 4，則數列an為（A.等差數列B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷2.已知一個數列an的前n項和S

8、n2=2n，則數列an為（）A.等差數列B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷3.數列 & 匚滿足 a1 =8, a2,且 a. 2 - 2an - a.求數列Qn 的通項公式;題型八數列最值（1） a 0 , d ：0 時，Si 有最大值；q：0, d 0 時,Sn有最小值;（2） Sn最值的求法：若已知 Sn , Sn的最值可求二次函數San2 bn的最值;可用二次函數最值的求法（n e N+）；或者求出a,中的正、負分界項，即:中項法：2an 1 - an - an 2(nN )玄f是等差數列通項公式法：an =kn b（k,b為常數）=a 是等差數列前n項和公式法：

9、Sn二An2 Bn （A,B為常址aj是等差數列卄“固王0亠&蘭0右已知a，則Sn最值時n的值(n N .)可如下確定或an+ 2)1已知數列 a 的前 n項和 Sn二n24n - 1,則22. 設數列an的前n項和為Sn=2n，求數列a*的通項公式；3. 已知數列n 中，務=3,前n和Sn =】(n1)(an 1) -12 求證：數列：an 是等差數列 求數列：an 的通項公式4. 設數列an的前n項和& = n2，則ag的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比數列等比數列定義：一、遞推關系與通項公式遞推關系：an勺=anq通項公式：an = qn4推廣：an 二 am

10、 q1.在等比數列中，a1=4,q=2，則an =2 .在等比數列 Q 沖，a? - -2 , a =54，則a8=3. 在各項都為正數的等比數列an中，首項31 =3，前三項和為21,則a3 a4 a ()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項：若三個數 a,b,c成等比數列，則稱b為a與c的等比中項，且為 b = - . ac,注：b2二ac 是成等比數列的必要而不充分條件例：1. 2 ,3和2 -的等比中項為()(A)1(B) -1(C) _1(D)2三、等比數列的基本性質，1. ( 1)若m n = p q，則 am -a ap aq (其中m,n, p,q N )n _

11、m an2(2) q -，ananq a. m (n N )am(3) a /為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列.(4) a 1既是等差數列又是等比數列=a 是各項不為零的常數列.例：1 在等比數列fan 中，6和a10是方程2x2 5x 0的兩個根，則a4 a7 =()54211(A)(B)(C)-c(D)c22222. 在等比數列 & 匚中，a1 a6 =33, a3a 32, an - an 1 求an 若 Tn =lg 3 Iga2 亠亠Igan,求Tn3. 等比數列an的各項為正數，且 asOj a4a7=:18，則 Iog3 a Iog3 a? IH Iog3 氐=()

12、A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+Iog35na (q 二 1)n四、等比數列的前 n項和，Sn二Q(1-q ) a1 -anq(q = 1) =J 1 1 例：1.已知等比數列an的首相a1 =5，公比q = 2，則其前n項和Sn二2.設等比數列an的前n項和為&，已a2 = 6, 6a1 a3 = 30，求an和Sn2A.(8n -1)3設 f (n) =2 24 2721。川 23n10(n N)，則 f(n)等于()B.扌1) C .扌 3) D . |(8n -1)五等比數列的前n項和的性質若數列 S :是等比數列，Sn是其前n項的和，N*，那么Sk，S2k -Sk

13、，S3k -S2k成等比數列 例：1. 一個等比數列前 n項的和為48,前2 n項的和為60，則前3n項的和為（）A. 83 B . 108 C . 75 D . 632.已知數列a 是等比數列，且Sm=10,S2m=30,則S3m二六等比數列的判定法（1）定義法：-q （常數）-：.an /為等比數列； an（2）中項法：an 1 -an an 2(an = 0)= an f 為等比數列；（3） 通項公式法：an = k qn （k,q為常數）= 玄為等比數列；（4） 前n項和法：Sn二k（1 -qn）（k,q為常數）： a?為等比數列。Sn =k - kqn （ k,q為常數）- ：a“

14、為等比數列。七.利用a（n二1）求通項. n Qn-乩（n 2）例：1.數列an的前n項和為S，且a1=1，n=1， 2， 3,，求a2，as，a4的值及數列an的通項公式.2.已知數列 3鳥的首項a1=5,前n項和為Sn，且SnSn npn，N）*，證明數列a 1是等比數列.求數列通項公式方法(1).公式法(定義法)根據等差數列、等比數列的定義求通項例: 1已知等差數列an滿足：a3 =7,a5，a7 =26,求an ；2.已知數列an滿足印=2,an - an=1(n _ 1)，求數列an的通項公式;3. 數列滿足a1=8, a4 =2,且a.半2an*+an =0 ( n N訊)，求數列

15、 a 1 的通項公式;1 14.已知數列an滿足a2,2，求數列的通項公式;an 十 an1 15.設數列an滿足a1 =0且1，求an的通項公式1 an +1 an6.已知數列an滿足a1 =2, an =3anm(n _ 1)，求數列an的通項公式;7.已知數列an滿足a1 = 2, a2 = 4且an七，an =an(n N *),求數列 a / 的通項公式;8.已知數列an滿足a1 =2,且an1 -5n2(a5n) ( nN ”)，求數列 滄，的通項公式;9.已知數列an滿足 a2,且 an 1 5 2n 1 2= 3(an 5 2n 2) ( n N ),求數列 af 的通項公式；

16、(2)累加法a3 -a f (2)III III1累加法 適用于：anan f(n)若 an 1 -an 二 f(n) (n -2)，則an 1 - an 二 f (n)n兩邊分別相加得an彳-6 =7 f (n)k-11 1例：1已知數列an滿足印 ,an j =an2 ，求數列an的通項公式。24n12. 已知數列an滿足an勺=an 2n 1,印=1，求數列an的通項公式。3. 已知數列an滿足a. 1二務 2 3n 1，a 3，求數列佝的通項公式。2n 14. 設數列an滿足a2，an 1 - an =3 2 ，求數列an的通項公式(3) 累乘法適用于：anf (n)anan 1若 -

17、an二 f(n)=f( n)，則亜=f色=f(2)，川川，空a1a2an例：1.已知數列an滿足an1 =2(n 1)5n an，a, = 3，求數列an的通項公式。2.已知數列加足a-3，nan 1 an，n +1求an。3. 已知 a1 =3，3n 1an 1 _ 3n 2 an(n _ 1)，求 an。(4)待定系數法適用于 an 1 二qan f( n)解題基本步驟：1確定f(n)2、設等比數列:a 1f(n)?，公比為3、列出關系式 an 1 1 f (n 1) V/an 7(n)4、比較系數求-1 ,25、 解得數列、f(n)?的通項公式6、解得數列曲的通項公式例：1.已知數列an

18、中，a1,a2anJ，1(n_2)，求數列；.a,的通項公式。2在數列an中，若d =1,an卑=2an +3(n蘭1)，則該數列的通項 an =3.已知數列an滿足an2an 3 5n,耳=6，求數列的通項公式。解：設 an 1 x 5n 1 =2(已 x 5n)5114已知數列 中，a1 =，a =an+()n*，求 a.6325.已知數列an滿足an2an 4 3nJ, q =1,求數列1an?的通項公式。(5) 遞推公式中既有Sn又有an(S1, n = 1“把已知關系通過an轉化為數列”昇或Sn的遞推關系，然后采用相應的方法求解。I Sn - 5 4, n _ 211.數列an的前n

19、項和為S,且a1=1,an dSn,n=1,2,3, ，求a2,a3,a4的值及數列an3的通項公式.2.已知數列 匕中，a1 =3,前 n和 Sn =(n，1)(an，1)-12求證：數列：an匚是等差數列求數列4的通項公式13.已知數列an的各項均為正數，且前n項和Sn滿足Snn 1)(% 2),且&2,4月成等比數列，6求數列an的通項公式。(6) 倒數變換法適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項2a例：1.已知數列an滿足an 1 n ,印=1，求數列an的通項公式。an +2數列求和1直接用等差、等比數列的求和公式求和。Sn(a= na!2 2na T)nSn Y ai(17)(q 知)1 -q公比含字母時一定要討論例：1。已知等差數列an滿足a1 =1, a2 =3，求前n項和Sn2已知等比數列an滿足a1 =1, a2 =3，求前n項和Sn3.設 f (n) = 2 24 27 21。川 23n 10(n N)，則 f (n)等于()A.|(8n-1)B. l(8n1-1) C. l(8n3-1)DJ7(8n4-1)2錯位相減法求和：如:認等差，b 等比，求ab a2b2川釘anbn的和例: 1 求和 Sn = 1 2x 3x2 川 nxn J123nSn :-23naaa